Đề kiểm định chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Triệu Sơn (Có đáp án)

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN
Đề chớnh thức
 Số bỏo danh
.....................................
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Năm học 2015 - 2016
Mụn: Toỏn 
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Ngày 12 thỏng 4 năm 2016
(Đề cú 01 trang, gồm 05 cõu)
Cõu 1: (5,0 điểm) 
	Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
	a. 
 b. B = 2x2 – 3x + 5 với 
c. C = biết x – y = 0.
Cõu 2: (4,0 điểm) 
	1. Tỡm x, y biết: 
2. Tỡm x, y, z biết: và x + y + z = 18.
Cõu 3: (5,0 điểm)
	1. Tỡm cỏc số nguyờn x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0.
 	2. Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 +  – 101x + 101. Tớnh f(100).
3. Chứng minh rằng từ 8 số nguyờn dương tựy ý khụng lớn hơn 20, luụn chọn được ba số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giỏc.
Cõu 4: (5,0 điểm) 
	1. Cho ABC cú B + C = 600, phõn giỏc AD. Trờn AD lấy điểm O, trờn tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho ABM = ABO. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ACN = ACO. Chứng minh rằng:
	a. AM = AN.
	b. MON là tam giỏc đều.
2. Cho tam giỏc ABC vuụng ở A, điểm M nằm giữa B và C. Gọi D, E thứ tự là hỡnh chiếu của M trờn AC, AB. Tỡm vị trớ của M để DE cú độ dài nhỏ nhất.
Cõu 5: (1,0 điểm) 
 Cho x + y = 1, x 0, y 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức (a và b là hằng số dương đó cho).
---------------- Hết ---------------
Thớ sinh khụng sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm.
Bài 5: (3,0 điểm) Cho DABC cú gúc A nhọn. Về phớa ngoài DABC vẽ DBAD vuụng cõn tại A, DCAE vuụng cõn tại A. Chứng minh:
a. DC = BE; DC ^ BE 	
b. BD2 + CE2 = BC2 + DE2
c. Đường thẳng qua A vuụng gúc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Cõu 4: (6,0 điểm) 
	Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. 
	a) Chứng minh rằng: DADC = DABE.
	b) Chứng minh rằng: = 600.
	c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng DAMN đều.
	d) Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIE. 
Cõu 5: (1,5 điểm) 
	Cho 20 số nguyờn khỏc 0 : a1, a2, a3,  , a20 cú cỏc tớnh chất sau:
* a1 là số dương. 
* Tổng của ba số viết liền nhau bất kỡ là một số dương. 
* Tổng của 20 số đú là số õm. 
Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. 
Cõu 2 (4,0 điểm)
1. Tỡm x, y biết: và .
	 2. Tỡm x biết: 
Cõu 3: (5,0 điểm)
	1. Tỡm số tự nhiờn n để phõn số cú giỏ trị lớn nhất.
 2. Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là cỏc hệ số nguyờn. Biết rằng, p(x) 5 với mọi x nguyờn. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5.
3. Gọi a, b,c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng: 
Cõu 4: (5,0 điểm)
 Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn cạnh BC lấy điểm D (D khỏc B, C). Trờn tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuụng gúc với BC kẻ từ D cắt AB tại M. Đường vuụng gúc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC tại I. 
 1. Chứng minh DM = EN.
 2. Chứng minh IM = IN, BC < MN.
 3. Gọi O là giao của đường phõn giỏc gúc A và đường thẳng vuụng gúc với MN tại I. 
 Chứng minh rằng . Từ đú suy ra điểm O cố định.
Cõu 5: (2,0 điểm) 
 Cho cỏc số thực dương a và b thỏa món: 
 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: 
 b,	Thực hiện phép tính:
	 A= 
Cõu 3. 
a. Tỡm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x. 
 Từ đú ỏp dụng tớnh tổng S = 1+2+3+ ....+ n.
b. Cho Chứng minh: .
Cõu 4. 
Cho tam giỏc ABC (), đường cao AH. Gọi E; F lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a. AE = AF;
b. HA là phõn giỏc của ;
c. CM // EH; BN // FH.
 Bài 4. ( 1,5 điểm) Tỡm hai số tự nhiờn m , n biết : 2m + 2n = 2m+n
 Bài 5 :( 2 điểm) : a, So sỏnh :	 ()100 và ()500 
 b , So sỏnh A và B biết : A = 	; B = 
 Bài 6:(1,5điểm) Cho cỏc số dương a,b,c thỏa món .
 Tớnh giỏ trị của .
 Bài 7 :(4điểm) : Cho tam giỏc ABC cú AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc A tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
 a) AE = AF
b) BE = CF
c) 
c, Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2;3;4. Hỏi ba chiều cao tương ứng ba 
cạnh đó tỉ lệ với số nào?
 Bài 6 : Chứng minh rằng là một số tự nhiên.
 Bài 7 . Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A= Có giá trị lớn nhất? 
 Bài 8: Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Trên cạnh BC lấy điểm D. Trên tia đối 
của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D 
và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh:
	b. Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN.
	a. DM= EN
	c. Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định 
khi D thay đổi trên BC.
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRIỆU SƠN
Hướng dẫn chấm
KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2015 - 2016
Mụn: Toỏn 
Ngày 12 thỏng 4 năm 2016
(Hướng dẫn chấm cú 03 trang, gồm 05 cõu)
Cõu
Nội dung
Điểm
1
(5,0đ)
a. 
0,75
0,75
b. Vỡ nờn x = hoặc x = - 
 Với x = thỡ B = 2.()2 – 3. + 5 = 4
 Với x = - thỡ B = 2.(- )2 – 3.(-) + 5 = 7
 Vậy B = 4 với x = và B = 7 với x = - .
0,5
0,75
0,75
c. C = 
 (vỡ x – y = 0).
1,5
2
(4,0đ)
1. Vỡ với x; với y, do đú:
 với x, y.
 Theo đề bài thỡ . Từ đú suy ra: 
 Khi đú và 
 ú và 	
 Vậy và 
0,5
0,25
0,5
0,75
2. Ta cú: 
 Suy ra: 
 Do đú: (1)
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra 
 Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:
 Suy ra: x = 4; y = 6; z = 8.
0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
3
(5,0đ)
1. Ta cú: x – 2xy + y – 3 = 0
 ú 2x – 4xy + 2y – 6 = 0 ú 2x – 4xy + 2y – 1 = 5
 ú 2x(1 – 2y) – (1 – 2y) = 5 ú (2x – 1)(1 – 2y) = 5
Lập bảng :
2x – 1
1
5
-1
-5
1 – 2y
5
1
-5
-1
x
1
3
0
-2
y
-2
0
3
1
Thỏa món
Thỏa món
Thỏa món
Thỏa món
Vậy .
0,75
1,0
0,25
2. Ta cú: f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 +  – 101x + 101
	 = x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 +  – 101x + 101
	 = x9(x – 100) – x8(x  – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100) +  + x(x – 100) – (x – 101)
 Suy ra f(100) = 1.
0,75
0,75
0,5
3. Giả sử 8 số nguyờn dương tựy ý đó cho là a1, a2, a3, , a8 với 1 a1 a2  a8 20.
 Nhận thấy rằng với ba số dương a, b, c thỏa món a b c và b + c > a thỡ a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc. Từ đú, ta thấy nếu trong cỏc số a1, a2, a3, , a8 khụng chọn được 3 số là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thỡ:
	a6 a7 + a8 1 + 1 = 2
	a5 a6 + a7 2 + 1 = 3
	a4 a5 + a6 3 + 2 = 5
	a3 a4 + a5 5 + 3 = 8
	a2 a3 + a4 8 + 5 = 13
	a1 a2 + a3 13 + 8 = 21 (trỏi với giả thiết).
 Vậy điều giả sử trờn là sai. Do đú, trong 8 số nguyờn trờn đó cho luụn chọn được ba số x, y, z là độ dài ba cạnh của một tam giỏc.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(5,0đ)
1. 
a. 
 ABM = ABD (g.c.g)
AM = AO (1)
 ACN = ACO (g.c.g)
AN = AO (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN.
b. AOM = AON (c.g.c)
OM = ON (3)
 AOM = AMN (c.g.c)
OM = NM (4)
Từ (3) và (4) suy ra OM = ON = NM.
Do đú MON là tam giỏc đều.
0,5
0,75
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
2. 
Hướng dẫn: 
DE = AM AH (AH là đường cao của ABC).
Vậy DE nhỏ nhất ú AM nhỏ nhất ú M trựng với H.
0,5
0,5
5
(1,0đ)
Ta cú: 
Cỏc số dương và cú tớch khụng đổi nờn tổng của chỳng nhỏ nhất khi và chỉ khi 
Suy ra 
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức khi và .
0,5
0,25
0,25
Chỳ ý: 
Thớ sinh cú thể làm bài bằng cỏch khỏc, nếu đỳng vẫn được điểm tối đa.
Nếu thớ sinh chứng minh bài hỡnh mà khụng vẽ hỡnh thỡ khụng chấm điểm bài hỡnh.