Đề cương ôn tập học kỳ 1 Toán 11

Biên soạn Nguyễn Bá Cư 09644.23689 
Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 1 
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 1 TOÁN 11 
Phần 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 
1. Phương trình bậc hai dối với một hàm số lượng giác: 
Các công thức sử dụng: 2 2sin cos 1a a  
sin2a = 2sinacosa ; 
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a


 ; 
2cot 1
cot 2
2cot
a
a
a

 
 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a      ; 
Dạng pt: 2 2sin sin 0 ; cos cos 0a u b u c a u b u c      Đặt t =sinu (hay cosu) nhớ 1 1t   
2
2
tan tan 0( : , );
2
cot cot 0( : , )
a u b u c dk u k k Z
a u b u c dk u k k Z



     
    
 Đặt t =tanu (hay cotu) , t R ; (nhớ đặt đk cho pt) 
 Bài 1: Giải phương trình: 
2
2
2
2 2
2
2
2 2
b / 4cos x 5cos x 1 0
x x
c / sin 2cos 2 0
2 2
d / sin x 4sin x 3cos x
e /1 5sin x 2c
a / 2sin x 3sinx 1 0
f
os x 0
2cos x 5sinx 4 0
g / 9cos x 5sin x 5co 0
/
s x 4
  
  
 
  

  
  



 2
2
2
2
2 2
2
/ 2 cos 1 2 cos 1 0
1
/ cos 2 sin sin
4
/
/ cos 2 9cos 5 0
/ 3sin 2 7cos 2 3 0
/ cos 2 sin 2cos 1 0
/ cos (3 ) cos 3 3cos( 3 )
 – 3 2 – 4 0
2 0
2 2
h x x
i x x x
j
k x
cos x cos x
x
l x x
m x x x
n x x x
 
   
  
  
  
   
     

 
 
2
2
2
2
2
/ cot 3 1 cot 3 0
/ 3 tan 1 3 tan 1 0
/ tan ( 3 1) tan 3 0
/ 2cos 2 2 tan 5
/ 2 tan 2cot 3
1
/ ( 2 1) tan 2 3
cos
o x x
p x x
q x x
r x x
s x x
t x
x
   
   
   
 
 
   
2. Nhị thức Niu Tơn: Cho khai triển (a+b)n ; *n N 
Số hạng thứ k+1 trong khai triển là: 
( , )k n k knC a b k N k n
   
Bài 2: 
 1/ Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
của
16
31 2x
x
 
 
 
2/ Tìm số hạng khôngchứa x trong khai triển 
của
18
2
2
x
x
 
 
 
3/ Tìm số hạng chứa x15 trong khai triển của 
2 153(2 )
5
x
x

4/ Tìm hệ số của số hạng chứa 30x trong khai triển 
của  
12
3 22x x 
5/ Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển 
10
2 22
3
x
x
 
 
 
 Bài 3: Giải phương trình sau : 
a/ 3 2
14 5n nC C  d/
3 22 9nn nA C n
  g/ 21534 35
2  
x
xx CA 
 j/ 3 2 36 6 24( 1)n n nC A A n    
b/ 2 2
12 3 30x xC A   e/
3 2 25x xA A x  h/
2 2 3
2
1 6
10
2
x x xA A C
x
   k/ 2 2 3 41 2 3 42 2 149n n n nC C C C       
c/ 2 2
12 3 30x xC A   f/ 
x x x
4 5 6
1 1 1
C C C
  i/
3 2 14xx xA C x
  l/ 2 n 2 2 3 3 n 3
n n n n n nC C 2C C C C 100
    
3. Xác suất của biến cố : 
( )
( ) ; ( ) 1 ( )
( )
n A
P A P A P A
n
  

Bài 4:
1) Một hộp có 10 viên bi đỏ và 20 viên bi xanh. 
Lấy ngẫu nhiên hai viên. Tính xác suất sao cho 
a/ hai viên được chọn đều là viên bi đỏ. 
b/ có ít nhất 1 bi đỏ. 
Biên soạn Nguyễn Bá Cư 09644.23689 
Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 2 
2) Một bình chứa 16 viên bi với 7 viên bi trắng, 6 
viên bi đen và 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 
3viên bi. Tính xác suất để 
a/ lấy đủ 3 màu. 
b/ lấy được 1 bi đen và 2 bi trắng. 
c/ lấy được 3 bi cùng màu. 
3) Một hộp thứ nhất đựng 7 viên bi trong đó có 4 
viên bi xanh và 3 viên bi đỏ; hộp thứ hai đựng 
11 viên bi trong đó có 6 viên bi xanh và 5 viên 
bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. 
Tính xác suất để: 
a) Lấy được 2 viên bi đỏ. 
b) Lấy được 2 viên bi khác màu. 
4) Một hộp có 4 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy 
ngẫu nhiên cùng lúc 3 viên bi, tính xác suất để lấy 
được: 
a/1 bi đỏ và 2 bi vàng. 
b/Ít nhất 1 bi vàng. 
c/3 bi cùng màu. 
d) Số bi đỏ nhiều hơn số bi vàng. 
5) Trong một hộp đựng 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ 
và 12 viên bi tím . Lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên 
bi. Tính xác suất để 
a/ lấy đủ 3 màu. 
b/Có ít nhất một viên bi màu đỏ. 
c/lấy được không đủ 3 màu. 
6) Từ một hộp đựng 4 quả cầu trắng , 8 quả cầu đỏ và 6 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu.Tính xác 
suất sao cho: 
a/ Ba quả cầu lấy ra cùng màu. b/ Lấy được ít nhất 1 quả cầu đen. 
7) Từ một hộp chứa 3 quả cầu trắng, 4 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 quả . 
Tính xác suất để 3 quả lấy ra không đủ ba màu. 
8) Có hai cái hộp chứa các quả cầu, hộp thứ nhất gồm 3 quả cầu màu trắng và 2 quả cầu màu đỏ; hộp thứ hai 
gồm 3 quả cầu màu trắng và 4 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 quả cầu. Tính xác suất 
để : 
1) Trong 4 quả cầu lấy ra, có ít nhất một quả cầu màu trắng. 
2) Trong 4 quả cầu lấy ra, có đủ cả ba màu: trắng, đỏ và vàng. 
9) Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ.Giáo viên chủ nhiệm chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác 
suất để 2 em đó khác phái. 
10) Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 5 quyển 
sách Vật lý và 3 quyển sách Hóa học. Lấy 
ngẫu nhiên 3 quyển. Tính xác suất sao cho: 
a) 3 quyển lấy ra có ít nhất 1 quyển sách Vật 
lý. 
b) 3 quyển lấy ra có đúng 2 quyển sách Toán. 
11) Trên một giá sách có các quyển sách về ba 
môn học là Toán, Vật lý và Hoá học, gồm 4 
quyển sách Toán, 5 quyển sách Vật lý và 3 
quyển sách Hoá học. Lấy ngẫu nhiên ra 4 
quyển sách. Tính xác suất để : 
1) Trong 4 quyển sách lấy ra, có ít nhất một quyển 
sách toán. 
2) Trong 4 quyển sách lấy ra, chỉ có hai loại sách về 
hai môn học. 
12) Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1,2,......9. Rút 
ngẫu nhiên 2 thẻ. Tính xác suất để 2 thẻ được rút là 
2 thẻ lẻ 
13) Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ 
được đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để thẻ được 
lấy ghi số:a)Chẵn ; b) Chia hết cho 3 ; c) Lẻ và 
chia hết cho 3 
4. Cấp số cộng: 
Bài 5:1/ Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) biết: 
 a/ 1 3
4 2
6
2 19
u u
u u
 

 
 b/ 1
10
5
50
u
u



 c/ 2 3 5
1 6
10
17
u u u
u u
  

 
7 3
2 7
8
/
75
u u
d
u u
 

 
e/ 1 5
4
2 0
14
u u
S
 


 f/
4
6
9
45
2
S
S





 g/ 3
2 2 2
1 2 3
21
155
S
u u u


  
 2/Cho cấp số cộng (un) có u17 = 33 và u33 = 65. Hãy tính số hạng đầu và công sai của cấp số trên. 
Phần 2: HÌNH HỌC 
1. Phép biến hình: 
a. Phép tịnh tiến: Cho ( ; )v a b . Khi đó: M’=
v
T (M) '
'
M M
M M
x x a
y y b
 
 
 
Biên soạn Nguyễn Bá Cư 09644.23689 
Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 3 
Phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳngd’ song song hoặc trùng với đường thẳng đã 
cho. 
 Nếu v không cùng phương với vtcp ( ; )u b a  của đt d thì: d//d’ và d:ax+by+c=0 thì d’ : ax+by 
+ c1=0 ( 1c c ) 
 Nếu v cùng phương với vtcp ( ; )u b a  của đt d thì: ’d d và d:ax+by+c=0 thì d’ : ax+by + 
c=0 
Phép tịnh tiến biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I’;R) ; với I’ = 
v
T ( I ) 
Bài 6: a/ Trong mp Oxy, cho đường thẳng : 4 2 9 0d x y   ; (2; 6)v   . Tìm d’ là ảnh của d qua 
v
T 
b/ Trong mp Oxy, cho đường thẳng 1 2: 2 0
2 3
d x y    ; 
2
(3; )
3
v  . Tìm ảnh của d qua vT 
c/ Trong mp Oxy, cho đường tròn 2 2( ) : ( 2) ( 5) 7C x y    ; (0; 3)v   .Tìm (C’) là ảnh của (C) qua 
v
T 
d/ Trong mp Oxy, cho đường tròn 2 2( ) : 2 3 2 0C x y x y     ; (0; 3)v   .Tìm ảnh của (C) qua 
v
T 
e/ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) đường kính AB với A(4 ; 6), B(2 ; -2). Tìm phương trình 
đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo )2;3(

u . 
b. Phép vị tự: 
( , )' ( ) 'I kM V M IM kIM   . 
 Phép vị tự ( ; )I kV biến đường thẳng thành đường thẳng song song(nếu I d ) hoặc trùng(nếu I d ) 
với nó. 
 Phép vị tự ( ; )I kV biến đường tròn (H;R) thành đường tròn (H’ ; R’); với H’= ( ; )I kV (H) và R’ = k.R. 
Bài 7: a/ Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x-4y+1=0. Tìm d’ là ảnh của d qua 2
( ; )
3
O
V 
b/ Trong mặt phẳng Oxy cho I(2;3) và đường thẳng d: 
3
4 5
2
x y  . Tìm d’ là ảnh của d qua 5
( ; )
2
I
V

c/ Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): 2 2( 2) ( 5) 14x y    .Tìm (C’) là ảnh của (C) qua ( ; 3)OV  
d/ Trong mặt phẳng Oxy cho I(-3;2); đường tròn (C): 2 2 2 6 3 0x y x y     .Tìm (C’) là ảnh của (C) qua 
( ;2)IV . 
2. Hình học không gian: 
 Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt: Ta tìm 2 điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng 
đó. 
 Cách tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P): 
Phương pháp 1: Tìm giao điểm của d với đt a nằm trong mp (P). Lưu ý: a va d cùng nằm trong 1 mp. 
Phương pháp 2: + Tìm mp phụ (Q) chứa đt d. 
 + Tìm giao tuyến của (P) và (Q) là đt a. 
 + Tìm giao điểm A của đt d với đt a. 
 A là giao điểm cần tìm. 
Chú ý: Trường hợp 1 được sử dụng khi đt a dễ nhìn thấy được. Khi đt a khó nhìn thấy được ta sử dụng 
TH2 để tìm giao điểm. 
Bài 8:
1/ Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M và N lần lượt 
là trung điểm của đoạn AB và SC . 
 a) Xác định giao điểm I = AN  (SBD) 
 b) Xác định giao điểm J = MN  (SBD) 
2/ Cho hình chóp S.ABCD .Trong tam giác SBC 
lấy điểm M và trong tam giác SCD lấy điểm N 
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD). 
b) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt 
phẳng (SAC) 
Biên soạn Nguyễn Bá Cư 09644.23689 
Trên bước đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng 4 
c) Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng 
(AMN) 
3/ Cho hình chóp tứ giác .S ABCD . Trên cạnh SA 
lấy điểm E sao cho EA=2ES. Gọi F,G lần lượt là 
trung điểm của các cạnh SD, BC. 
1) Tìm giao tuyến của  EFG và  ABCD 
2) Tìm giao điểm I của đường thẳng SB với mặt 
phẳng (EFG). 
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác 
lồi. Gọi E là một điểm thuộc miền trong của tam 
giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
(SAC) và (SBE), suy ra giao điểm của BE và 
(SAC). 
 5/ Cho hình chóp S.ABCD có AD và BC không 
song song. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của 
SB và SC. 
1) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). 
2) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với 
(AMN) 
 6/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác 
lồi. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm thuộc 
cạnh CD sao cho CN = 2ND. 
1) Tìm giao tuyến của mp(SAC) và mp(SMN) 
2) Tìm giao điểm của đường thẳng DB với 
mp(SMN). 
7/ Cho hình chóp S.ABCD là hình thang với đáy lớn 
là AD.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của 
BC,CD, SA. 
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAB), (SAD). 
b) Tìm giao điểm của (MNP) với SB, SD. 
c) Tìm giao điểm của SC với (MNP). 
8/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
thang 
 (AB < CD và AB // CD). Gọi M là trung điểm của 
SA. 
a/Tìm giao tuyến của mp(SAD) và mp(SBC) 
b/Tìm giao điểm của SD với mp(MBC). 
9/ Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang(AB// 
CD và AB > CD). H, K lần lượt là hai điểm thuộc hai 
cạnh SC,SB 
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: (SAB) và 
(SCD) , (SAD) và (SBC). 
b) Tìm giao điểm P của AH và mặt phẳng (SBD) và 
giao điểm Q của DK và mặt phẳng (SAC) 
c) Gọi I , M , N lần lượt là ba điểm thuộc SA,AB và 
BC . Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng 
(IMN). 
10/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
thang với đáy lớn AB = 2CD . Gọi M,N lần lượt là 
trung điểm của các cạnh bên SA,SB 
 a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và 
(SBD) 
 b) Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt 
phẳng (SCD) 
11/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
bình hành.Gọi G là trọng tâm  SAB và I là trung 
điểm AB. Lấy M trên đoạn AD sao cho AD = 3AM. 
 Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). 
12/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các 
cạnh AB, AD và SB. 
a) Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với BC. 
 b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và 
(SBD). 
13/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB 
và SD. 
1) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD);(SAD) 
và(SBC) 
2) Tìm giao điểm của SA với (CMN)