Đề khảo sát học sinh giỏi lần 2 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD & ĐT Vũ Thư (Có đáp án)

phòng GD - ĐT Vũ Thư
--- *** ---
Đề khảo sát học sinh giỏi LẦN 2 
Môn: Toán lớp 8 - Năm học: 2016 -2017
Thời gian làm bài 120 phút
Cõu 1. (4,0 điểm) Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử
	a) 
	b) 
Cõu 2. (4,0 điểm)
Tỡm cỏc số a và b sao cho đa thức chia cho đa thức cú dư là 2x + 5
Cho đa thức (a, b, c, d là cỏc số thực xỏc định). 
Biết P(1) = 2016; P(2) = 4032; P(3) = 6048. Tớnh P(5) + P(-1).
Cõu 3. (2 điểm)
Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món 
Tớnh giỏ trị biểu thức: 
Cõu 4. (4 điểm) 
a) Cho cỏc số thực x, y thỏa món 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: 
b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y thỏa món: 
Cõu 5: (4 điểm) 
	Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cạnh AB lấy điểm M, trờn cạnh BC lấy điểm F sao cho 	BM = BF. Qua B kẻ một đường thẳng vuụng gúc với MC tại H cắt cạnh AD tại N.
Chứng minh MB = AN
Tứ giỏc CDNF là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Chứng minh HF ^ HD 
Cõu 6. (2,0 điểm) 
Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, M là một điểm bất kỳ trờn trờn cạnh BC (M khỏc B, C). Gọi P và Q lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn AB và AC. Chứng minh rằng khi M di chuyển trờn cạnh BC thỡ đường thẳng Qua M vuụng gúc với PQ luụn đi qua một điểm cố định.
----------- Hết --------sss---
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 2
Cõu 
Hướng dẫn giải
Điểm
Cõu 1
Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử
	a) 
	b) 
4đ
a
(1,5 điểm)
=
0,5
= 
0,5
= (a + b)(2a + b)(a + 2b)
0,5
b 
(1,5 điểm)
0,5
= 3x(2x + 5) - (2x + 5)
0,5
= (2x + 5)(3x - 1)
0,5
c
(1 điểm)
0,25
= (x4 + 4x2) - (2x3 + 8x) + (2x2 + 8)
0,5
= (x2 + 4)(x2 - 2x + 2)
0,25
2
Tỡm cỏc số a và b sao cho đa thức chia cho đa thức cú dư là 2x + 5
Cho đa thức (a, b, c, d là cỏc số thực xỏc định). Biết P(1) = 2016; P(2) = 4032; P(3) = 6048. Tớnh P(5) + P(-1).
4đ
a
(2.0 điểm)
Gọi thương của phộp chia f(x) cho g(x) là q(x). Ta cú:
0,5
0,5
Cho x = -1 ta được: a + b = -2
Cho x = 3 ta được: 9a + b = -34
0,5
Tỡm được a = -4 và b = 2 và kết luận
0,5
b
(2.0 điểm)
Xột đa thức Q(x) = P(x) - 2016x
0,5
Ta cú Q(1) = P(1) - 2016 = 0
 Q(2) = P(2) - 4032 = 0
 Q(3) = P(3) - 6048 = 0
ị x = 1; 2; 3 là nghiệm của đa thức Q(x) 
0,5
P(x) là đa thức bậc 4 cú hệ số cao nhất là 1, 2016x là đa thức bậc 1 nờn đa thức Q(x) cú bậc 4 hệ số cao nhất là 1. 
0,25
ị Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - k) (k là số thục cho trước)
0,25
ị P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - k) + 2016x
Từ đú tớnh được P(5) + P(-1) = 8208
0,5
Cõu 3
Cho cỏc số thực dương x, y, z thỏa món 
Tớnh giỏ trị biểu thức: 
2đ
(2 điểm)
Từ 
Û x3 + (2y)3 + (3z)3 - 3.x.2y.3z 
0,5
Û (x + 2y + 3z)[(x - 2y)2 + (2y - 3z)2 + (3z - x)2] = 0 
0,5
Suy ra được x = 2y = 3z
0,5
Tớnh được 
0,5
Cõu 4
a) Cho cỏc số thực x, y thỏa món 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: 
b) Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y thỏa món: 
4đ
a (2 điểm)
Từ 
0,75
Suy ra x = 9y +10
0,25
M = 90y2 + 180y + 100
0,25
Biến đổi M = 90(y + 1)2 + 10 
0,25
Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi x = 1; y =- 1
0,25
Kết luận: ...
0,25
b (2 điểm)
ĐK: xy ≠ 0, gt 
0,25
Û (x + y)3 - 3xy(x + y) - (x + y) - 3xy = 0
Û (x + y + 1)(x2 - xy + y2 - x - y) = 0
0,5
Từ đú cú: x2 - xy + y2 - x - y = 0
Û (2x - y - 1)2 + 3(y - 1)2 = 4
0,5
Suy ra 0 < y ≤ 2, mà y ẻ N nờn y = 1; 2
y = 1 ị x = 2
y = 2 ị x = 1 hoặc x = 2
0,5
Kết luận: ...
0,25
5
Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cạnh AB lấy điểm M, trờn cạnh BC lấy điểm F sao cho. BM = BF. Qua B kẻ một đường thẳng vuụng gúc với MC tại H cắt cạnh AD tại N.
Chứng minh MB = AN
Tứ giỏc CDNF là hỡnh gỡ? Vỡ sao?
Chứng minh HF ^ HD 
4đ
a (1,5 điểm) 
- C/m gúc ABN = BCM
0,75
- C/m DABN = DBCM
0,5
Suy ra MB = AN
0,25
b (1,5 điểm)
- C/m ND = CF
0,5
- C/m CDNF là hỡnh bỡnh hành
0,5
Suy ra CDNF là hỡnh chữ nhật
0,5
c (1 điểm)
Gọi giao điểm của CN và DF. Suy ra DF = NC và O là trung điểm của NC và DF
C/m được HO = 1/2NC = 1/2DF
0,5
Trong tam giỏc DHF cú HO là trung tuyến, HO = 1/2DF
Suy ra tam giỏc DFH vuụng nờn cú đpcm.
0,5
6 (2 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, M là một điểm bất kỳ trờn trờn cạnh BC (M khỏc B, C). Gọi P và Q lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn AB và AC. Chứng minh rằng khi M di chuyển trờn cạnh BC thỡ đường thẳng Qua M vuụng gúc với PQ luụn đi qua một điểm cố định.
- Dựng hỡnh vuụng ABDC. gọi H là giao điểm của DQ và CP
C/m QC = AP
0,5
C/m DCQD = DAPC suy ra QD = PC và QD ^ PC
0,5
Gọi K là giao điểm của DM và PQ. C/m DQMD = DCQP
0,5
Suy ra: gúc QDK = gúc QPH từ đú C/m được gúcQKD = 900 
suy ra: ĐPCM
0,5