Đề kiểm tra chất lượng ôn thi đại học lần 2 năm học 2013­2014 Môn: Toán; Khối A, A1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐỀ KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014 
Mụn: TOÁN; Khối A, A1 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( ) 2 1 
2 
x 
y C 
x 
- 
= 
- 
. 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số đó cho. 
b) Tỡm trờn (C) tất cả cỏc điểm M  sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A, 
B sao cho  2 10 AB =  . 
Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: 
1 cos 7 
sin 2 sin 2 
tan 4 
x 
x x 
x 
p - ổ ử + = + ỗ ữ 
ố ứ 
. 
Cõu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: ( ) 
2 2 
4 2 2 
4 1 1 2 2 1 
1 
y x x y 
x x y y 
ỡ ù - + = + + 
ớ 
+ + = ù ợ 
. 
Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn: 
0 
2 
4 
1 2sin 2 2cos 
dx 
I 
x x p 
- 
= 
- + ũ  . 
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang cõn, 
13 
4 
a 
AD BC = =  ,  2 AB a =  , 
3 
2 
a 
CD =  , mặt phẳng ( ) SCD  vuụng gúc với mặt phẳng ( ) D ABC  . Tam giỏc ASI cõn tại S, với I  là  trung 
điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng ( ) D ABC  một gúc  30 o . Tớnh theo a thể tớch khối chúp S.ABCD và 
khoảng cỏch giữa SI và CD. 
Cõu 6 (1,0 điểm). Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món ( ) ( ) ( )  8 a b b c c a + + + =  . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 
của biểu thức 
3 
1 1 1 1 
2 2 2 
P 
a b b c c a abc 
= + + + 
+ + + 
. 
II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm): Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần  B) 
A. Theo chương trỡnh Chuẩn 
Cõu 7a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú đường chộo AC nằm trờn 
đường  thẳng  : 1 0 d x y + - =  . Điểm ( ) 9;4 E  nằm  trờn đường  thẳng chứa cạnh AB, điểm ( ) 2; 5 F - -  nằm 
trờn đường thẳng chứa cạnh AD,  2 2 AC =  . Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh thoi ABCD biết điểm C cú 
hoành độ õm. 
Cõu 8a  (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ  tọa độ Oxyz,  cho mặt phẳng ( ) : 2 0 P x y z - + - =  , mặt cầu 
( )  2 2 2 : 4 2 2 3 0 S x y z x y z + + - + + - =  và hai điểm ( ) ( ) 1; 1; 2 , 4;0; 1 A B - - -  . Viết phương trỡnh mặt phẳng 
( ) a  song song với AB, vuụng gúc với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn cú bỏn kớnh 
bằng  3 . 
Cõu 9a (1,0 điểm). Gọi M là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số đụi một khỏc nhau được lập từ cỏc chữ số 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiờn một số từ tập M, tớnh xỏc suất để số được chọn là số cú tổng cỏc chữ số 
là một số lẻ. 
B. Theo chương trỡnh Nõng cao 
Cõu 7b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú điểm ( ) 5;1 C  , trung tuyến 
AM, điểm B thuộc đường thẳng  6 0 x y + + =  . Điểm ( ) 0;1 N  là trung điểm của đoạn AM, điểm ( ) 1; 7 D - - 
khụng nằm trờn đường thẳng AM và khỏc phớa với A so với đường thẳng BC đồng thời khoảng cỏch từ A và 
D tới đường thẳng BC bằng nhau. Xỏc định tọa độ cỏc điểm A, B. 
Cõu 8b (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ  tọa độ Oxyz, cho ba   điểm  (1; 1; 1), ( 1;0;2), (0; 1;0) A B C - -  . 
Tỡm tọa độ điểm D trờn tia Ox sao cho thể tớch khối tứ diện ABCD bằng 1, khi đú hóy viết phương trỡnh mặt 
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
Cõu 9b (1,0 điểm). Giải bất phương trỡnh:  3 3 log log (3 ) 6.15 5 0 x x x - + ³  . 
ưưưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưư 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm!
www.VNMATH.com
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐÁP ÁN KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014 
Mụn: TOÁN; Khối A, A1 
I. LƯU í CHUNG: 
ư Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo 
cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. 
ư Với Cõu 5 nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh phần nào thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú. 
ư Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. 
II. ĐÁP ÁN: 
CÂU  í  NỘI DUNG  ĐIỂM 
1  2,0 điểm 
TXĐ:  \{2} D R = 
Cỏc giới hạn 
2 2 
lim 2; lim 2; lim ; lim 
x x  x x 
y y y y 
+ - đ+Ơ đ-Ơ đ đ 
= = = +Ơ = -Ơ 
Suy ra  2 x =  là tiệm cận đứng,  2 y =  là tiệm cận ngang của đồ thị. 
0,25 
Sự biến thiờn: 
2 
3 
' 0, 
( 2) 
y x D 
x 
= - < " ẻ 
- 
Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng  ( ; 2) -Ơ  và  (2; ) +Ơ 
0,25 
Bảng biến thiờn 
x -Ơ  2 +Ơ 
y’ - - 
y 
2 +Ơ 
-Ơ  2 
0,25 
a 
Đồ thị: Giao với trục Ox tại 
1 
;0 
2 
ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
, giao với trục Oy tại 
1 
0; 
2 
ổ ử 
ỗ ữ 
ố ứ 
, đồ thị cú tõm đối xứng 
là điểm  (2;2) I 
0,25 
Giả sử ( ) 2 1 ; , 2 
2 
a 
M a a 
a 
- ổ ử ạ ỗ ữ - ố ứ 
thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M cú dạng 
2 
3 2 1 
( ) : ( ) 
( 2) 2 
a 
y x a 
a a 
- - 
D = - + 
- - 
0,25 
Gọi  A là giao của tiệm cận đứng với  ( ) D  , suy ra 
6 
(2; 2) 
2 
A 
a 
+ 
- 
B là giao của tiệm cận ngang với  ( ) D  , suy ra  (2 2;2) B a - 
0,25 
b 
Khi đú  2 
2 
36 
(2 4) 
( 2) 
AB a 
a 
= - + 
- 
, theo bài ra ta cú phương trỡnh 
2 
2 
36 
4( 2) 40 
( 2) 
a 
a 
- + = 
- 
4 2 ( 2) 10( 2) 9 0 a a Û - - - + = 
0,25
www.VNMATH.com
2 
2 
1 
( 2) 1 3 
1 ( 2) 9 
5 
a 
a a 
a a 
a 
= ộ 
ờ ộ - = = ờ Û Û ờ ờ = - - = ở ờ = ở 
Vậy cú 4 điểm M thỏa món là  (1; 1), (3;5), ( 1;1), (5;3) - -  . 
0,25 
2  1,0 điểm 
1 cos 7 
sin 2 sin 2 (1) 
tan 4 
x 
x x 
x 
p - ổ ử + = + ỗ ữ 
ố ứ 
. 
Đk: { ( ) sin 0  sin 2 0 cos 0  2 k x  x x k x p ạ Û ạ Û ạ ẻ ạ  
0,25 
( ) ( ) 2 (1) 1 cos cos sin sin sin 2 cos 2 x x x x x x Û - + = - 
( ) cos 2 cos sin 1 0 x x x Û + - = 
cos 2 0 
1 
sin 
4  2 
x 
x p 
= ộ 
ờ Û ổ ử + = ờ ỗ ữ 
ố ứ ở 
0,25 
+) ( ) cos 2 0 
4 2 
k 
x x k p p = Û = + ẻ  0,25 
+) 
( ) 
( ) 
2 1 
sin 
2 4  2 
2 
x k l 
x 
x k l 
p p 
p p 
= ộ 
ổ ử ờ + = Û ỗ ữ ờ = + ố ứ 
ở 
. Vậy (1) cú nghiệm ( ) 
4 2 
k 
x k p p = + ẻ  .  0,25 
3  1,0 điểm 
( )  2 2 
4 2 2 
4 1 1 2 2 1 (1) ( ) 
1 (2) 
y x x y  I 
x x y y 
ỡ ù - + = + + 
ớ 
+ + = ù ợ 
. 
Đặt  2  1 1 x t + = ³ ị  phương trỡnh (1) cú dạng ( ) 2 2 4 1 2 1 0 t y t y - - + - = 
0,25 
( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 8 2 1 4 3 y y y D = - - - = - 
2 1 
1 
( ) 
2 
t y 
t l 
= - ộ 
ờ ị 
= ờ 
ở 
0,25 
+) Với  2  2 2 
1 
2 1 1 1 2 1 
4 4 
y 
t y x y 
x y y 
³ ỡ = - ³ Û + = - Û ớ = - ợ 
thay vào (2) ta được  0,25 
( ) ( ) 2 2 2 2 16 1 4 1 1 0 1 y y y y y y - + - + - = Û =  (do  1 y ³  )  0 x ị = 
Vậy, hệ (I) cú nghiệm  (0;1) . 
0,25 
4  1,0 điểm 
Ta cú: 
0 0 
2 2 2 
4 4 
1 2sin 2 2cos sin 4sin cos 3cos 
dx dx 
I 
x x x x x x p p 
- - 
= = 
- + - + ũ ũ 
0  2 
2 
4 
1 
cos 
tan 4 tan 3 
dx 
x 
x x p 
- 
= 
- + ũ 
0,25 
Đặt 
2 
1 
tan 
cos 
t x dt dx 
x 
= ị =  Đổi cận : 
x 
4 
p 
-  0 
t  1 -  0 
0,25 
Vậy 
0 0 0 
2 
1 1 1 
1 1 1 
4 3 ( 1)( 3) 2 3 1 
dt dt 
I dt 
t t t t t t - - - 
ổ ử = = = - ỗ ữ - + - - - - ố ứ ũ ũ ũ  0,25 
( ) 
0 
1 
1 3 1 1 3 
ln ln3 ln 2 ln 
2 1 2 2 2 
t 
t 
- 
ổ - ử 
= = - = ỗ ữ - ố ứ  0,25
www.VNMATH.com
5  1,0 điểm 
M 
K 
I  F 
E H D  C 
B A 
S 
Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AI và CD. 
Do ( ) ( ) SCD ABCD ^  và  SA SI = ị trong  mặt  phẳng  (ABCD)  và  qua  M  kẻ  đưởng 
thẳng vuụng gúc với AB cắt CD tại H thỡ H là hỡnh chiếu của S trờn mp(ABCD) 
0,25 
Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F 
13 3 3 
, 3 
4 4 2 2 
a a a a 
EF IF EI HM HB a ị = = ị = ị = ị = 
( ) ( ) ( ) ã , D , 30 o SB ABC SB HB SBH = = =  SH a ị = 
0,25 
3 
3 3 
2 
1 1 7 3 2 2 . 
3 3 2 24 ABCD ABCD 
a a 
a 
a 
V SH S a 
ổ ử + ỗ ữ 
ố ứ = = =  (đvtt) 
0,25 
( ) / / CD SAB  và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , SI SAB d CD SI d CD SAB d H SAB è ị = = 
( ) ( ) HM AB SHM SAB ^ ị ^  . Gọi HK là đường cao của tam giỏc SHM  suy ra 
( ) ( )  21 , 
7 
a 
HK SAB d CD SI HK ^ ị = =  . 
0,25 
6  1,0 điểm 
( ) ( )( ) 8 8 1 a b b c c a abc abc = + + + ³ ị Ê 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8  a b b c c a a b c ab bc ca abc = + + + = + + + + - 
( ) ( ) 3 a b c abc a b c abc ³ + + + + - 
0,25 
suy ra ( ) 3 
3 
8 9 3 
3 3 
abc 
a b c a b c 
abc abc abc 
+ 
+ + Ê Ê ị + + Ê  0,25 
3 
3 3 
1 3 1 
2 P abc 
a b c abc abc 
³ + ³ + ³ 
+ + 
0,25 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  1 a b c = = =  . Vậy,  min  2 1 P a b c = Û = = =  .  0,25 
7.a  1,0 điểm 
J I 
E' 
F 
E 
D 
C 
B 
A
www.VNMATH.com
Gọi E’ là điểm đối xứng với E qua AC, do AC là phõn giỏc của gúc  ã BAD  nờn E’ thuộc 
AD. EE’ vuụng gúc với AC và qua điểm ( ) 9;4 E  nờn cú phương trỡnh  5 0 x y - - =  . 
Gọi I là giao của AC và EE’, tọa độ I là nghiệm hệ ( ) 
5 0 3 
3; 2 
1 0 2 
x y x 
I 
x y y 
- - = = ỡ ỡ 
Û ị ớ ớ + - = = - ợ ợ 
Vỡ I là trung điểm của EE’ nờn  '( 3; 8) E - - 
0,25 
Đường thẳng AD qua  '( 3; 8) E - -  và  ( 2; 5) F - -  cú VTCP là  ' (1;3) E F 
uuuur 
nờn phương trỡnh 
là:  3( 3) ( 8) 0 3 1 0 x y x y + - + = Û - + = 
0,25 
Điểm  (0;1) A AC AD A = ầ ị  . Giả sử  ( ;1 ) C c c -  . 
Theo  bài  ra  2 2 2 4 2; 2 AC c c c = Û = Û = = -  .  Do  hoành  độ  điểm  C  õm  nờn 
( 2;3) C - 
0,25 
Gọi J là trung điểm AC suy ra  ( 1;2) J -  , đường thẳng BD qua J và vuụng gúc với AC cú 
phương trỡnh  3 0 x y - + =  . Do  (1;4) ( 3;0) D AD BD D B = ầ ị ị - 
Vậy  (0;1) A  ,  ( 3;0), ( 2;3), (1;4). B C D - - 
0,25 
8.a  1,0 điểm 
Mặt cầu (S) cú tõm ( ) 2; 1; 1 I - -  , bỏn kớnh  3 R = 
Mặt phẳng (P) cú vtpt ( ) ( ) ( ) 1 1 1; 1;1 , 3;1;1 , 2; 2; 4 n AB AB n ộ ự - ị = - - ở ỷ 
ur uuur uuur ur  0,25 
Do mặt phẳng ( ) / /AB a  và ( ) ( ) P a ^ ị ( ) a  cú vtpt ( ) 1; 1; 2 n - - 
r 
Suy ra phương trỡnh mặt phẳng ( ) : 2 0 x y z m a - - + = 
0,25 
( ) a  cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn cú bỏn kớnh bằng  3 
( ) ( )  5  1 , 6 6  11 6 
m  m 
d I 
m a 
+ = ộ ị = Û = Û ờ = - ở 
0,25 
Vậy, cú hai mặt phẳng ( ) a  thỏa món là  2 1 0 x y z - - + =  và  2 11 0 x y z - - - =  0,25 
9.a  1,0 điểm 
Giả sử số tự nhiờn cú ba chữ số thuộc tập M là  1 2 3 a a a 
Số cỏc phần tử của M:  1 a  cú 6 cỏch chọn 
2 a  cú 6 cỏch chọn 
3 a  cú 5 cỏch chọn  6.6.5 180 M ị = = 
0,25 
Số cỏc số tự nhiờn trong M cú tổng cỏc chữ số là số lẻ: 
TH1: Cú 1 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn ị  cú  1 2 1 1 3 4 3 4 . .3! . .2! 84 C C C C - =  số 
0,25 
TH2: Cú 3 chữ số lẻ ị  cú  3! 6 =  sốị cú 90 số trong tập M cú tổng cỏc chữ số là số lẻ  0,25 
Suy ra xỏc suất cần tỡm là 
90 1 
180 2 
=  .  0,25 
7.b  1,0 điểm 
I 
G 
D 
N 
M 
C B 
A 
Do A, D nằm khỏc phớa so với BC và cỏch đều BC suy ra BC đi qua trung điểm I của 
AD.  0,25
www.VNMATH.com
Gọi ( ) ; G a b  là giao điểm của DN và MI suy ra G là trọng tõm của tam giỏc ADM 
( ) 
1 
1 3  3 3 
8 3 1  5 
3 
a a 
ND NG 
b 
b 
ỡ = - ù - = ỡ ị = Û Û ớ ớ - = - ợ ù = - 
ợ 
uuur uuur  1 5 
; 
3 3 
G ổ ử ị - - ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
Phương trỡnh đường thẳng BC  đi qua G và C : 2 3 0 x y - - = 
Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trỡnh: { { 2 3 0 3 6 0 3 x y x x y y - - = = - Û + + = = - ( ) 3; 3 B ị - -  .  0,25 
( ) ( ) 1; 1 1;3 M A ị - ị -  . Vậy, ( ) ( ) 1;3 , 3; 3 A B - - -  0,25 
8.b  1,0 điểm 
Giả sử ( ) ;0;0 , 0 D t t >  . Ta cú: ( ) ( ) ( ) 2; 1;1 , 1; 2; 1 , 1; 1; 1 AB AC AD t - - - - - - - - 
uuur uuur uuur 
0,25 
( ) [ , ] 3; 3;3 [ , ]. 3( 1) AB AC AB AC AD t = - ị = - 
uuur uuur uuur uuur uuur 
Theo bài ra 
3 1 1 
[ , ]. 1 3( 1) 1 
1 ( ) 6 6 ABCD 
t 
V AB AC AD t 
t L 
= ộ 
= = Û - = Û ị ờ = - ở 
uuur uuur uuur 
( ) 3;0;0 D 
0,25 
Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là  2 2 2 ( ) : 2 2 2 0 S x y z ax by cz d + + + + + + = 
( ) 2 2 2  0 a b c d + + - >  . Vỡ (S) qua A, B, C, D nờn ta cú hệ 
2 2 2 3 
2 4 5 
2 1 
6 9 
a b c d 
a c d 
b d 
a d 
+ + + = - ỡ 
ù - + + = - ù 
ớ - + = - ù 
ù + = - ợ 
0,25 
Giải hệ trờn ta được  2, 2, 3, 3 a b c d = - = = - = 
Vậy phương trỡnh mặt cầu  2 2 2 ( ) : 4 4 6 3 0 S x y z x y z + + - + - + = 
Hay  2 2 2 ( 2) ( 2) ( 3) 14 x y z - + + + - =  . 
0,25 
9.b  1,0 điểm 
ĐK:  0 x >  . Ta cú:  3 3 log log (3 ) 6.15 5 0 x x x - + ³  3 3 3 
1 
log log log 2 3 6.15 5.5 0 
x x x Û - + ³  0,25 
( )  3 3 3 log log log 3 6 3. 5 5.5 0 x x x Û - + ³ 
3 3 
log log 
3 3 
6 5 0 
5 5 
x x ổ ử ổ ử Û - + ³ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 
0,25 
Đặt 
3 log 
3 
, 0 
5 
x 
t t 
ổ ử 
= > ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
. Ta được  2 
1 
6 5 0 
5 
t 
t t 
t 
Ê ộ 
- + ³ Û ờ ³ ở 
Với 
3 log 
3 
3 
1 1 log 0 1 
5 
x 
t x x 
ổ ử 
Ê Û Ê Û ³ Û ³ ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
0,25 
Với 
3 
3 
5 
log 
log 5 
3  3 
5 
3 
5 5 log log 5 0 9 
5 
x 
t x x 
ổ ử 
³ Û ³ Û Ê Û < Ê ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
Vậy, tập nghiệm của BPT là 
3 
5 
log 5 
0;9 [1; ) S 
ổ ự 
= ẩ +Ơ ỗ ỳ 
ố ỷ 
. 
0,25 
ưưưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưư 
www.VNMATH.com