Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Thành phố Thái Bình

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC : 2013 - 2014
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1 (4,0 điểm)
 1. Cho tổng . Chứng minh .
 2. Có hay không số nguyên x thỏa mãn đẳng thức sau :
 3x5 - x3 + 6x2 - 18x = 213
Bài 2 (4,0 điểm)
 1. Tìm ba số thực dương a, b, c biết :
 	 và 
 2. Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d R)
 Biết 13a - 6b + 4c = 0. Chứng minh P().P(-2) 0.
Bài 3 (4,0 điểm)
 Cho hàm số y = x - |2x|
 1. Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
 2. Tùy theo giá trị của số thực m, hãy cho biết số điểm chung của (C) và đường thẳng y = m ?
Bài 4 (6,0 điểm)
 Cho tam giác ABC (AB < AC), M là trung điểm của BC. Đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc BAC tại điểm P. Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của P trên đường thẳng AB và đường thẳng AC.
 1. Chứng minh PB = PC và BH = CK.
 2. Chứng minh ba điểm H, M, K thẳng hàng.
 3. Gọi O là giao điểm của PA và HK. Chứng minh OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = PA2 
Bài 5 (2,0 điểm)
 Cho tam giác đều ABC, điểm D nằm giữa A và B. Đường thẳng vẽ từ D vuông góc với AC cắt đường thẳng vẽ từ B vuông góc với BC tại điểm M. Gọi N là trung điểm của AD. Tính số đo góc MCN ?
HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 7
NĂM HỌC : 2013 - 2014
MÔN : TOÁN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH
Bài 1 (4,0 điểm)
1. Có 
 => 25S = 
0.75
 => 25S - S = -
 => 24S = 
0.75
 Vì 24S 
0.5
2. Vì 213 3 => 3x5 - x3 + 6x2 - 18x 3
0.5
 => x3 3 (vì 3x5 3, 6x2 3, 18x 3 với xZ)
0.25
 => x 3 (vì 3 là số nguyên tố)
0.5
 => x3 9, 3x5 9, 6x2 9, 18x 9
0.25
 => 3x5 - x3 + 6x2 - 18x 9. 
0.25
 Mà 213 9 => Không tồn tại số nguyên x thỏa mãn đẳng thức đã cho.
0.25
Bài 2 (4,0 điểm)
1. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
0.5
 => ; ; 
0.25
 => ab = 4 ; bc = 36 ; ca = 9
0.25
 => (abc)2 = (2.6.3)2 
0.25
 => abc = 36 (vì a, b, c dương)
0.25
 => ; ; 
0.25
 Vậy a = 1, b = 4, c = 9 thỏa mãn đề bài
0.25
2. Có => 
0.5
 P(-2) = -8a + 4b - 2c + d => 8P(-2) = -64a + 32b - 16c + 8d
0.5
 Xét hiệu = (a + 2b + 4c + 8d) - (-64a + 32b - 16c + 8d)
0.25
 = 65a - 30b + 20c = 5.(13a - 6b + 4c) = 0 
 (vì 13a - 6b + 4c = 0)
0.25
 => 
0.25
0.25
nếu x 0
Bài 3 (4,0 điểm)
nếu x < 0
 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối được 
0.75
 Chọn điểm: 
 - Với y = -x (x0) : cho x = 1 => y = -1 
 => Điểm A(1 ; -1) thuộc đồ thị hàm số y = -x (x0).
0.5
 - Với y = 3x (x y = -3 
 => Điểm B(-1 ; -3) thuộc đồ thị hàm số y = 3x (x < 0).
0.5
y
O
1
A
-1
-3
-1
B
x
y = m
 Vẽ đồ thị: 
1.0
 Kết luận : Đồ thị (C) của hàm số đã cho gồm hai tia OA, OB như hình vẽ.
0.25
2. Vì y = m (mR) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng m. 
0.25
 Do đó : - Nếu m < 0 thì (C) và y = m có 2 điểm chung phân biệt.
0.25
 - Nếu m = 0 thì (C) và y = m có 1 điểm chung là O(0 ; 0).
0.25
 - Nếu m > 0 thì (C) và y = m không có điểm chung.
0.25
Bài 4 (6,0 điểm)
1. - Chứng minh 
 (c.g.c)
 => PB = PC 
 (hai cạnh tương ứng)
- Chứng minh 
 (cạnh huyền - góc nhọn)
 => PH = PK 
 (hai cạnh tương ứng)
- Chứng minh 
 (cạnh huyền - cạnh g.v)
 => BH = CK
 (hai cạnh tương ứng)
1.0
0.75
0.75
2. Kẻ BE // AC (EHK) => 	(hai góc đồng vị) (1)
0.25
 Mà (chứng minh trên) => AH = AK (hai cạnh tương ứng) 
 => cân tại A => (tính chất tam giác cân) (2)
0.25
 Từ (1) và (2) => hay 
 => cân tại B => BH = BE
0.25
 Mà BH = CK (chứng minh trên) => BE = CK
0.25
 - Chứng minh (c.g.c)
 => (hai góc tương ứng)
0.5
 Mà (hai góc kề bù)
 => 
 => 
 => E, M, K thẳng hàng. 
 Mà EHK => H, M, K thẳng hàng.
0.5
3. - Chứng minh PA HK tại O
0.5
 - Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tại O là OAH, OAK, OPH, OPK ta có : OA2 + OH2 = AH2
 OA2 + OK2 = AK2
 OP2 + OH2 = PH2
 OP2 + OK2 = PK2 
0.5
 => 2(OA2 + OP2 + OH2 + OK2 ) = 2(AH2 + PH2) (vì AH = AK và PH = PK)
 => OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = AH2 + PH2 
0.25
 Mà tam giác PAH vuông tại H => AH2 + PH2 = PA2 (định lý Py-ta-go)
 => OA2 + OP2 + OH2 + OK2 = PA2 
0.25
Bài 5 (2,0 điểm)
- Vẽ tam giác đều MCE (N và E thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ CM).
- Chứng minh (cùng +)
- Chứng minh (c.g.c)
 => 
 => AE // DM (cùng AC)
 => (so le trong)
0.25
0.25
0.25
 - Chứng minh 
0.25
 => cân tại M => MB = MD
 Mà MB = AE (vì ) => MD = AE
0.25
 - Chứng minh (c.g.c) => MN = NE 
0.25
 - Chứng minh (c.c.c) => MCN = NCE
0.25
 Mà MCN + NCE = MCE = 60o => 
0.25
Chú ý
	- Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm điểm theo bước cho một cách giải;
	 Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng.
	- Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm các câu thành phần (không làm tròn).