Đề cương ôn tập HKI môn Toán lớp 9

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKI MÔN TOÁN LỚP 9
Phần A- Đại số
Chương I 	CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
Œ Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại : có nghĩa 
2. Hằng đẳng thức: 
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương: 
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương: 
5. Đưa thừa số ra ngoài căn: 
6. Đưa thừa số vào trong căn: 
7. Khử căn thức ở mẫu: 
8. Trục căn thức ở mẫu: 
 Bài tập: 
 Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1) 	2) 	3) 	4) 
5) 	6) 	 	7) 	8) 
‚ Rút gọn biểu thức 
Bài 1
 1) 	2) 	 3) 	
4) 	5) 	 6) 
 7) 	8) 	9) 	
10) 	11) 	12) 
 13) 	14) 
 15) 	16) 
 17) 	18) 
 19) 	20) 
 21) 	22) 
 23) 
Bài 2
1) 2) 3) 4) - 5) + 6)
ƒ Giải phương trình:
1) 	2) 	3) 	4) 
5) 	6) 	7) 	8) 
9) 	10) 11) 	12) 
CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: 
A.Các bước thực hiên:
 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được)
‚Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
ƒQuy đồng, gồm các bước:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.
„Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
…Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
†Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
‡Rút gọn.
B.Bài tập luyện tập:
Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1)
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tính giá trị của biểu thức A tại .
Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 
a) Rút gọn biểu thức P;
b)Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.
Bài 3: Cho biểu thức A =
a)Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa;
b)Rút gọn biểu thức A;
c)Với giá trị nào của x thì A< -1.
Bài 4: Cho biểu thức A = ( Với ) 
a) Rút gọn A;
b) Tìm x để A = - 1.
Bài 5: Cho biểu thức : B = 
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B;
b) Tính giá trị của B với x =3;
c) Tìm giá trị của x để .
Bài 6: Cho biểu thức : P = 
a) Tìm TXĐ;
b) Rút gọn P;
c) Tìm x để P = 2. 
 Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q; 
b) Tìm a để Q dương; 
c) Tính giá trị của biểu thức biết a = 9- 4.
Bài 8: Cho biểu thức: M = 
a) Tìm ĐKXĐ của M;
b) Rút gọn M. Tìm giá trị của a để M = - 4.
Bài 9 : Cho biểu thức : K = 
a) Tìm x để K có nghĩa;
b) Rút gọn K;
c) Tìm x khi K= ; 
d) Tìm giá trị lớn nhất của K.
Bài 10 : Cho biểu thức:	G=
a)Xác định x để G tồn tại;
b)Rút gọn biểu thức G;
c)Tính giá trị của G khi x = 0,16;
d)Tìm gía trị lớn nhất của G;
e)Tìm x Î Z để G nhận giá trị nguyên;
f)Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dương; 
g)Tìm x để G nhận giá trị âm;
Bài 11 : Cho biểu thức: P= Với x ≥ 0 ; x ≠ 1
a)Rút gọn biểu thức trên;
b)Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1.
Bài 12 : cho biểu thức Q=
a)Tìm a dể Q tồn tại;
b)Chứng minh rằng Q không phụ thuộc vào giá trị của a.
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
a)Rút gọn A
b)Tìm các số nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2
Bài 14:Xét biểu thức: P= (Với a ≥0 ; a ≠ 16)
1)Rút gọn P; 2)Tìm a để P =-3; 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố.
Chương II HÀM SỐ - HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. HÀM SỐ:
 Khái niệm hàm số
* Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. HÀM SỐ BẬC NHẤT:
Œ Kiến thức cơ bản:
 Định nghĩa: 
Hàm số bậc nhất có dạng: , trong đó a; b là các số cho trước
Như vậy: Điều kiện để hàm số dạng: là hàm số bậc nhất là: 
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m)x - 2 (1)
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất 
‚ Tính chất:
+ TXĐ: 
+ Đồng biến khi . Nghịch biến khi 
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 – m)x - 2 (2)
Tìm các giá trị của m để hàm số (2): 
+ Đồng biến trên R;
+ Nghịch biến trên R.
Giải: 	+ Hàm số (2) đồng biến 	;
	+ Hàm số (2) nghịch biến 	.
ƒ Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. 
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y = ax+b: 
	Cho x = 0 => y = b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b.
	Cho y = 0 => x = => điểm (;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b.
 Đường thẳng qua hai điểm (0;b) và ( ;0) là đồ thị hàm số y = ax + b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải: Cho x = 0 => y =1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
 Cho y = 0 => x = => điểm ( ;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
 Đường thẳng qua hai điểm (0;1) và ( ;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1 
„ Điều kiện để hai đường thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, :
+ Cắt nhau: (d1) cắt (d2). 
 */. Để hai đường thẳng cắt nhau trên trục tung thì cần thêm điều kiện .
 */. Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì : 
+ Song song với nhau: (d1) // (d2). 
+ Trùng nhau: (d1) (d2). 
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: 	y = (3 – m)x + 2 	 (d1) 
 	y = 2x – m 	(d2)
a)Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau;
b) Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau;
c) Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
a)(d1)//(d2)
b) (d1) cắt (d2) 
c) (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung 
… Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b là a.
+ Cách tính góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lượng giác 
	-Trường hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc nhọn.
	-Trường hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là góc tù ()
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox 
Giải: 	
Ta có:
Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là:
Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.
Ta có: 
Vậy góc tạo bởi đường thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là:
† Các dạng bài tập thường gặp:
- Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng
 song song; cắt nhau; trùng nhau.
Phương pháp: Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b 
¤Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b,
Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.
¤Tính chu vi - diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng:
 Phương pháp: 
+Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S.
-Dạng 3: Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox 
 Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0y1 thì điểm M không thuộc đồ thị.
-Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng:
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1). 
Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1) 
 + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2)
 + Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b.
 + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:
Ví dụ: Cho các đường thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 )
(d2) : y = x +1 
(d3) : y = -x +3 
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 
c) Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui 
Giải: 
a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : 
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m 
=> m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) = 0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x0+ 1 = 0 
x0 + y0 + 5 = 0 suy ra : x0 = -1 
 y0 = - 4 
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) 
b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) :
Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2) 
Để 3 đường thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có: 
2 = (m2 -1) .1 + m2 -5 
m2 = 4 => m = 2 và m = -2 
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui.
 Bài tập: 
Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 
	1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau .
	2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính.	
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? 
Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? 
Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(mvà y = (2 - m)x + 4 ;. Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên:
a)Song song;
b)Cắt nhau .
Bài 5: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10.
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7).
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).
Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = 
a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)?
Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0
 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2) 
b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ? 
Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b 
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc µ tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2
Phần B - HÌNH HỌC
Chương I. HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 Hệ thức giữa cạnh và đường cao:‚Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ + 
+ + 
+ 
+ + 
¤Tỷ số lượng giác:
¤Tính chất của tỷ số lượng giác:
1/ Nếu Thì: 
2/Với nhọn thì 0 < sin < 1, 0 < cos < 1
 *sin2 + cos2 = 1 	*tg = 
 *cotg= 	*tg . cotg=1
¤Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối: 
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề: 
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề:
Bµi TËp ¸p dông:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết b = 4 cm, c = 3 cm. Giải tam giác ABC
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có b’ = 7, c’ = 3. Giải tam giác ABC?
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 4, b’ = 3.2. Giải tam giác ABC?
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 4.8, BC =10. Giải tam giác ABC?
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có h = 4, c’ = 3. Giải tam giác ABC?
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có b = 12, a = 20. Giải tam giác ABC?
Bài7: Chotam giác ABC vuông tại A có h = 4, c = 5. Giải tam giác ABC? 
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông có A = 900, b = 5, B = 400. Giải tam giác ABC?
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có a = 15, B = 600. Giải tam giác ABC?
Bài 10:Cho tam giác ABC vuông tại A có AH = 3, C = 400. Giải tam giác ABC?
Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A có c’ = 4, B = 550. Giải tam giác ABC?
Bài 12: Chotam giác ABC vuông tại A, có trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, h = 4. 
Giải tam giác ABC?
Bài13: Chotam giác ABC vuông tại A, trung tuyến ứng với cạnh huyền m= 5, một góc nhọn bằng 470. Giải tam giác ABC?
Chương II. ĐƯỜNG TRÒN: 
.Sự xác định đường tròn: Muốn xác định được một đường tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc
+ Đường kính( Khi đó tâm là trung điểm của đường kính; bán kính bằng 1/2 đường kính) , hoặc
+ Đường tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đường trung trực của hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) .
‚ Tính chất đối xứng:
+ Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của đường tròn.
+ Bất kì đường kính vào cũng là một trục đối xứng của đường tròn.
ƒ Các mối quan hệ:
1. Quan hệ giữa đường kính và dây:
+ Đường kính (hoặc bán kính) Dây Đi qua trung điểm của dây ấy.
2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau Chúng cách đều tâm.
+ Dây lớn hơn Dây gần tâm hơn.
„Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn:
+ Đường thẳng không cắt đường tròn Không có điểm chung d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng; R là bán kính của đường tròn).
+ Đường thẳng cắt đường tròn Có 2 điểm chung d < R.
+ Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Có 1 điểm chung d = R.
… Tiếp tuyến của đường tròn:
1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đó.
2. Tính chất: Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm)
3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đường thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của một đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó.
BÀI TẬP TỔNG HỢP HỌC KỲ I:
Bài 1 Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đường cao AH cắt đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác tại D 
a/ Chứng minh: AD là đường kính;
b/ Tính góc ACD;
c/ Biết AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tính bán kính của đường tròn tâm (O).
Bài 2 Cho ( O) và A là điểm nằm bên ngoài đường tròn . Kẻ các tiếp tuyến AB ; AC với đường tròn
 ( B , C là tiếp điểm ) 
a/ Chứng minh: OA BC
b/Vẽ đường kính CD chứng minh: BD// AO
c/Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết OB =2cm ; OC = 4 cm?
Bài 3: Cho đường tròn đường kính AB . Qua C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d với đường tròn . G ọi E , F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A , B đến d và H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chửựng minh:
a/ CE = CF 
b/ AC là phân giác của góc BAE 
c/ CH2 = BF . AE 
Bài 4: Cho đường tròn đường kính AB vẽ các tiếp tuyến A x; By từ M trên đường tròn ( M khác A, B) vẽ tiếp tuyến thứ 3 nó cắt Ax ở C cắt B y ở D gọi N là giao điểm của BC Và AO .CMR
a/ 
b/ MN AB
c/ góc COD = 90º
Bài 5: Cho ñöôøng troøn (O), ñöôøng kính AB, ñieåm M thuoäc ñöôøng troøn. Veõ ñieåm N ñoái xöùng vôùi A qua M. BN caét ñöôøng troøn ôû C. Goïi E laø giao ñieåm cuûa AC vaø BM.
a)CMR: NE AB
b) Goïi F laø ñieåm ñoái xöùng vôùi E qua M .CMR: FA laø tieáp tuyeán cuûa (O).
c) Chöùng minh: FN laø tieáp tuyeán cuûa ñtroøn (B;BA).
d/ Chöùng minh : BM.BF = BF2 – FN2
Baøi 6: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O, ñöôøng kính AB = 2R, M laø moät ñieåm tuyø yù treân nöûa ñöôøng troøn 
( M ¹ A; B).Keû hai tia tieáp tuyeán Ax vaø By vôùi nöûa ñöôøng troøn.Qua M keû tieáp tuyeán thöù ba laàn löôït caét Ax vaø By taïi C vaø D.
a) Chöùng minh: CD = AC + BD vaø goùc COD = 900
b) Chöùng minh: AC.BD = R2
c) OC caét AM taïi E, OD caét BM taïi F. Chöùng minh EF = R.
d) Tìm vò trí cuûa M ñeå CD coù ñoä daøi nhoû nhaát.
Baøi 7: Cho ñöôøng troøn (O; R), ñöôøng kính AB. Qua A vaø B veõ laàn löôït 2 tieáp tuyeán (d) vaø (d’) vôùi ñöôøng troøn (O). Moät ñöôøng thaúng qua O caét ñöôøng thaúng (d) ôû M vaø caét ñöôøng thaúng (d’) ôû P. Töø O veõ moät tia vuoâng goùc vôùi MP vaø caét ñöôøng thaúng (d’) ôû N.
a/ Chöùng minh OM = OP vaø tam giaùc NMP caân.
b/ Haï OI vuoâng goùc vôùi MN. Chöùng minh OI = R vaø MN laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (O).
c/ Chöùng minh AM.BN = R2
d/ Tìm vò trí cuûa M ñeå dieän tích töù giaùc AMNB laø nhoû nhaát. Veõ hình minh hoaï. 
-------------------------------------------------------