Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5đ) a. Thực hiện phép tính sau:
 b. Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16
 c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị
Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết.
	a/ (x – 1)3 = - 8	b/ 
	c/ x - 3 = 0	d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 3: (1,0đ) 
	a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
	 Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6.
	b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
Bài 4: (2,0đ)
	a/ Cho . Chứng minh rằng: 
	b/ Cho a, b, c > 0 vµ d·y tØ sè: 
	TÝnh: P = 
	c/ Cho x, y, z, t Î N. Chứng minh rằng: 
M = có giá trị không phải là số tự nhiên.
Bài 5: (3,0 đ) Cho DABC có góc A nhọn. Về phía ngoài DABC vẽ DBAD vuông cân tại A, DCAE vuông cân tại A. Chứng minh:
	a/ DC = BE; DC ^ BE 	
	b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
	c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Bài 6: (0,5đ) Cho DABC nhọn với = 600. Chứng minh rằng:
 	 BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1/
1,0đ
0,25đ
0,25đ
M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 = 4xy – 2(x + y) + 1
M = 45 
0,25đ
0,25đ
c/
1,0đ
Ta có f(-2) = 0 Þ 4a – 2b + c = 0 
 f(2) = 0 Þ 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 4b = 0 Þ b = 0
Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 Þ a = 3/5 ; c = -12/5
0,25đ
0,25đ
2a/
0,5đ
 (x – 1)3 = -8 Þ x – 1 = -2 
Þ x = -1. Vậy x = -1
0,25đ
0,25đ
2b/
0,5đ
. ĐK Þ 
 (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3
0,25đ
0,25đ
2c/
0,5đ
x - 3 = 0. ĐK x ≥ 0 Þ (TMĐK)
0,5đ
2d/
0,5đ
12x = 15y = 20z Þ 
0,5đ
3a/
0,75đ
Vì a Î Z+ Þ 4a º 1 (mod 3) Þ 4a + 2 º 0 (mod 3)
Mà 4a + 2 º 0 (mod 2) Þ 4a + 2 6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b Î Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 6 thì 4a + a + b 6
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3b/
0,75đ
Từ 6x2 + 5y2 = 74 Þ 6x2 ≤ 74 Þ x2 ≤ 74/6 mà x Î Z Þ xÎ{0; 1; 4; 9}
Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 Þ x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 Þ y2 = 10 (loại vì y Î Z)
Nếu x2 = 9 Þ y2 = 4 Þ (x, y) Î {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4a/
1,0đ
 Þ 
Þ Þ đpcm
0,25đ
0,25đ
Ta cã 
	Þ Þ  P = 
0,25đ
0,25đ
4b/
1,0đ
Ta có 
 Þ 
Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
0,25đ
0,25đ
5a/
1,0đ
CM được DABE = DADC (c.g.c) Þ DC = BE 
CM được DC ^ BE
0,5đ
0,5đ
5b/
1,0đ
Viết được CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
Þ BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; 
 BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2
Þ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
0,5đ
0,25đ
0,25đ
5c/
1,0đ
Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
CM được DADE = DCPA Þ CP = AD Þ CP = AB
CM được ; 
Þ DCPK = DBAK (g.c.g) Þ BK = KC Þ đpcm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5/
Hình vẽ:
6/
Hình vẽ
6/
0,5đ
Kẻ BH ^ AC
Vì Þ (1) 
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2 Þ BC2 = AB2 – AH2 + HC2
Þ BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 Þ BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2
Þ BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2) Þ đpcm
0,25đ
0,25đ