Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Thành phố Thái Bình (Có đáp án)

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC : 2013 - 2014
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH
Bài 1 (5,0 điểm)
 1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
	A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144
 2. Cho đa thức F(x) = x3 + ax2 + bx + c (với a, b, c R). 
 Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x - 2 thì dư 5, chia cho đa thức x + 1 thì dư -4. 
 Hãy tính giá trị (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) ?
Bài 2 (4,0 điểm)
 1. Giải phương trình : 
 2. Giải phương trình nghiệm nguyên : 
Bài 3 (3,0 điểm)
 1. Cho ba số thực a, b, c có tích bằng . Hãy rút gọn biểu thức : 
 2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y 10. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 
Bài 4 (5,5 điểm)
 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C. Kẻ AN vuông góc với AM, AP vuông góc với MN (N và P thuộc đường thẳng CD). 
 1. Chứng minh tam giác AMN vuông cân và AN2 = NC . NP
 2. Tính tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD.
 3. Gọi Q là giao điểm của tia AM và tia DC. Chứng minh tổng không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC.
Bài 5 (2,5 điểm)
.
.
 Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh 8
HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8
NĂM HỌC : 2013 - 2014
MÔN : TOÁN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH
Bài 1 (5,0 điểm)
1. A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144
 = [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144
0.25
 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144
0.25
 = (x2 + x - 7 + 5)(x2 + x - 7 - 5) - 144
0.5
 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144
0.25
 = (x2 + x - 7)2 - 169
0.25
 = (x2 + x - 7 - 13)(x2 + x - 7 + 13) 
0.25
 = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6)
0.25
 = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6)
0.25
 = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6)
0.25
2. Gọi thương của phép chia F(x) cho x - 2 và x + 1 lần lượt là P(x) và Q(x)
 Suy ra : x3 + ax2 + bx + c = (x - 2). P(x) + 5 (1)
 x3 + ax2 + bx + c = (x + 1). Q(x) - 4 (2)
0.5
 Thay x = 2 vào (1) ta có : 8 + 4a + 2b + c = 5 ó 4a + 2b + c = -3 (3)
0.5
 Thay x = -1 vào (2) ta có : -1 + a - b + c = -4 ó a - b + c = -3 (4)
0.5
 Từ (3) và (4) => 4a + 2b + c = a - b + c => 3a = -3b => a = -b
0.5
 => a3 = -b3 => a3 + b3 = 0 => (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) = 0 
0.5
Bài 2 (4,0 điểm)
1. 
0.5
0.25
0.25
0.25
 ( vì )
0.25
0.25
 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {; }
0.25
2. ĐKXĐ : x0 , y0
0.25
 => 2y + 2x + 1 = xy
0.5
 ó xy - 2x - 2y - 1 = 0
 ó x(y - 2) - (2y - 4) - 5 = 0
 ó (y - 2)(x - 2) = 5
0.5
 Vì x, y Z => x - 2, y - 2 Z. Do đó ta có bảng giá trị :
x - 2
1
5
-1
-5
y - 2
5
1
-5
-1
x
3
7
1
-3
y
7
3
-3
1
Thử lại
chọn
chọn
chọn
chọn
0.5
 Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên (3 ; 7) , (7 ; 3) , (1 ; -3) , (-3 ; 1) 
0.25
Bài 3 (3,0 điểm)
1. 
 Thay = abc ta có :
0.5
0.25
0.25
0.25
 = 1
 Vậy S = 1
0.25
2. 
0.5
 Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương và , và ta có : (1)
 (2)
0.25
 Từ (1), (2) và từ giả thiết x + y 10 => P 8 + 12 + 2 = 22
0.25
 Dấu "=" xảy ra ó ó
0.25
 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 22 ó x = y = 5
0.25
Bài 4 (5,5 điểm)
1. *) Chứng minh tam giác AMN vuông cân
 - Chứng minh 
0.25
 - Chứng minh ADN = ABM (g.c.g)
 => AN = AM (hai cạnh tương ứng)
0.75
 - Tam giác AMN có AM = AN (chứng minh trên) và (giả thiết)
 => Tam giác AMN vuông cân tại A.
0.5
*) Chứng minh AN2 = NC . NP
 - Tam giác AMN cân tại A (chứng minh trên) và AP MN (giả thiết)
 => AP là tia phân giác của => 
0.25
 - Vì ABCD là hình vuông (giả thiết) => hay 
0.25
 - Chứng minh ACN ∽PAN (g.g)
 => 
0.5
2. - Chứng minh PM = PN
0.25
 - Chu vi tam giác CMP là : 
 CM + MP + CP 
 = CM + PN + CP (vì MP = NP)
0.25
 = CM + PD + DN + CP 
 = (CP + PD) + (BM + CM) (BM = DN vì ADN = ABM)
0.25
 = CD + CB = 2BC
0.25
 - Chu vi hình vuông ABCD bằng 4BC
 => Tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD là : 
0.5
3. - Tam giác ANQ vuông tại A, có đường cao AD
 => AN.AQ = AD.NQ (=2SABC)
 => 
0.5
 Mà NQ2 = AN2 + AQ2 (ĐL Py-ta-go trong tam giác vuông ANQ)
 => (vì AM = AN)
0.5
 Do hình vuông ABCD cho trước nên độ dài cạnh AD không đổi
 => không đổi khi M thay đổi trên cạnh BC.
0.5
Bài 5 (2,5 điểm).
.
 - Đặt SABC = S, SBOC = S1, SCOA = S2, SAOB = S3.
 - Kẻ AH và OK cùng vuông góc với BC (H, KBC)
0.25
 => AH // OK (từ vuông góc đến song song)
0.25
 => (hệ quả định lý Ta-let)
0.25
 => (ABC và OBC có chung cạnh đáy BC, hai chiều cao tương ứng là AH và OK)
0.25
 => 
0.25
 => 
0.25
 => (BĐT Cauchy cho 2 số dương và )
0.25
 Vậy : (1)
 Tương tự : (2)
 (3)
0.25
 Từ (1), (2) và (3) => 
0.25
 Dấu "=" xảy ra ó S1 = S2 = S3 ó O là trọng tâm của tam giác ABC.
0.25
Chú ý
	- Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm điểm theo bước cho một cách giải;
	 Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng.
	- Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm các câu thành phần (không làm tròn).