Đề khảo sát học sinh giỏi năm 2016 - 2017 môn: Toán lớp 8

PHÒNG GD – ĐT VŨ THƯ
Ngày 28 tháng 8 năm 2016
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017
Môn: Toán - Lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 1) 5 x3 + 15x2 +10x 3) 
 2) 
 Câu 2. (6 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức: 
2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức 
3) Tìm x nếu : 
4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6. Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 6.
Câu 3. (4 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x và y thì : 
 là số chính phương
2) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức phân tích thành thừa số được 
Câu 4. (4,0 điểm) 
Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm của BE, A là trung điểm của CF. Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung điểm vủa GA và GD. Chứng minh rằng:
Tứ giác MNIK là hình bình hành
Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau. 
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.
----------- Hết -----------
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Hướng dẫn giải
Điểm
Câu 1 (4,0) 
1đ
2) 
1đ
3) 
1đ
 Đặt thì 
1đ
Câu 2 (6,0)
1) Tính giá trị của biểu thức: 
+) Số hạng tổng quát: với mọi k nguyên dương.
+) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được:
k=1 thì 
k=2 thì 
k=3 thì 
k=4 thì 
.
K=2016 thì 
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có 
1,5đ
2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức .
Dấu = xảy ra và 
KL: 
1,5đ
3) Tìm x nếu : 
Đặt ta được: 
Kl
1,5đ
4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6. Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 6.
+) chia hết cho 2
+) nên chia hết cho 3.
Vậy chia hết cho 6
1,5đ
Câu 3. (4 điểm)
1) 
Là số chính phương với mọi x và y nguyên.
2đ
2)Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức phân tích thành thừa số được .
 Ta phải tìm a,b,c nguyên sao cho: 
.
 KL: (a; b;c) = (-42;-43;-3); (-42;-3;-43); (34;35;-5); (34;-5;35);
(6;-7;9) ;(6;9;-7); );(-14;-1;-17) (-14;-17;-1)
2đ
Câu 4. (4,0 điểm
Câu 4. Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm của BE, A là trung điểm của CF. Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF. I và K lần lượt là trung điểm vủa GA và GD. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau. 
1)Tứ giác MNIK là hình bình hành
+) Giải thích AN// = BM suy ra tứ giác ANMB là hình bình hành
 Þ MN // = AB
+) Giải thích IK//= AB
 Suy ra tứ giác MNIK là hình bình hành
2 đ
2)Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau. 
+) G nằm trên trung tuyến AM của tam giác ABC.
+)AI= IG (Do I là trung điểm vủa GA)
GI=GM ( Do tứ giác MNIK là hình bình hành
Þ AI= IG= GM 
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh tương tự G là trọng tâm của tam giác DEF
2 đ
Câu 5: (2 điểm)
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB = CK.
+)Vẽ hình bình hành ABMC Þ AB = CM (1)
+) BM//AE Þ góc E1 = góc B2.
CB = CE ÞDCBE cân tại C Þ góc E1 = góc B1.
Þ góc B1 = góc B1.
Þ BO là phân giác của tam giác MBC
Tương tự CO là phân giác của tam giác MBC
Þ MO là phân giác của tam giác MBC
Þ MO là phân giác của góc BMC của hình bình hành ABMC.
+) Chỉ ra MO // phân giác Ax của góc BAC
Þ M, O, K thẳng hàng
+) Chỉ ra tam giác CMK cân tại C Þ CK = CM (2)
 Từ (1) và (2) suy ra AB = CK.
2 đ