Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD & ĐT Nho Quan (Có đáp án)

UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
Năm học 2014 – 2015
MÔN: TOÁN 8
 (Thời gian làm bài 150 phút)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (5,0 điểm).
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 	 b) 
2. Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức.
b) Tìm các giá trị nguyên của để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
c) Tìm để .
Câu 2 (3,0 điểm).
 Giải các phương trình sau: 
a) b) 
Câu 3 (4,0 điểm).
 1. Cho là các số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng biểu thúc là bình phương của một số hữu tỷ.
 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: .
 3. Cho các số nguyên thoả mãn . 
 Tính giá trị của biểu thức .
Câu 4 (6,0 điểm). 
Cho tam giác , là một điểm thuộc cạnh . Qua kẻ các đường thẳng song song với chúng cắt lần lượt tại . 
a) Chứng minh tứ giác là hình bình hành. Xác định vị trí của điểm trên cạnh để hình bình hành là hình thoi.
b) Chứng minh rằng .
c) Cho . Tính ( ký hiệu là diện tích tam giác).
d) Chứng minh rằng 
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
---------------Hết---------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI 
Môn: Toán 8
Năm học 2014 - 2015
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(5,0điểm)
1. (2,0 điểm)
a) 
0,5
b) = 
0,5
0,25
0,5
0,25
2. (3,0 điểm)
a) 
ĐKXĐ: 
0,25
=
0,5
=
0,25
b) Để A nguyên thì nguyên là ước của 2.
Ư(2)=
0,25
*) = -2 (loại)
*) = -1 (loại)
0,25
*) = 1 0 (TM)
*) = 2 (loại)
0,25
Vậy thì A nhận giá trị nguyên
0,25
c) 
0,5
0,25
Đối chiếu với ĐKXĐ ta có là giá trị cần tìm.
0,25
`
a) (1,5 điểm)
*) Nếu , phương trình đã cho trở thành
0,25
0,25
0,25
*) Nếu , phương trình đã cho trở thành 
0,25
 vô nghiệm
0,25
KL: Phương trình có một nghiệm .
0,25
b) (1,5 điểm)
§KX§: 
0,25
0,5
0,25
0,25
x = 0 (thỏa mãn ĐK) ; x = - 4 (không thỏa mãn ĐK)
Vậy pt có nghiệm 
0,25
Câu 3
(4,0 điểm)
Câu 4
(6,0 điểm)
1. (1,0 điểm) 
Vì nên 
0,25
0,25
0,25
Do đó =ĐPCM
0,25
2. (1,5 điểm) 
 (1)
Từ (1) suy ra 
0,25
*) 
0,25
*) 
0,25
*) 
0,25
*) 
0,25
Vậy Pt đã cho có các cặp nghiệm nguyên là 
0,25
3. (1,5 điểm) 
Đặt ; . Ta có: . 
0,5
Ta có: 
0,25
Do là số nguyên có tổng bằng 0 và nên
0,5
0,25
a) (1,0 điểm) 
Ta có ME//AB, MD//AC(giả thiết) nên tứ giác ADME là hình bình hành.
0,5
Để hình bình hành ADME là hình thoi thì đường chéo AM là phân giác của là chân đường phân giác của 
0,5
b) (1,0 điểm) 
Xét và có , (vì đồng vị)
0,5
đồng dạng với (g.g)
0,25
0,25
c) (2,0 điểm) 
Từ đồng dạng với theo chứng minh trên 
0,5
0, 5
Mặt khác do MD//AC 
0,5
0,5
d) (2,0 điểm) 
Theo chứng minh trên là hình bình hành 
0,25
0,5
0,5
Cộng về theo vế (1) và (2) ta có 
0,25
0,25
Lại có 
0,25
Câu 5
(2,0điểm)
Đặt , Biểu thức đã cho trở thành 
0,25
=
0,25
*) Vì 
0,25
Đẳng thức xảy ra khi . Vậy MinP = 1 khi hoặc 
0,25
 nên và là hai số không âm. 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có 
0,25
0,25
Đẳng thức xảy ra khi 
0,25
Vậy MaxP = khi 
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.