Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 6, 7, 8 cấp huyện năm học 2012 - 2013 môn: Toán lớp 8

UBND HUYỆN TRIỆU SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: ( 2,5 điểm)
a. Cho: 
 - Thực hiện rút gọn A. 
 - Tìm x nguyên để A nguyên.
b. Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: ( 1,5 điểm)
	a. Chứng minh: a2 + b2 + c2 ³ ab + ac + bc với mọi số a, b, c.
	b. Chứng minh với mọi số dương a, b, c.
Bài 3: (1,5 điểm)
	Giải phương trình: 
Bài 4: (3,0 điểm)
	Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD.
a. Chứng minh DE ^ CF; EF = CM
	b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
	c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..
Bài 5: (1,5 điểm)
	Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.
Chứng minh BF = CE.
UBND HUYỆN TRIỆU SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: ( 2,5 điểm)
Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
0,25
0,25
0,25
0,25
A nguyên khi và chỉ khi nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 
Þ x=3, hoặc x=1.
0,25
Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2 
 = (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2
0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
 = (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 
0,25
 = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)]
0,25
Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
 = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]
 = 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]
0,25
 = 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]
 = 0 Þ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
0,25
Bài 2: ( 1,5 điểm)
Û 2(a2 + b2 + c2 )³ 2(ab + ac + bc)
0,25
Û 2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc ³ 0
0,25
Û (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 ³ 0
Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)2 ³ 0 ) nên có đpcm
0,25
Câu b
Û
0,25
Nhân hai vế với số dương abc được:
Û 
0,25
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: Þ đpcm
0,25
Bài 3: (1,5 điểm)
Û
0,25
Û
0,25
ÛÛ
Û
0,25
Û (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
Û (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16)
0,25
Û 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24 
 = 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
Û 8x2 + 40x = 0
0,25
Û 8x(x + 5) = 0
 x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
0,25
Bài 4: (3,0 điểm)
A
B
C
D
M
E
F
Câu a: 1,25 điểm
DF = AE Þ DDFC = DAED
0,25
Þ ADE = DCF 
Þ EDC + DCF = EDC + ADE 
0,25
 EDC + ADE = 900 nên DE ^ CF
0,25
MC = MA (BD là trung trực của AC)
0,25
MA = FE nên EF = CM
0,25
Câu b: 1,0 điểm
Þ DMCF =DFED Þ MCF = FED
0,25
Từ MCF = FED chứng minh được CM ^ EF
0,25
Tương tự a) được CE ^ BF
0,25
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của DFEC nên chúng đồng qui.
0,25
Câu c: 0,75 điểm
ME + MF = FA + FD là số không đổi.
0,25
Þ ME.MF lớn nhất khi ME = MF
0,25
Lúc đó M là trung điểm của BD
0,25
Bài 5: (1,5 điểm)
Trong DBMF có AD//MF nên:
0,25
A
B
C
D
M
E
F
Trong DCAD có AD//ME nên:
0,25
Chia vế theo vế được:
0,25
 (BM=CM)
0,25
AD là phân giác nên:
0,25
Thay vào trên được:
0,25