Thủ thuật lượng giác

Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
Phần 1: Lý thuyết + biến đổi lượng giác 
Bài 1 : Chọn đáp án đúng khi rút gọn các biểu thức sau 
Ví dụ mẫu: Rút gọn 
sin x sin x cos xP
tan x
  
4 42
2 1
Nhập sin x sin x cos x
tan x
4 42
2 1
 
 Calc: x P cos cos x
160 120 2
2
     
Ví dụ 2: cos x cos x sin x sin xP
cosx sinx
  
3 33 3
Nhập cos x cos x sin x sin x
cosx sinx
3 33 3  Calc: x P Calc x P60 3; : 15 3...      
Vậy P = 3 
Ví dụ 3 .Tập xác định của hàm số y
sinx


1
2 3
 là 
A. D R\ k ;k z
          
2
3
 B. D R\ k ;k z
          
2
6
C. D R\ k , k ; k z
             
52 2
6 6
 D. D R\ k , k ; k z
             
22 2
3 3
Nhập Mode 7  f x
sinx
1
2 3


Start : 0 ; End 180 ; Step 15 ta có bảng 
 x  f x
 0 - 0.577
 15 - 0.822
 30 - 1.366
 60 ERR0R 
 120 ERR0R 
Vậy đáp án là D 
Ví dụ Hàm số y x cos x4 sin 2  có bao nhiêu cực trị thuộc  0;2
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
Có y cosx x' 4 2sin2 
Nhập Mode7  f x x x
Start End Step
4cos 2sin2
: 0; : 180 ; : 15
 
 và  f x x x
Start End Step
4cos 2sin2
: 180; : 360 ; : 15
 
Thấy đổi dấu 2 lần tại x x90 270   nên hàm số có 2 cực trị 
Ví dụ : tìm Max – Min hàm số 
1. 2 cos2 4 siny x x  trên đoạn 0;
2
    
Có y' sin x cosx 2 2 2 4 
Nhập Mode 7  f x sin x cosx 2 2 2 4 Start : 0 ; End :90 ; Step 15 ta có 
 x  f x 
 0 4 
 15 2.4494 
 30 1.0146 
 45 0 
 60 -0.443
 75 -0.378
 90 0 
Vậy nghiệm là x ;x  
4 2
sẽ phải khảo sát table nhiều lần vì kho thể lấy bước nhẩy quá 
lớn do đó sẽ lâu hơn cách trên 
Ví dụ giải các phương trình 
Nhập f x  2 cos2x  4 sinx Calc : x = 0 
 f 0 2 ;Calc : x 45 f 45 2 2 ;Calc : x 90 f x 4 2 
Chú ý : Có thể nhập Mode 7 f x  2 cos2x  4 sinx để tìm Max , Min nhưng 
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
Bài 1. Giải phương trình: 
  cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14          
Lời giải 
Bước 1: Nhập vào Casio 
Mode7 , máy hiện thị 
   nhapf x f x cos x cos x cos x
Start : x
End : x
Step :
     


3 4 2 3 4
0
180
15
Ta có kết quả x
 90
2
Làm tương tự 
   nhapf x f x cos x cos x cos x
Start : x
End : x
Step :
     


3 4 2 3 4
180
360
15
Ta có kết quả x
  3270
2
Hết nghiệm , biểu diễn nhanh trên vòng tròn lượng giác ta có 
 Hai nghiệm đối xứng nhau qua gốc tọa độ 
 Do đó chỉ nhận nghiệm x k ,k Z   
2
Bước 2: Do bài chỉ yêu cầu tìm trên ;  0 14 nên ta làm tiếp như sau 
Cho x k ,k Z . k .          
140 14 0 0 5 4 46
2
Nhập mode7,    tim.duoc
Start :
f x . x;cho : End : k ; ; ;
Step :
    
3
0 5 3 0 1 2 3
1
Vậy phương trình có 4 nghiệm x ; ; ;         
3 5 7
2 2 2 2
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
Bài 2. Giải phương trình:      2cos x 1 2 sin x cosx sin2x sin x     
      nhapf x f x cosx sinx cosx sin x sinx
Start : x
End : x
Step :
      


2 1 2 2
0
180
15
Ta có kết quả x ;x
     360 135
3 4
Lần 2 
      nhapf x f x cosx sinx cosx sin x sinx
Start : x
End : x
Step :
      


2 1 2 2
180
360
15
Ta có kết quả x ;x
    300 315
3 4
Kết hợp trên đường tròn ta có 
Các nghiệm là 
x k
x k
        
2
3
4
Chú ý: các điểm đứng một mình k 2
 Có 2 điểm đối xứng k 
 4 điểm cách đều nhau k
2
Tổng quát : nếu có n điểm cách đều ta k
n
 2
 f x cos x cos x cosx
Start : x
End : x
Step :
   


3 2 1
0
180
15
Kết quả x k ;x ,x
      20 2 120 180
3
Bài 3. Giải phương trình: cos 3x  cos2x  cosx 1 0  
Hướng dẫn giải 
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
Lần 2 
 f x cos x cos x cosx
Start : x
End : x
Step :
   


3 2 1
0
180
15
Kết quả x ;x ,
    2240 360 2 0
3
 Vậy 
x k
x k
      
2 2
3
 f x sinx cosx sin x cos x
Start : x
End : x
Step :
    


1 2 2
0
180
15
cho x ,x
    2 3120 135
3 4
Lần 2 
 f x sinx cosx sin x cos x
Start : x
End : x
Step :
    


1 2 2
180
360
15
cho x ,x
    2240 315
3 4
Kết quả 
x k
x k
        
4
2 2
3
1. P sin x sin xcos x 4 2 2
Bài 4. Giải phương trình: sin x  cos x 1 sin2x  cos2x  0  
Hướng dẫn giải 
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
Nhập P sin x sin xcos x sin x4 2 2 2   rồi Calc : x P Calc x P60 0 ; : 45; 0...     vậy 
đáp án là A 
A.sin x2 B.cos x2 C.cos x2 D.sin x2
2. P sin x cos x cos x  4 4 2
Nhập P sin x cos x cos x  4 4 2 - đáp án 
Ví dụ sin x cos x cos x sin x : Calc : x P ;Calc : x P4 4 2 2 60 0 15 0          vậy đáp 
án là A 
A.sin x2 B.cos x2 C.cos x2 D.sin x2
3. P sin xtanx cos x.cot x sinxcosx  2 2 2
A.
sin x
2
2
B.
tanx
2 C.
cos x
2
2
D.
cot x
2
4. P cos x sin x sin x  4 4 22
A.1 B.2 C.3 D.4
5.    P cos x cos x sin x sin x   4 2 4 22 3 2 3
A.1 B.2 C.1 D.2
6. P sin x cos x sin x cos x sin x    6 6 4 4 22
A.0 B. .0 5 C.1 D. .1 5
7. P sinx
cosx cosx
  
1 1
1 1
A. 1
2
B. 1
2
C. 2 D.2
8. P sin x cos x cos x sin x   4 2 4 24 4
A. 3
2
B. 2
2
C.3 D.2
9. 
 sin x cos x
P
cosx sinx cos x sin x
 
   
22 2 2 1
3 3
= 2 3
3
A.sinx B.
sinx
1 C.cosx D.
cosx
1
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
10. P sinx sinx x
          
1 1 0
4
11. cosx cos x cos xP
cos x cosx
  
 2
1 2 3
2 1
A.sin x2 B. cosx2 C.cos x2 D. sinx2
12. sin x sin x cos xP
tan x
  
4 42
2 1
A.tan2x B.cot x2 C.cos x2 D.sin x2
13. sin x cos xP
sin x cos x
 
2 2
2 2
3 3
A. cos x8 2 B. cosx8 C. sin x8 2 D. sinx8
14. cos x cos x sin x sin xP
cosx sinx
  
3 33 3
A.3 B.4 C.5 D.6
15. Cho sinx  2 1
2
 với x  00 90 vậy sinxP cot x
cosx
  1
A.  2 2 1 B.  2 2 1 C. 2 1 D.  2 1 2
16. Cho cot x  3 vậy cosx ?; sinx ?  theo thứ tự
A. ;3 1
10 10
B. ; 3 1
10 10
C. ;1 3
10 10
D. ; 1 3
10 10
B. -1; -1 hoặc 2; 0.5
D. 1;1 hoặc 2; 0.5
A. m
2
B. m
2
2
C. m 
2 1
2
D. m
21
2
2. Sin x cos x ? 4 4
A. m4 B. m 2 2 C. m m 
2 41 2
2
D. m m 
4 21 2
2
17. Biết tanx 2cot x 3 vậy tan x?;cot x? theo thứ tự
A. -1 ; -1 hoặc 4; -0.5
C. 1; 1 hoặc 4; 0.5
Câu 18. Biết sinx cosx m vậy
1. Sinxcosx ?
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
3. tan x cot x ? 2 2
A. m
m
 2
2
4 2 B. m
m
 4
4
4 2 C. 
 
 
m m
m
 

4 2
22
2 2 1
1
 D. 
 
 
m m
m
  

4 2
22
2 2 1
1
19. Biểu thức A cos k
       6
 bằng : 
A. ,khi : k n3 2
2
B. ,khi : k n  3 2 1
2
 C. cả A và B đều
đúng 
20. Tập xác định của hàm số y
sinx


1
2 3
 là 
A. D R\ k ;k z
          
2
3
 B. D R\ k ;k z
          
2
6
C. D R\ k , k ; k z
             
52 2
6 6
 D. D R\ k , k ; k z
             
22 2
3 3
21. y
cosx sin x

  2
1
4 5 2
 có tập xác định là 
A. D R\ k ;k z
            
5 2
6
 B. D R\ k ;k z
            
2
4
C. D R\ k ;k z
            
2
6
 D. D R\ k ;k z
            
2
3
22. Tập xác định của hàm số
a. y
cot x


1
3
A. D R\ k ;k z
          6
 B. D R\ k ;k ; k z
           6
C. D R\ k ; k ; k z
             3 2
 D. D R\ k ; k ; k z
              
2
3 2
b. y tan x cot x 2 2
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
A. kD R\ ;k z
         4
 B . kD R\ ;k z
         2
C.  D R\ k ;k z   D. kD R\ k ;k z           4 
c. y cot x
      
2
3
A. kD R\ ;k z
          6 2
 B. D R\ k ;k z
          6
C. D R\ k ;k z
           
5
6
 D. Kết quả khác
d. y tan x 2 1
A. D R\ k ;k z
          2
C. D R
e. cosxy
sin x
 2
1
A. D R\ k ;k z
          
2
2
 B. D R
D.  D R\ k ;k z   2
B. 2 C.  D. 
2
2 2
A. 4 B.  C. 
2
D. 
4
3. y sin x cos x 2 3 3
A. 2 B.  C. 2
3
D. 
3
B. D  R\k; k  z
D. Kết quả khác
C. D R\k; k z
23. Chu kỳ của hàm số
1. y cos2x
A. 4
2. y cot x4tan x
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
24. Max – Min
1. y sinx 1 có GTLN – GTNN theo thứ thự là
A. ;1 1 B. ;1 2 C. ;0 2 D. ;0 1
2. y cos x 3 2 2
A. ;5 1 B. ;2 0 C. 3 ; -1 D. 2; -3
3. y sinx ;x ;
       
72 4
6 6
A. 5; 2 B. 6 ; 1 C. 4; -2 D. 2; -2
4. y cos x ; x ;
      
54 2 1
12 8
A. 3; -1 B. 2 ; -3 C. 3; -5 D. 1; -5
5. y sinx  3 1 1
A. 2 ; 0 B. ;2 1 0 C. ; 3 2 1 1 D. ; 3 2 1 1
6. y sinx cos x   22 2
A. 5; -1 B. 3 ; 1 C. 4 ; 0 D.2 ; 1
7. y sinx sin x   25 2
A. 5 ; 1 B. 8; 3 C. 7 ; 5 D. 8; 4
8. y sinx cos x  2 1
2
A. 1
2
; 0 B. 3
2
;3
4
C. 1
2
; 1
2
D. 2; 1
2
B. 2 5 1 và 5 C. 2 5 1 và 1 D. 2 5 1 và 5
10. y a.cos x b.sin x; a b   4 4 0
A. b và 0 B. a và 0 C. b và ab
a b D. b và 
a b
a b


11. sinxy
cosx
 
3
2
A. 1 và  3 B. 3 và 1 C. 3 và  3 D. 2 và - 2
9. y 2sin2 x 4 sinxcos x 5
A. 2 51 và 1
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
12. cosxy ;x ;
sinx
        2 2 2
A. 1
3
và  1
3
B. 3 và  1
3
C. 1
3
 và 0 D. 3 và 
1
3
13.  cosx sinxy ;x ;
cosx sinx
     
2 3
2 4
A. 3 và 0 B. 1 và -1 C. 2 và 2
11
D. 5
2
và 1
2
14. x xy sin cos
x x
  
 2 2
2 4 1
1 1
B. 2 và -1 C. 17
8
 và sin sin  22 1 1 2 D. 4 và 
B. T R C. kT R\
        4 2
D. Kết quả
B. T ;   1 1 C. T ;     D. T R
B. T ;   2 2 C.  T R\ k  D. Kết quả
A. T ;    2 2 B. T ;
   2 2 C. T R D. T ;   1 1
e. y sinx cosx 
A. T ;   0 1 B. T ;   1 1 C. T R D. 
T ;    2 2
A. 3 và 1
2sin2 1 sin12
15. Tập giá trị
a. y tan2x
A. T  1;1
khác 
b. y tan3x cot 3x
A. T  2;2
c. y cot 2x
A. T  R
khác 
d. y sinx cosx
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
25. Hàm số y sin x  21
A. Là hàm số lẻ B. Hàm ko tuần hoàn
C. Hàm số chẵn D. Hàm không chẵn, không lẻ
26. Hàm số nào sau đây chẵn
A. y sin x 2 B. y x.cosx C. y cot x.cosx D. tanxy
sinx

27. Hàm số nào sau đây chẵn
A. y sinx B. y x .sinx 2 C. xy
cosx
 D. 
y x sinx 
28. Hàm số nào sau đây lẻ
A. y sinxcos2x 1
2
B. y cos2x 2 C. xy
sinx
 D. 
y tanx 1
29. Hàm số nào sau đây lẻ
A. y tanx B. y cot x 3 C. sinxy
cosx
 1 D. 
B. Hàm số y sinx đồng biến trên
;  0
C. Hàm số y tanx nghịch biến trên ;
     
0
2
D. Hàm số y cot x nghịch biến trên
 ;0 
31. Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số y tanx luôn đồng biến ;
     2 2
D. Hàm số y tanx là hàm số chẵn
trên D R\ k
         2
y sinx cosx
30. Khẳng định nào sau đây là đúng
A. Hàm số y  cosx đồng biến trên 0;
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
C. Hàm số y tanx có đồ thị đối xứng qua O D. Hàm số y tanx luôn nghịch biến
;
      2 2
32. Max – Min
1. y sinx 2 có giá trị lớn nhất là
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
2. y cos x 3 1 có giá trị lớn nhất là
A. -2 B. 4 C. 1 D. ko xác định
3. y
cosx
 
1
1
 có giá trị nhỏ nhất là 
A. 1
2
B. 1 C. 1
2
D. Không xác
định 
4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y
tan x

 2
2
1
A. Không xác định B. 1 C. 2 D. 1,5
5. Khẳng định nào sau đây là đúng y sin x 2 2
A. Có GTLN là 2 B. Có GTLN là 3
C. Có giá trị nhỏ nhất là 1 D. Có giá trị nhỏ nhất là 0
6. Khẳng định nào sau đây là đúng y sinx trên ;
     2 2
B. Có giá trị nhỏ nhất là -1
D. Có giá trị nhỏ nhất là 1
A.  B. 1 C. 0 D. Không có
8. Giá trị lớn nhất của y tanx trên ;
      2 2
 là 
A. 
2
B. 0 C. 3 D. Không xác định
A. Không có giá trị lớn nhất
C. Giá trị lớn nhất là 1
7. Giá trị nhỏ nhất của y  cosx trên ; là
Thủ thuật lượng giác Nguyễn Tiến Chinh 
15 – Phó Đức Chính - Đà Nẵng hoặc 12/5 Nguyễn Thị Minh Khai Tel : 0905.558.918 
33. Nhận dạng tam giác
1. sin A sinB sinC Sin A sin B sin C     2 2 2 0 thì tam giác
A. Vuông B. cân C. đều D. vuông cân
2. cosA cosB cosC cos A cos B cos C     2 2 2 0 thì tam giác
A. Vuông B. Cân C. đều D. vuông cân
3. tan A tanB tanC tan A tan B tan C     2 2 2 0 thì tam giác
A. Vuông B. Cân C. Đều D. Vuông cân
4. cot A cot B cotC cot A cot B cot C     2 2 2 0 thì tam giác
A. Vuông B. Cân C. Đều D. Vuông cân