Đề cương ôn tập Đại số lớp 9 – Học kì I

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ LỚP 9 – HỌC KÌ I
I/ LÝ THUYẾT CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA 
Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức .
Liên hệ giữa phép nhân (chia) và phép khai phương.
Các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai.
Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai.
II/ BI TẬP 
Bài 1: 	Thực hiện phép tính:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	 f) 
Bài 2: Giải phương trình : 
a) b) c) 
Bài 3: Cho biểu thức: 
	a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 	c) Tìm xÎ Z để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 4: Cho biểu thức: Với v 
 a) Rt gọn B b) Tìm x để B = 3
Bài 5: Cho biểu thức: Với v 
 a) Rt gọn C b) Tìm x sao cho 
Bài 6: Cho biểu thức: 
 a) Rt gọn D b) Tính gi trị của D với x = c) Tính giá trị của x để 
III/ LÝ THUYẾT CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT
Hm số bậc nhất.
Đồ thị của hàm số y = ax + b.
Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau.
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.
IV/ BI TẬP 
Bài 1: Cho đường thẳng: y = (k -1)x + 1. Tìm k để đường thẳng:
 a) Đi qua A(–2; 3) 
 b) song song với đường thẳng y = –3x + 2 
Bài 2: a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1) và B(1;2)	 
	 b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = mx + 1 đi qua giao điểm của hai đường thẳng x = 1 và y = 2x + 1.
Bài 3: Cho đường thẳng: x–y–1 = 0 (d) và điểm B(–1; –2).
	a) Điểm B có thuộc đường thẳng (d) không?
	b) Viết phương trình đường thẳng (d’) đi qua B và vuông góc với (d).
	c) Vẽ (d) và (d’) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
Bài 4:Trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị các hàm số: y = x+1 và y = –2x+4. Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
Bài 5: Cho hai hàm số bậc nhất: y = kx + m–2 và y = (3–k)x +5 – m. Với điều kiện nào của k và m thì đồ thị của hai hàm số trên:
	a) song song với nhau 
 b) trùng nhau	 	
 c) Cắt nhau tại trục tung.
ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC 9 – KÌ I
I/ LÝ THUYẾT CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Một số hệ thức về cạnh v gĩc trong tam gic vuơng.
II/ BI TẬP 
Bài 1: Cho DABC vuông tại A, đ/cao AH. Cho AH = 16cm, BH =25 cm. Tính AB, AC, BC, CH?
Bài 2: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng BH và CH có độ dài lần lượt là 4 cm và 9 cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AE và AC. 
a) Tính DE. 
 b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC ở M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH. 
c) Tính diện tích tứ giác DENM.
III/ LÝ THUYẾT CHƯƠNG II: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN.
	1/ Cách xác định đường trịn
	2/ Tính chất đối xứng của đường trịn
	3/ Tính chất tiếp tuyến của đường trịn
	4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn, của hai đường trịn.
IV/ BI TẬP.
Cho đường tròn (O ; R), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.
a.	Tứ giác OCAD là hình gì ? Vì sao ?
b.	Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Tính CI. 
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qu điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
a.	CE = CF.	b.	AC là tia phân giác của BÂE. 	c.	CH2 = AE . BF
Cho đường tròn (O ; R) có đường kính AB và hai tiếp tuyến Ax, By. Một tiếp tuyến khác tại điểm M cắt Ax ở C và cắt By ở D.
Chứng minh: CD = AC + BD.
Chứng minh: DCOD vuông.
Chứng minh: AB2 = 4AC . BD. 
AM cắt OC tại I, BM cắt OD tại K. Tứ giác OIMK là hình gì ? 
Tìm vị trí của M để OIMK là hình vuông.
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là hai tiếp điểm).
a.	Chứng minh: OA ^ MN. 
b.	Vẽ đường kính NOC. Chứng minh: MC // AO.
c.	Tính độ dài các cạnh của DAMN biết OM = 3cm, OA = 5cm. 
Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi D là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại D cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N.
a.	Tứ giác AMNB là hình gì ? Vì sao ?
b.	Tính số đo góc MÔN.
c.	Chứng minh: MN = AM + BN.
d.	Chứng minh: AM . BN = R2. 
e.	Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O.
g.	Tìm vị trí của D để tứ giác AMNB có chu vi nhỏ nhất.
Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A. Vẽ hai đường kính AOB và AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, DÎ(O), EÎ(O’). Gọi M là g/ điểm của BD và CE.
a.	Tính DÂE	b.	Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao ?
c.	Chứng minh: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Cho DABC vuông tại A. Vẽ các đường tròn (O) và (I) đi qua A và tiếp xúc với BC tại các điểm B và C. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
Các đường tròn (O) và (I) tiếp xúc với nhau.
AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (I).
DOMI vuông.
BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DOMI. 
KIẾN THỨC TRỌNG TM HÌNH KÌ I – LỚP 9
 I/ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIC VUƠNG 
1./ AB2 = BH.BC ; AC2 = CH. BC 2/ AB2 +AC2 = BC2
3/ AH2 = HB. HC 4/ AH .BC = AB . AC
5/ 
II/ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG
 sin C =; cos C = ; tanC =; cotC =
sin B = cos C; sin C = cos B; tan B = cotC; tan C = cotB
Trong một tam gic vuơng
* Hai gĩc phụ nhau thì sin gĩc ny bằng cos gĩc kia hoặc tan gĩc ny bằng cot gĩc kia.
* Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề.
* Cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề.
Đường kính và dây cung của đường tròn
Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Từ đó suy ra nếu AB là một dây cung bất kì của (O ; R) thì AB £ 2B. 
a.	Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
b.	Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Trong một đường tròn:	a.	Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
	b.	Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Trong hai dây của một đường tròn:	
a. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng cách O một khoảng d.
d > R Û a và (O) không có điểm chung
d = R Û a và (O) tiếp xúc nhau (có một điểm chung)
d < R Û a và (O) cắt nhau (có hai điểm chung)
Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
* ĐN: Tiếp tuyến của đường trịn l đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường trịn đó.
* T/C Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường trịn thì nĩ vuơng gĩc với bn kính đi qua tiếp điểm.
* Dấu hiệu: Nếu một đường thẳng đi qua một tiếp điểm của đường trịn v vuơng gĩc với bn kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của một đường trịn.
* Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm. 
Bài 10: Cho đường tròn tâm (O) và điểm A nằm trên đường tròn đó. Vẽ đường tròn tâm (I) đi qua O và tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Qua A vẽ tiếp tuyến chung xy với hai đường tròn. Dây AC của đường tròn (O) cắt (I) tại M. Tia CO cắt (I) tại N. Đường thẳng OM cắt xy và tia AN lần lượt tại B và D. Chứng minh:
	a) MA = MC	b) BC là tiếp tuyến của (O)	c) ABCD là hình thoi.
Bài 11: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Trên cung BC lấy điểm M. Nối AM cắt OC ở E.
	a) Chứng minh 4 điểm O, E, M, B cùng nằm trên một đường tròn.
	b) Gọi H là trực tâm của tam giác OME. Chứng minh: AOMH là hình thoi.
 c) Các tia BM và OC cắt nhau ở F. Các tia BE và AF cắt nhau ở K. Chứng minh: H, K, M thẳng hàng.
Bài 12: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’,r) tiếp xúc ngoài tại C (R > r). Gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của hai đường tròn trên. Qua M là trung điểm của AB kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với (O’).
	a) Tứ giác AEBD là hình gì?	b) C/m : B, E, F thẳng hàng.
	c) C/m: 4 điểm M, D, B, F cùng nằm trên một đường tròn.
	d) DB cắt đường tròn (O’) tại G. C/m: DF, EG, AB đồng quy.
	e) C/m: MF là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chưa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tài F.
	a) C/m tứ giác AFHE là hình chữ nhật.	b) C/m: AE.AB = AF.AC
	c) C/m: EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.
Bài 14: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
	a) C/m: ED = 1/2 BC. b) C/m: DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
	c) Tính độ dài DE biết DH = 2 cm, HA = 6 cm.
Bài 15: Trên đường trịn (O; 3cm) đường kính EF lấy điểm A sao cho AE < AF. Tiếp tuyến với đường trịn tại A cắt đường thẳng EF tại S. Vẽ dây AB vuông góc với EF tại H. 
Biết SO = 5cm.
	a) Tính độ dài SA, OH. 	b) Tính độ dài AB.
	c) Chứng minh E là tâm đường trịn nội tiếp trong tam gic ASB.
Bài 16. Cho tam gic ABC vuơng tại A, BC = 5, AB = 2AC.
a) Tính AC
b) Từ A hạ đường cao AH, trên tia AH lấy một điểm I sao cho AI = AH. Từ C kẻ đường thẳng Cx song song với AH. Gọi giao điểm của BI với Cx là D. Tính diện tích của tứ giác AHCD.
c) Vẽ hai đường trịn (B; AB) v (C; AC). Gọi giao điểm khác A của hai đường trịn ny l E. Chứng minh CE l tiếp tuyến của đường trịn (B).
Bài 17: Cho tam gic ABC cĩ ba cạnh l AC = 3, AB = 4, BC = 5.
a) Tính sin B . b) Đường phân giác trong của góc A cắt BC tại D. Tính độ dài BD, CD.
c) Tính bán kính của đường trịn (O) nội tiếp tam gic ABC.
Bài 18: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ nửa đường tròn tâm O’ đường kính OA trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB với nửa đường tròn (O). Vẽ cát tuyến AC của (O) cắt (O’) tại điểm thứ hai là D.
	a) Chứng minh: DA = DC.
	b) Vẽ tiếp tuyến Dx với (O’) và tiếp tuyến Cy với (O). Chứng minh: Dx//Cy.
	c) Từ C hạ CH ^ AB, cho OH = OB. CMR khi đó BD là tiếp tuyến của (O’).
Bài 19: Cho đường tròn (O,R) đường kính AB = 5cm. Trên AB lấy điểm H sao cho AH = 1cm. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H. Gọi E là điểm đối xứng với A qua H.
	a) Chứng minh tứ giác ACED là hình thoi.
	b) Gọi I là giao điểm của DE và BC. Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính EB. CMR đường tròn này đi qua I.
	c) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) d) Tính độ dài HI.
Bài 20: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Vẽ bán kính OE bất kì. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại E cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.
	a) CMR: CD = AC + BD. 	b) Tính số đo góc COD.
	c) Gọi I là giao điểm của OC và AE, gọi K là giao điểm của OD và BE. Tứ giác EIOK là hình gì? Vì sao?
	d) Xác định vị trí của bán kính OE để tứ giác EIOK là hình vuông?
Bài 21: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó (M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H.Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M).
	a) C/m: AC + BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn (O). 
	b) C/m 3 điểm C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm M. Khi đó tính tích AC.BD theo CD.
	c) Giả sử CD cắt AB ở K. C/m: OA2 = OB2 = OH.OK
Bài 22: Cho đường tròn (O), đường kính BC. Trên tiếp tuyến với đường tròn này tại điểm B lấy điểm M sao cho BM > R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (O).
	a) Chứng minh: CA // OM.
	b) Đường vuông góc với BC kẻ từ O cắt tia CA tại D. C/M tứ giác OCDM là hình bình hành.
	c) Biết MD cắt OA tại I. Chứng minh DMIO cân.
	d) Biết MA cắt OD tại H, MO cắt BD tại K. Chứng minh: K, H, I thẳng hàng.
Bài 23: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc ngoài tại B (R < R’). Đường thẳng OO’ cắt (O) tại A và cắt (O’) tại C. Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (với MÎ (O), NÎ (O’)).
a) Chứng minh: b) AM cắt CN tại K. Chứng minh tứ giác BMKN là hình chữ nhật.
c) Chứng minh: KM.KA = KN.KC d) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh: MN ^ KI.
Bài 24: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ một điểm M trong nửa đường tròn đó (M Ï AB) ta kẻ đường vuông góc với AB tại điểm H (H khác A, B và O). Kéo dài AM, BM cắt nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh: 4 điểm D, I, C, M cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm K của đường tròn này.
Chứng minh 3 điểm I, M và H thẳng hàng.
Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn (K) nói trên (câu a).
Bài 25: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với đường thẳng AD (E Î AD).
a) Chứng minh 4 điểm A, H, E, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn này.
b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của (O) c) Chứng minh .
d) Cho biết AC = 6cm, số đo . Tính diện tích các tam giác ABC và AEC.