Đề cương Hình học học kỳ 1 (Toán 10) lý thuyết và bài tập

ĐỀ CƯƠNG HÌNH HỌC HỌC KỲ 1 (TOÁN 10)
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP 
CHƯƠNG 1. VECTƠ
BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ VECTƠ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa:
Vectơ là đoạn thẳng có 3 yếu tố: phương, chiều (hướng), độ dài (môđun).
Ví dụ: Vectơ AB có: (A là điểm gốc hay điểm đầu; B là điểm ngọn hay điểm cuối)
	▪ Phương: đường thẳng AB.
	▪ Chiều (Hướng): đi từ A đến B.
	▪ Độ dài (Môđun): .
Vectơ không : là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Hai vectơ cùng phương: là hai vectơ song song hoặc hai vectơ cùng nằm trên một đường thẳng. 
Hai vectơ bằng nhau: là hai vectơ cùng phương, cùng chiều, cùng độ dài.
Hai vectơ đối nhau: là hai vectơ cùng phương, ngược chiều và cùng độ dài.
Vectơ bội: 	▪ Cùng phương khi và ngược chiều khi .
▪ Môđun là .
Phép cộng vectơ:
Muốn cộng nhiều vectơ, ta dời các vectơ nối đuôi nhau, mũi tên nối từ gốc đến ngọn của đoàn vectơ nối đuôi nhau là vectơ tổng:
	▪ Công thức nối đuôi: , với M tùy ý.
	▪ Công thức chèn điểm: , với X tùy ý.
	▪ Quy tắc hình bình hành ABCD: .
Phép trừ vectơ: 
▪ Muốn trừ một vectơ, ta cộng với vectơ đối với nó.
▪ Công thức gọn trừ gốc: , với A tùy ý.
Qui tắc trung điểm và trọng tâm.
▪ I là trung điểm của AB .
▪ G là trọng tâm .
BÀI TẬP CƠ BẢN
I. XÁC ĐỊNH VECTƠ
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O.
Tính các vectơ khác và cùng phương với nhau.
Tìm các vectơ khác và ngược hướng với nhau.
Bài 2. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.
Tìm các vectơ khác và cùng phương với .
Tìm các vectơ bằng .
Hãy vẽ các vectơ bằng và có điểm đầu là .
Bài 3. Cho hai vectơ và cùng phương. Có thể kết luận gì về 3 điểm ?
Bài 4. Cho tứ giác . Gọi lần lượt là trung điểm . Chứng minh: .
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho AM = CN. Chứng minh: và .
II. CHỨNG MINH HỆ THỨC
Bài 6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
.
.
.
.
.
.
Bài 7. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh:
Nếu thì .
Nếu thì .
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và một điểm M tùy ý. Chứng minh:
.
.
.
.
III. ĐỘ DÀI VECTƠ TỔNG HIỆU
Bài 9. Cho hình vuông cạnh a với O là tâm. Hãy tính:
.
.
.
.
Bài 10. Cho hình thoi ABCD cạnh a, và gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Tính: .
BÀI 2. TÍCH MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
I. CHỨNG MINH HỆ THỨC
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN. Chứng minh:
.
.
.
 (P tùy ý).
Bài 2. Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của AM. Chứng minh:
.
 (I tùy ý).
Bài 3. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm của BC. Chứng minh:
	.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Chứng minh:
.
.
Bài 5. Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh rằng:
.
 (O tùy ý).
Bài 6. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng:
.
.
 (K là trung điểm FH).
Bài 7. Cho tam giác ABC có M thuộc BC sao cho . Chứng minh rằng: 
.
Bài 8. Cho điểm N thỏa hệ thức: . Chứng minh N thuộc đoạn thẳng AC.
Bài 9. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O và trực tâm H. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng: .
Bài 10. Cho tam giác ABC có G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác này. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh:
.
.
.
.
LUYỆN TẬP
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD tâm O và E là trung điểm AD. Chứng minh:
.
.
.
Bài 12. Cho tam giác ABC. Dựng lần lượt các điểm M, N, P thỏa . Gọi I là một điểm bất kỳ. Chứng minh: .
Bài 13. Cho tam giác ABC có , I là tâm đường tròn nội tiếp.
Chứng minh: .
Tính theo . Suy ra: .
II. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
Bài 14. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a. Tính: .
Bài 15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4, BC = 3. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính:
.
.
Bài 16. Cho hình thoi ABCD cạnh a, . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Tính .
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, E là điểm đối xứng của O qua D, H là giao điểm của AD và GE. Tính .
Bài 17. Cho hình vuông ABCD có AB = a, M là điểm bất kỳ. Chứng minh các vectơ sau không đổi và tính môđun của chúng:
.
.
III. TÌM ĐIỂM THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Bài 18. Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thỏa mãn điều kiện: .
Bài 19. Cho tam giác ABC, xác định các điểm M, N, P biết:
.
.
.
Bài 20. Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thỏa các đẳng thức sau:
.
.
.
.
Bài 21. Cho ΔABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thỏa các đẳng thức sau:
.
.
.
.
Bài 22. Cho ΔABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thỏa các đẳng thức sau:
.
.
.
.
Bài 23. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thỏa các đẳng thức sau:
.
.
.
Bài 24. Cho hình bình hành ABCD.
Chứng minh rằng: .
Xác định điểm M thỏa mãn điều kiện: .
Bài 25. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Chứng minh: .
Xác định điểm O sao cho: .
Bài 26. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy xác định các điểm I, J thỏa:
.
.
Bài 27. Cho hình vuông ABCD. Tìm điểm M thỏa mãn: .
Bài 28. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng AB. Trên MI kéo dài, lấy điểm N sao cho .
Chứng minh: .
Tìm các điểm D, C sao cho: .
Bài 29. Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định. Tìm M thuộc d sao cho các vectơ sau có độ dài nhỏ nhất:
.
.
Bài 30. Cho tam giác ABC và đường thẳng d cố định. Tìm M thuộc d sao cho:
 nhỏ nhất.
 nhỏ nhất.
IV. PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÁC PHƯƠNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 31. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là trung điểm BC.
Hãy biểu diễn theo các vectơ và .
Hãy biểu diễn theo các vectơ và .
Bài 32. Cho hình bình hành ABCD, M và N là hai điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho , . Gọi G là trọng tâm ΔBMN. Tính theo và các vectơ: .
Bài 33. Cho ΔABC. Gọi H là điểm đối xứng của B qua trọng tâm G, M là điểm thỏa . Tính theo và các vectơ sau: .
Bài 34. Cho ΔABC. Gọi D, E là 2 điểm xác định bởi và . Tính theo và .
Bài 35. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
	.
Bài 36. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
.
.
Bài 37. Cho ΔABC. Gọi I và J là 2 điểm thỏa .
Tính theo và .
Gọi G là trọng tâm ΔABC. Tính theo .
Bài 38. Cho ΔABC có G là trọng tâm. Gọi D, E thỏa .
Cho và .
Tính theo .
Bài 39. Cho ΔABC có G là trọng tâm, lấy M, N thỏa .
Tính theo và .
Tính theo và .
Kéo dài AG cắt BC tại I. Chứng minh: N là trung điểm IC và tính theo .
LUYỆN TẬP
Bài 40. Cho ΔABC, I là điểm đối xứng của B qua C, J là trung điểm AC, K thuộc AB thỏa mãn AB = 3AK.
Tính theo và .
Tính theo và .
Bài 41. Cho ΔABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
.
.
.
Bài 42. Cho ΔABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
Chứng minh: và .
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: .
Bài 43. Cho hình bình hành ABCD, đặt . Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ theo .
Bài 44. Cho ΔABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
Tính theo và . 
Gọi G là trọng tâm ΔABC. Tính theo và .
Bài 45. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của 2 đường chéo, BI = IO, G là trọng tâm ΔOCD. Tính theo .
Bài 46. Cho ΔABC. Lấy M, N là trung điểm AB, BC, L là điểm thỏa .
Tính theo và .
Tính theo và .
V. CHỨNG MINH TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM
 Bài 47. Cho ΔABC và ΔA’B’C’ có trọng tâm tương ứng G và G’. Chứng minh:
.
Xác định điều kiện để ΔABC và ΔA’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 48. Cho ΔABC. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh:
.
 (với O là điểm tùy ý).
ΔABC và ΔMNP có cùng trọng tâm.
Bài 49. Cho ΔABC. Gọi I, J, K là các điểm thỏa: và . Chứng minh: ΔABC và ΔIJK có cùng trọng tâm.
Bài 50. Cho ΔABC, dựng các điểm M, N, P thỏa . Gọi I là điểm bất kỳ. Chứng minh: ΔABC và ΔMNP có cùng trọng tâm.
Bài 51. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh: ΔMPE và ΔNQR có cùng trọng tâm.
Bài 52. Trên các cạnh AB, BC, CA của ΔABC lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho: . Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 53. Cho ΔABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm xác định bởi: , . Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
LUYỆN TẬP
Bài 54. Cho ΔABC, và .
Tính theo và .
Chứng minh: và suy ra ΔABC và ΔIJK có cùng trọng tâm.
Bài 55. Cho ΔABC, dựng các điểm M, N, P thỏa và . Gọi I là điểm bất kỳ. Chứng minh: ΔABC và ΔMNP có cùng trọng tâm.
IV. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – ĐỒNG QUY
Bài 56. Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho: . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng.
Bài 57. Cho ΔABC có trọng tâm G và 2 điểm M, N thỏa và .
Tính theo và .
Tính theo và 3 điểm M, N, G thẳng hàng.
Bài 58. Cho ΔABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: .
Tính theo và .
Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 59. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho: , . Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
Bài 60. Cho ΔABC có G là trọng tâm, gọi I trung điểm AG và K là điểm thuộc cạnh AB sao cho . Chứng minh: C, I, K thẳng hàng.
Bài 61. Cho ΔABC. Lấy M, N thỏa biểu thức: và . Gọi P là trung điểm AB.
Chứng minh: và .
Tính theo và .
Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Bài 62. Cho 2 điểm A, B cố định.
Chứng minh: có duy nhất 1 điểm I thỏa .
Cho 2 điểm M, N di động thỏa . Chứng minh: đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định.
Bài 63. Cho ΔABC lấy I và J thỏa: .
Tính theo và .
Chứng minh IJ đi qua trọng tâm ΔABC.
Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Gọi K là điểm thỏa . Tìm m để K, G, D thẳng hàng.
Bài 64. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD. H và K là hai điểm thỏa: 
	.
Tính và theo và A, H, K thẳng hàng.
Cho . Chứng minh: đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 65. Cho ΔABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: . Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
Bài 66. Cho hình bình hành ABCD và 2 điểm E, F thỏa . Gọi G là trọng tâm ΔBEF.
Tính theo và .
Gọi I là điểm được xác định bởi . Tính theo và , từ đó suy ra giá trị của k để A, G, I thẳng hàng.
Bài 67. Cho ΔABC. Lấy M, N thỏa với G là trọng tâm ΔABC. 
Chứng minh: M, N, G thẳng hàng.
Tính theo . Giả sử AC cắt GN tại P. Tính tỉ số .
Bài 68. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui tại một điểm N.
Chứng minh rằng khi M di dộng, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của ΔABC.
Bài 69. Cho ΔABC và điểm M nằm ở miền trong ΔABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’.
Chứng minh: .
Chứng minh: AN, BP, CQ đồng quy.