Đề khảo sát chất lượng học sinh lớp 9 năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ NỘI 
ĐỀ THI THỬ SỐ 4 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 9 – THCS 
Năm học 2016 – 2017 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút 
(Không kể thời gian phát đề) 
Bài I (2,0 điểm) 
Cho biểu thức 
 2 2 11 1
:
1
x xx x x x
A
xx x x x
   
      
. 
1. Rút gọn A . 
2. Tìm x để 0A . 
3. Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên. 
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: 
 Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ 
nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi mỗi 
người làm một mình thì sau bao lâu thì xong công việc? 
Bài III (2,0 điểm) 
1. Giải hệ phương trình 
3 2
4
1 2
2 1
5
1 2
x
x y
x
x y

   

  
  
. 
2. Cho parabol  2y x P và đường thẳng  2 1y mx d  . 
a. Chứng minh rằng parabol  P luôn cắt đường thẳng  d tại hai điểm phân biệt. 
b. Tính giá trị của biểu thức 21 2 1 22 3T x x x mx     , với 1x , 2x là hoành độ các giao điểm 
của  P và  d . 
Bài IV (3,5 điểm) 
 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  ;O R . Hai đường cao AD và BE  ,D BC E AC  
của tam giác ABC lần lượt cắt đường tròn  O tại các điểm thứ hai là M và N . 
1. Chứng minh rằng bốn điểm , , ,A E D B cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của đường 
tròn đó. 
2. Chứng minh rằng MN song song DE . 
3. Cho  O và một dây AB cố định. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 
giác CDE luôn không đổi khi điểm C di động trên cung AB lớn. 
4. Tìm vị trí điểm C trên cung lớn AB cố định để diện tích tam giác CDE đạt giá trị lớn nhất. 
Bài V (0,5 điểm) 
 Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn 0 1a b c    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
     2 2 2 1Q a b c b c b c c      . 
.................................... Hết .................................... 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm. 
Họ tên thí sinh:...................................................... 
Họ tên, chữ ký của cán bộ coi thi số 1: 
Số báo danh:.......................................................... 
Họ tên, chữ ký của cán bộ coi thi số 2: 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ NỘI 
ĐỀ THI THỬ SỐ 4 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP 9 – THCS 
Năm học 2016 – 2017 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian làm bài: 120 phút 
(Không kể thời gian phát đề) 
ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM 
Bài Ý Đáp án Điểm 
Bài I 
(2,0 điểm) 
1. 
Rút gọn... 1,0 
Điều kiện: 0x  ; 1x  . 0,25 
 
 
 
 
 
  
3 3 2
1 1 2 1
:
1 1 1 1
x x x
A
x x x x x x
   
  
    
  
  
 
  
 
 
  
2
1 1 1 1 2 1
:
1 1 1 1
x x x x x x x
x x x x x x
       
  
    
 
0,25 
 
 
2 11 1 1 1 1
: .
1 2 1
xx x x x x x x x x
x x x x x
          
       
 0,25 
 
2 1 1
.
12 1
x x x
x xx
 
 

. 0,25 
2. 
Tìm x để... 0,5 
1
0 0 1 0 1 0 1
1
x
A x x x
x

          

. 0,25 
Kết hợp với điều kiện 0 1x   . 0,25 
3. 
Tìm các giá trị... 0,5 
1 1 2 2
1
1 1 1
x x
A
x x x
  
   
  
. 
A nhận giá trị nguyên  
2 2
1 1 1; 2
1 1
x
x x
         
 
. 
 0;4;9x  . 
0,25 
Kết hợp với điều kiện  4;9x  . 0,25 
Bài II 
(2,0 điểm) 
Giải bài toán... 2,0 
Gọi ,x y (ngày) lần lượt là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai làm một 
mình xong công việc.  , 4x y  
0,25 
Trong một ngày, người thứ nhất làm được 
1
x
 (công việc) và người thứ hai làm 
được 
1
y
 (công việc). 
0,25 
Trong một ngày cả hai người làm được 
1
4
 (công việc). 
1 1 1
4x y
   (1) 
0,25 
Trong 9 ngày, người thứ nhất làm được 
9
x
 (công việc). 
Vì nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai làm tiếp trong 
1 ngày nữa thì xong công việc 
9 1
1
x y
   (2) 
0,25 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
1 1 1
4
9 1
1
x y
x y

 


  

 . 0,25 
Giải ra ta được 
12
6
x
y



 (thỏa mãn điều kiện) 0,5 
Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày thì làm xong công việc và người 
thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì xong công việc. 
0,25 
Bài III 
(2,0 điểm) 
1. 
Giải hệ phương trình... 1,0 
Điều kiện 1; 2x y   . 
Đặt 
1
x
X
x


 và 
1
2
Y
y


 thế vào hệ phương trình 
3 2 4
2 5
X Y
X Y
 
 
 
. 
0,25 
3 2 4 3 2 4 2 2
4 2 10 7 14 3 2 4 1
X Y X Y X X
X Y X X Y Y
        
      
        
 0,25 
2
21
1 1
1
2
x
xx
y
y

 
  
  

 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 
Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm duy nhất    ; 2; 1x y   . 0,25 
2a. 
Chứng minh rằng... 0,25 
Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 2 1 0x mx   (*) 
2 1 0m m       (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x m  
 Parabol  P luôn cắt đường thẳng  d tại 2 nghiệm phân biệt m  . 
0,25 
2b. 
Tính giá trị của biểu thức... 0,75 
Theo hệ thức Vi-ét ta có 
1 2
1 2
2
1
x x m
x x
 

 
. 0,25 
Vì 1x là 1 nghiệm của phương trình (*) 
2 2
1 1 1 12 1 0 2 1x mx x mx       . 
Xét  2 21 2 1 22 3 2 4 2 .2 4 4 4x mx m x x m m m         (1) 
0,25 
Xét  
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 22x x x x x x x x      
 
2 2
1 2 1 2 1 22 2 4 4x x x x x x m      (2) 
Từ (1) và (2) 2 24 4 4 4 0T m m      . 
0,25 
Bài IV 
(3,5 điểm) 
1. 
Chứng minh rằng bốn điểm... 1,0 
Vẽ hình đến câu 1. 
0,25 
Do ,AD BE là đường cao của ABC 
090ADB  và 090AEB  . 
0,25 
Xét tứ giác AEDB có 090ADB AEB  
 Bốn điểm , , ,A E D B cùng thuộc một đường 
tròn đường kính AB . 
0,25 
Tâm I của đường tròn này là trung điểm của 
AB . 
0,25 
2. 
Chứng minh rằng MN song song DE . 1,0 
Xét đường tròn  I ta có 1 1D B (cùng chắn cung AE ) 0,25 
Xét đường tròn  O ta có 1 1M B (cùng chắn cung AN ) 0,25 
1 1D M   MN // DE (do có hai góc đồng vị bằng nhau). 0,5 
3. 
Chứng minh rằng độ dài bán kính... 1,0 
Gọi H là trực tâm của ABC . 
Xét tứ giác CDHE ta có 090CEH  (do AD BC ) và 090CDH  (do 
BE AC ). 
0180CEH CDH   , do đó CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH . 
 đường tròn ngoại tiếp CDE là đường tròn đường kính CH , có bán kính 
bằng 
2
CH
. 
0,25 
Kẻ đường kính CK , ta có: 
090KAC  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O ) KA AC  . 
Mà BE AC nên KA // BH (1) 
Chứng minh tương tự BK // AH (2) 
Từ (1) và (2) AKBH là hình bình hành. 
0,5 
Vì I là trung điểm của AB  I là trung điểm KH . 
Lại có O là trung điểm của CK
2
CH
OI  (tính chất đường trung bình). 
Do AB cố định  I cố định  OI không đổi. 
Vậy khi điểm C di động trên cung AB lớn thì độ dài bán kính đường tròn ngoại 
tiếp CDE luôn không đổi. 
0,25 
4. 
Tìm vị trí điểm C ... 0,5 
Chứng minh được CDE CAB   
2
2
cosCDE
CAB
S CD
ACB
S CA


 
   
 
 không đổi vì 
AB cố định. 
0,25 
CDES max ABCS max CH max C là điểm chính giữa của cung BC . 0,25 
Bài V 
(0,5 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất... 0,5 
Từ  20 1 0a b c a b c       . 
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 
0,25 
   
3 3
2 1 1 2 2 4. . 2 2 .
2 2 3 27
b b c b c
b c b b b c b
   
     
 
. 
 
23
2 2 3 2
3
2 2 3
4 23 23 54 23 23 23
1 1 . 1
27 27 27 23 54 54 27
23 23 23
1
54 54 1 10854 54 27. . .
23 3 23 3 529
c c c
Q c c c c c c c
c c
c
     
              
     
 
        
        
      
 
Dấu đẳng thức xảy ra 
 2 00
12
2 2
23
23 23
181
54 27
23
a
a b c
b c b b
c c
c

  
   
 
     
 
  
 
. 
Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 
108
529
 khi  
12 18
; ; 0; ;
23 23
a b c
 
  
 
. 
0,25