Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn thi: Toán lớp 9

PHÒNG GD&ĐT NHO QUAN 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG 
HỌC SINH GIỎI 
Môn thi: TOÁN - Lớp 9 
Thời gian: 120 phút 
Câu I (4,5 điểm). 
 Cho hai biểu thức 
3
2
x
P
x



và 
1 5 2
42
x x
Q
xx
 
 

 , với 0, 4x x  
 1. Tính giá trị của biểu thức P khi 10 ( 4 2 3 7 4 3)x      
2. Rút gọn biểu thức Q . 
 3. Tìm giá trị của x để biểu thức 
P
Q
 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu II (4,5 điểm). 
 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng 
1
: 2d y x   , :
2
2 3y x kd    , 
3
: 2( 1) 3y k x kd      ( k là tham số). 
 a) Tìm giá trị của k để đường thẳng 
2
d đi qua gốc tọa độ. 
 b) Tìm giá trị của k để đường thẳng 
1
d cắt đường thẳng 
2
d tại một điểm nằm trên trục hoành. 
 c) Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng 
3
d luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm 
cố định đó. 
 2. Giải phương trình sau: 
2 2
9
1
x x
x
  

Câu III (3,5 điểm). 
 1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 
2015 2018
2012 2013 2015x y  
 2. Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 2 2x y z xy yz zx     và 
2015 2015 2015 20163x y z   . Tìm , ,x y z . 
 3. Cho ,x y là hai số không âm thỏa mãn điều kiện 2 2(1 )(1 ) 1xy x y    . Tính giá trị 
của biểu thức: 2 21 1T x y y x    
Câu IV (6,0 điểm). 
 Cho đường tròn ( ; )O R và đường thẳng d cố định, d không có điểm chung với đường tròn. Gọi 
M là điểm thuộc đường thẳng d . Qua M kẻ hai tiếp tuyến ,MA MB tới đường tròn ( ,A B là các 
tiếp điểm). Từ O kẻ OH vuông góc với đường thẳng d ( H d ). Nối A với B , AB cắt OH tại 
K và cắt OM tại I . Tia OM cắt ( ; )O R tại E . 
 a) Chứng minh rằng năm điểm , , , ,A O B H M cùng thuộc một đường tròn. 
 b) Chứng minh rằng . .OK OH OI OM . 
 c) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB . 
 d) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất. 
Câu V (1,5 điểm). 
 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3ab bc ca   . Chứng minh rằng: 
4 4 4a b c a bc b ca c ab     
.............................................................. HẾT ........................................................