Đề khảo sát chất lượng HSG năm học: 2014-2015 môn thi: Toán 7 - THCS (Lần 2)

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
 LỚP: 7A
Rèn luyện kỹ năng làm bài
(LẦN 2)
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
Năm học: 2014-2015
Môn thi: Toán 7 - THCS
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(4 điểm): 
a) Cho biểu thức: P = x – 4xy + y. Tính giá trị của P với y = – 0,75
b) Rút gọn biểu thức: 
Câu 2 (4điểm): 
Tìm x, y, z, biết:
 2x = 3y; 4y = 5z và x + y + z = 11
Tìm x, biết: 
Câu 3(3 điểm): Cho hàm số: y = f(x) = – 4x3 + x
Tính f(0), f(–0,5)
Chứng minh: f(–a) = –f(a).
Câu 4: (1,0 điểm): Tìm các số tự nhiên x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y + z = xyz.
Câu 5(6 điểm): Cho ABC có góc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN.
Chứng minh rằng: AMC = ABN;
Chứng minh: BN CM;
Kẻ AH BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. 
Câu 6 (2 điểm): 
1) Cho ba số a, b, c thõa mãn: và a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.
2) Cho a, b ,c là các số thuộc đoạn (–1a, b, c 2) thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 6
 Hết
Chú ý: - Giám thị không giải thích gì thêm.
- Học sinh không được dùng máy tính.
TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
 LỚP: 7A
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 7
NĂM HỌC 2014-2015
Câu
Nội dung
B.Điểm
Câu 1
(4điểm)
a) Ta có: hoặc x = -1,5
+) Với x = 1,5 và y = -0,75 thì 
P = 1,5 -4.1,5(-0,75) -0,75 = 1,5(1 + 3) = 6 -0,75 = 5,25
+) Với x = -1,5 và y = - 0,75 thì
P = -1,5 -4(-1,5).(-0,75) - 0,75 = -1,5(1+3) - 0,75 = -6,75
1
1
b) = 
2
Câu 2
(4 điểm)
a) 2x = 3y; 4y = 5z 
 x = 5; y = ; z = 
1
1
b) (1)
Vì VT 0 hay x 0, do đó:
(1) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x x = 6
1
1
Câu 3
(3điểm)
f(0) = 0
f(-0,5) = -4.(-)3 - = 
1
1
f(-a) = -4(-a)3 - a = 4a3 - a
- f(a) = - = 4a3 - a
 f(-a) = -f(a)
0,5
0,5
Câu 4
(1 điểm)
Không mất tính tổng quát của bài toán giả sử 
Vì x, y, z là các số tự nhiên khác 0 
Ta có 
Thay vào (*) ta được 
 1+y+z = yz
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên các bộ số (x,y,z) thoả mãn bài toán là : 
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu 5
(6 điểm)
a) Xét AMC và ABN, có:
 AM = AB (AMB vuông cân)
AC = AN (ACN vuông cân)
 MAC = NAC ( = 900 + BAC)
Suy ra AMC = ABN (c - g - c)
1,0
1,0
0,5
b) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC.
 Xét KIC và AIN, có:
 ANI = KCI (AMC = ABN)
 AIN = KIC (đối đỉnh)
 IKC = NAI = 900, do đó: MC BN
1
1
0,5
c) Kẻ ME AH tại E, NF AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH.
- Ta có: BAH + MAE = 900(vì MAB = 900)
Lại có MAE + AME = 900, nên AME = BAH
 Xét MAE và ABH , vuông tại E và H, có:
 AME = BAH (chứng minh trên)
 MA = AB
Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền-góc nhọn) 
 ME = AH 
- Chứng minh tương tự ta có AFN = CHA 
 FN = AH
Xét MED và NFD, vuông tại E và F, có:
 ME = NF (= AH)
 EMD = FND(phụ với MDE và FDN, mà MDE =FDN)
 MED = NFD BD = ND.
Vậy AH đi qua trung điểm của MN.
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 6
(2 điểm)
1) Vì: nên 0 
(vì a + b + c = 1)
Hay 3c .
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: - khi đó a + b = 
2. Ta có: (a + 1)0, (a + 2) 0, suy ra (a + 1)(a – 2) 0
 Suy ra: a2 – 2 – a 0, suy ra a2 2 + a . Tương tự, cộng vế với vế suy ra đpcm
0,5
0,5
Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
 	 - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình.