Đề cương Đại số 10 - Chương VI: Góc – cung lượng giác. Công thức lượng giác

 1 
CHƯƠNG VI. GĨC – CUNG LƯỢNG GIÁC. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
I. Giá trị lượng giác của gĩc (cung) lượng giác 
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác 
Cho OA OM( , )  . Giả sử M x y( ; ) . 
 
x OH
y OK
AT k
BS k
cos
sin
sintan
cos 2
coscot
sin


 
  


  

 
 
 
    
 
  
 Nhận xét: 
 , 1 cos 1; 1 sin 1          tan xác định khi k k Z,
2

     cot xác định khi k k Z,   
 ksin( 2 ) sin     ktan( ) tan     kcos( 2 ) cos     kcot( ) cot    
2. Dấu của các giá trị lượng giác 
Các cung liên kết. 
 Gĩc 
Hàm 
Đối 
(-x) 
Bù 
( x ) 
Phụ 
( x
2
 ) 
Hơn kém  
( x ) 
Hơn kém 
2
 
(
2

x ) 
sin -sinx sinx cosx -sinx cosx 
cos cosx -cosx sinx -cosx -sinx 
tan -tanx -tanx cotx tanx -cotx 
cot -cotx -cotx tanx cotx -tanx 
III. Cơng thức lượng giác. 
1. Cơng thức cơ bản. 
 1cossin 22  xx  
x
xx
cos
sintan   
x
xx
sin
coscot   tanx.cotx = 1  x
x
2
2 tan1cos
1
  x
x
2
2 cot1sin
1
 
2. Cơng thức cộng. 
 abbaba cossincos.sin)sin(   bababa sinsincoscos)cos(  

ba
baba
tantan1
tantan)tan(


 
ba
baba
cotcot
1cotcot)cot(


 
3. Cơng thức nhân đơi. 
 aaa cos.sin22sin   aaaaa 2222 sin211cos2sincos2cos  
a
aa 2tan1
tan22tan

 
4. Cơng thức hạ bậc. 
2
2cos1cos2 aa  
2
2cos1sin 2 aa  
5. Cơng thức nhân ba. 
 aaa 3sin4sin33sin   aaa cos3cos43cos 3  
a
aaa 2
3
tan31
tantan33tan


 
Phần tư 
Giá trị lượng giác I II III IV 
cos + – – + 
sin + + – – 
tan + – + – 
cot + – + – 
cosin 
O 
cotang 
 si
n 
ta
ng
H A 
M K 
B S 

T 
 2 
6. Cơng thức hạ bậc ba.  )3sinsin3(
4
1sin 3 aaa   )3coscos3(
4
1cos3 aaa  
7. Cơng thức biểu diễn sina, cosa, tana qua 
2
tan at  
 21
2sin
t
ta

  2
2
1
1cos
t
ta


  21
2tan
t
ta

 
8. Cơng thức biến tổng thành tích. 
ba
baba
ba
baba
bababa
bababa
bababa
bababa
sinsin
)sin(cotcot
coscos
)sin(tantan
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
2
cos
2
sin2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin












9. Cơng thức biến tích thành tổng. 
)]sin()[sin(
2
1cossin
)]cos()[cos(
2
1sinsin
)]cos()[cos(
2
1coscos
bababa
bababa
bababa



VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác 
 Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (gĩc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của gĩc) 
thuộc gĩc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. 
1. Xác định dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 0sin50 .cos( 300 ) b) B = 0 21sin215 .tan
7
 
c) C = 3 2cot .sin
5 3
  
 
 
 d)D= c 4 4 9os .sin . tan .cot
5 3 3 5
    
2. Cho 0 00 90  . Xét dấu của các biểu thức sau: 
a) A = 0sin( 90 )  b) B = 0cos( 45 )  c) C = 0cos(270 ) d) D = 0cos(2 90 )  
3. Cho 0
2

  . Xét dấu của các biểu thức sau: 
a) A = cos( )  b) B = tan( )  c) C = 2sin
5


 
 
 
 d) D = 3cos
8


 
 
 
4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: 
a) A = A B Csin sin sin  b) B = A B Csin .sin .sin c) C = A B Ccos .cos .cos
2 2 2
 d) D = A B Ctan tan tan
2 2 2
  































kx
kx
x
kx
kx
x
kxx
kx
kx
x
cotcot
2
tantan
2coscos
2
2
sinsin
)
4
cos(2sincos
)
4
cos(2cossin
)
4
sin(2cossin






xxx
xxx
xxx
 3 
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một gĩc (cung) 
 Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một gĩc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra 
các giá trị lượng giác chưa biết. 
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG cịn lại 
 Từ 2 2sin cos 1   
 2
2
1 1 tan
cos


   2
2
1 1 cot
sin


  
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của 
một biểu thức 
 Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG cĩ trong 
biểu thức, rồi thay vào biểu thức. 
 Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã 
biết 
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết 
tổng – hiệu các GTLG 
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: 
 A B A B AB2 2 2( ) 2    
 A B A B A B4 4 2 2 2 2 2( ) 2    
 A B A B A AB B3 3 2 2( )( )     
 A B A B A AB B3 3 2 2( )( )     
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải 
phương trình 
 Đặt t x t2sin , 0 1    x t2cos  . Thế vào giả 
thiết, tìm được t. 
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t 
vào để tính. 
 Thiết lập phương trình bậc hai: t St P2 0   với 
S x y P xy;   . Từ đĩ tìm x, y. 
1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG cịn lại, với: 
a) a a0 04cos , 270 360
5
   b) 2cos , 0
25

     c) a a5sin ,
13 2

   
d) 0 01sin , 180 270
3
     e) a a 3tan 3,
2

   f) tan 2,
2

      
g) 0cot15 2 3  h) 3cot 3,
2

     
2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: 
a) a aA khi a a
a a
cot tan 3sin , 0
cot tan 5 2

   

 ĐS: 25
7
 b) a aB khi a a
a a
2
0 08tan 3cot 1 1sin , 90 180
tan cot 3
 
   

ĐS: 
8
3
c) a a a aC khi a
a a a a
2 2
2 2
sin 2sin .cos 2 cos cot 3
2sin 3sin .cos 4 cos
 
  
 
 ĐS: 23
47
 d) a aD khi a
a a3 3
sin 5cos tan 2
sin 2 cos

 

 ĐS: 55
6
e) a a aE khi a
a a
3 3
3
8cos 2sin cos tan 2
2 cos sin
 
 

 ĐS: 3
2
 g) a aG khi a
a a
cot 3tan 2cos
2cot tan 3

  

 ĐS: 19
13
h) a aH khi a
a a
sin cos tan 5
cos sin

 

 ĐS: 3
2
 
3. Cho a a 5sin cos
4
  . Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) A a asin .cos b) B a asin cos  c) C a a3 3sin cos  ĐS: a) 9
32
 b) 7
4
 c) 41 7
128
 
4. Cho a atan cot 3  . Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) A a a2 2tan cot  b) B a atan cot  c) C a a4 4tan cot  ĐS: a) 11 b) 13 c) 33 13 
5. a) Cho x x4 4 33sin cos
4
  . Tính A x x4 4sin 3cos  . ĐS: 7A
4
 
b) Cho x x4 4 13sin cos
2
  . Tính B x x4 4sin 3cos  . ĐS: B = 1 
c) Cho x x4 4 74sin 3cos
4
  . Tính C x x4 43sin 4 cos  . ĐS: C C7 57
4 28
   
 4 
6. a) Cho x x 1sin cos
5
  . Tính x x x xsin , cos , tan , cot . ĐS: a) 4 3 4 3; ; ;
5 5 3 4
   
b) Cho x xtan cot 4  . Tính x x x xsin , cos , tan , cot . ĐS: b) 1 2 3; ; 2 3; 2 3
22 2 3

 

 hoặc 2 3 12 3; 2 3; ;
2 2 2 3

 

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết 
 Sử dụng cơng thức các gĩc (cung) cĩ liên quan đặc biệt (cung liên kết). 
1. Tính các GTLG của các gĩc sau: 
a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 
b) 7 13 5 10 5 11 16 13 29 319 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2 4 4 3 3 3 3 6 6 4
         
      
2. Rút gọn các biểu thức sau: 
a) A x x xcos cos(2 ) cos(3 )
2

 
 
      
 
b) B x x x x7 32cos 3cos( ) 5sin cot
2 2
 

   
         
   
c) C x x x x32sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
  

     
            
     
d) D x x x x3 3cos(5 ) sin tan cot(3 )
2 2
 
 
   
          
   
2. Rút gọn các biểu thức sau: 
a) A
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot 572 tan( 212 )
  
 

 ĐS: A = –1 
b) B
0 0
0
0 0
sin( 234 ) cos216 .tan36
sin144 cos126
 


 ĐS: B 1  
c) C 0 0 0 0 0cos20 cos40 cos60 ... cos160 cos180      ĐS: C 1  
d) D 2 0 2 0 2 0 2 0cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180     ĐS: D 9 
e) E 0 0 0 0 0sin 20 sin 40 sin 60 ... sin340 sin 360      ĐS: E 0 
f) x x x x0 0 0 02sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ). tan(1260 )      ĐS: F x1 cos  
VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác 
Sử dụng các hệ thức cơ bản, cơng thức lượng giác để 
biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến đổi biểu 
thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. 
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các gĩc A, 
B, C trong tam giác ABC thì: 
A B C    và A B C
2 2 2 2

   
1. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a) x x x4 4 2sin cos 1 2 cos   b) x x x x4 4 2 2sin cos 1 2 cos .sin   c) x x x x6 6 2 2sin cos 1 3sin .cos   
d) x x x x x x8 8 2 2 4 4sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos    e) x x x x2 2 2 2cot cos cos .cot  
f) x x x x2 2 2 2tan sin tan .sin  g) x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )      k) x x
x
2
2
2
1 sin 1 tan
1 sin

 

 5 
h) x x x x x x x x2 2sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot    i) x x x
x x x
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
 

  
2. Chứng minh các đẳng thức sau: 
a) a ba b
a b
tan tantan .tan
cot cot



 b) a a a
a a a a a
2
2
sin cos 1 cot
sin cos cos sin 1 cot

 
  
 c) a a a a
a a
2 2sin cos1 sin .cos
1 cot 1 tan
  
 
d) a a a a a
a a a
2
2
sin sin cos sin cos
sin cos tan 1

  
 
 e) a a a
a a
2
2
1 cos (1 cos )1 2 cot
sin sin
  
  
 
f) a a a
a a a a
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan.
1 tan cot tan cot
 

 
 g) a a a
a a
2
21 sin 1 sin 4 tan
1 sin 1 sin
  
  
  
 h) a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
 
 
i) a a a
a a
2 2
6
2 2
sin tan tan
cos cot



 k) a a a a
a aa a
3 3
3 3
2 2
tan 1 cot tan cot
sin .cossin cos
    
3. Cho x a với a b
a b a b
4 4sin cos 1 , , 0.  

 Chứng minh: x x
a b a b
8 8
3 3 3
sin cos 1
( )
 

. 
4. Rút gọn các biểu thức sau: 
a) x x x2 2 2(1 sin )cot 1 cot   b) x x x x2 2(tan cot ) (tan cot )   c) x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .tan


d) x a y a x a y a2 2( .sin .cos ) ( .cos .sin )   e) x x
a x
2 2
2 2
sin tan
cos cot


 f) x x x
x x x
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
 
 
g) x x x x2 2sin (1 cot ) cos (1 tan )   h) x x x
x x
1 cos 1 cos ; (0, )
1 cos 1 cos

 
 
 
i) x x x
x x
1 sin 1 sin ; ;
1 sin 1 sin 2 2
   
   
   
 k) x x x x2 2 3cos tan sin ; ;
2 2
  
   
 
5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: 
a) x x x x4 4 6 63(sin cos ) 2(sin cos )   ĐS: 1 b) x x x x x8 8 6 6 43(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin    ĐS: 1 
c) x x x x4 4 2 2(sin cos 1)(tan cot 2)    ĐS: –2 d) x x x x x2 2 2 2 2cos .cot 3cos cot 2sin   ĐS: 2 
e) x x
x x x
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
 
  
 ĐS: 2
3
 f) x x x x
x x
2 2 2 2
2 2
tan cos cot sin
sin cos
 
 ĐS: 2 g) x x
x x
6 6
4 4
sin cos 1
sin cos 1
 
 
 ĐS: 3
2
6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: 
a) B A Csin sin( )  b) A B Ccos( ) cos   c) A B Csin cos
2 2

 d) B C A Ccos( ) cos( 2 )    
e) A B C Ccos( ) cos2    f) A B C A3cos sin2
2
  
  g) A B C C3sin cos
2
 
 h) A B C C2 3tan cot
2 2
 
 
VẤN ĐỀ 5: Cơng thức cộng 
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a   
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a   
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b   
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b   
 tan tantan( )
1 tan .tan
a ba b
a b

 

tan tantan( )
1 tan .tan
a ba b
a b

 

 Hệ quả: 1 tan 1 tantan , tan
4 1 tan 4 1 tan
   
 
 
    
          
1. Tính các giá trị lượng giác của các gĩc sau: a) 0 0 015 ; 75 ; 105 b) 5 7; ;
12 12 12
   
 6 
2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 
a) khi 3tan sin ,
3 5 2
 
   
 
    
 
 ĐS: 38 25 3
11
 
b) khi 12 3cos sin , 2
3 13 2
 
   
 
     
 
 ĐS: (5 12 3)
26
 
c) a b a b khi a b1 1cos( ).cos( ) cos , cos
3 4
    ĐS: 119
144
 
d) a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )   khi a b8 5sin , tan
17 12
  và a, b là các gĩc nhọn. ĐS: 21 140 21; ; .
221 221 220
e) a b a btan tan , tan , tan khi a b a b0 , ,
2 4
 
    và a btan .tan 3 2 2  . Từ đĩ suy ra a, b . 
ĐS: 2 2 2 ; a b a btan tan 2 1,
8

     
3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: 
a) A = o o o2 2 2sin 20 sin 100 sin 140  ĐS: 3
2
 b) B = o o o2 2cos 10 cos110 cos 130  ĐS: 3
2
c) C = o o o o o otan 20 .tan 80 tan80 .tan140 tan140 .tan 20  ĐS: –3 d) H = 0 0tan15 cot15 ĐS: 4 
e) D = o o o o o otan10 .tan 70 tan 70 . tan130 tan130 .tan190  ĐS: –3 f) G = 
o
0
1 tan15
1 tan15


 ĐS: 3
3
g) E = 
o o o
o o
cot 225 cot 79 .cot 71
cot 259 cot 251


ĐS: 3 h) F = o o2 2cos 75 sin 75 ĐS: 3
2
 
 HD: 0 0 0 0 0 040 60 20 ; 80 60 20    ; 0 0 0 0 0 050 60 10 ; 70 60 10    
4. Chứng minh các hệ thức sau: 
a) x y x y x y2 2sin( ).sin( ) sin sin    b) x yx y
x y x y
2sin( )tan tan
cos( ) cos( )

 
  
c) x x x x x x2 2tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
          
              
       
d) x x x x 3 2cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 4 4
          
             
       
e) o o o o(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )  o o o o(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0    
f) x xx x
x x
2 2
2 2
tan 2 tantan .tan 3
1 tan 2 .tan



5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: 
a) a a b khi b a cos a b2 tan tan( ) sin sin . ( )    b) a a b khi b a b2 tan tan( ) 3sin sin(2 )    
c) a b khi a b a b1tan .tan cos( ) 2cos( )
3
     d) ka b b khi a b k a
k
1tan( ).tan cos( 2 ) cos
1

   

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a 
 c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b 
6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: 
a) C A B B Asin sin .cos sin .cos  b) C A B A B
A B
0sin tan tan ( , 90 )
cos .cos
   
c) A B C A B C A B C 0tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )    d) A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1   
e) A B B C C Atan . tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
   f) A B C A B Ccot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
   
 7 
g) oC BB C A
B A C A
cos coscot cot ( 90 )
sin .cos sin .cos
    
h) A B C A B C A B C A B Ccos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
   
i) A B C A B C2 2 2sin sin sin 1 2sin sin sin
2 2 2 2 2 2
    
 HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng A B C 090
2 2 2
 
   
 
g) VT = VP = tanA h) Khai triển A B Ccos
2 2 2
 
  
 
 i) Khai triển A B Csin
2 2 2
 
  
 
. 
 Chú ý: Từ B C Acos sin
2 2 2
 
  
 
  B C A B Ccos .cos sin sin .sin
2 2 2 2 2
  
  A B C A A B C2sin .cos .cos sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 2
  
7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh: 
a) A B C ABC nhọntan tan tan 3 3, .    b) A B C ABC nhọn2 2 2tan tan tan 9, .    
c) A B C ABC nhọn6 6 6tan tan tan 81, .    d) A B C2 2 2tan tan tan 1
2 2 2
   e) A B Ctan tan tan 3
2 2 2
   
HD: a, b, c) Sử dụng A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan   và BĐT Cơ–si 
d) Sử dụng a b c ab bc ca2 2 2     và A B B C C Atan . tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
   
e) Khai triển A B C
2
tan tan tan
2 2 2
 
  
 
 và sử dụng câu c) 
BÀI TẬP TỔNG HỢP 
1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: 
a) khi 5 3cos2 , sin2 , tan2 cos ,
13 2

         b) khicos2 , sin 2 , tan 2 tan 2     
c) khi 4 3sin , cos sin2 ,
5 2 2
 
       d) khi 7cos2 , sin2 , tan2 tan
8
     
2. Tính giá trị của biểu thức sau: 
a) o o o oA cos20 .cos40 .cos60 .cos80 ĐS: 1
16
 b) o o oB sin10 .sin50 .sin70 ĐS: 1
8
c) C 4 5cos .cos .cos
7 7 7
  
 ĐS: 1
8
 d) D 0 0 0cos10 .cos50 .cos70 ĐS: 3
8
e) o o o oE sin6 .sin 42 .sin66 .sin78 ĐS: 1
16
 f) G 2 4 8 16 32cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
    
 ĐS: 1
32
h) o o o o oH sin5 .sin15 .sin25 .... sin75 .sin85 ĐS: 2
512
 i) I 0 0 0 0 0cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80 ĐS: 3
256
k) K 96 3 sin .cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
    
 ĐS: 9 m) M sin .cos .cos
16 16 8
  
 ĐS: 2
8
l) L 2 3 4 5 6 7cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15
      
 ĐS: 1
128
3. Chứng minh rằng: 
 8 
a) 
n n
n
a a a a aP
a2 3
sincos cos cos ... cos
2 2 2 2 2 .sin
2
  b) 
n
nQ
n n n
2 1cos .cos ... cos
2 1 2 1 2 1 2
  
 
  
c) nR
n n n
2 4 2 1cos .cos ... cos
2 1 2 1 2 1 2
  
  
  
4. Chứng minh các hệ thức sau: 
a) x x4 4 3 1sin cos cos 4
4 4
   b) x x x6 6 5 3sin cos cos4
8 8
   c) x x x x x3 3 1sin .cos cos .sin sin4
4
  
d) x x x x6 6 21sin cos cos (sin 4)
2 2 4
   e) xx 21 sin 2sin
4 2
 
   
 
 f) x
x x
2
2
1 sin 1
2 cot .cos
4 4
 


   
    
   
g) 
xx
x
1 cos
2tan . 1
4 2
sin
2



 
       
   
 
 
 h) xx
x
1 sin 2tan
4 cos2
  
  
 
 i) x x
x
cos cot
1 sin 4 2
 
  
  
k) x xx x
x x
2 2
2 2
tan 2 tantan .tan 3
1 tan .tan 2



 l) x x xtan cot 2 cot  m) x x
x
2cot tan
sin2
  
n) xx với x1 1 1 1 1 1 cos cos , 0 .
2 2 2 2 2 2 8 2

      
 VẤN ĐỀ 7: Cơng thức biến đổi 
1. Biến đổi thành tổng: 
a) a b a b2sin( ).cos( )  b) a b a b2 cos( ).cos( )  c) x x x4sin3 .sin 2 .cos d) x xx134sin .cos .cos
2 2
e) o ox xsin( 30 ).cos( 30 )  f) 2sin .sin
5 5
  g) x x x2sin .sin 2 .sin 3 . h) x x x8cos .sin 2 .sin3 
i) x x xsin .sin .cos2
6 6
    
    
   
 k) a b b c c a4 cos( ).cos( ).cos( )   
2. Chứng minh: 
a) x x x x4 cos .cos cos cos3
3 3
    
     
   
 b) x x x x4sin .sin sin sin 3
3 3
    
     
   
Áp dụng tính: o o oA sin10 .sin50 .sin70 o o oB cos10 .cos50 .cos70 
 C 0 0 0sin 20 .sin 40 .sin 80 D 0 0 0cos20 .cos40 .cos80 
3. Biến đổi thành tích: 
a) x2sin 4 2 b) x23 4 cos c) x21 3tan d) x x xsin 2 sin 4 sin 6  e) x x3 4 cos 4 cos8  
f) x x x xsin 5 sin 6 sin 7 sin8   g) x x x1 sin 2 – cos2 – tan 2 h) o ox x2 2sin ( 90 ) 3cos ( 90 )   
i) x x x xcos5 cos8 cos9 cos12   k) x xcos sin 1  
4. Rút gọn các biểu thức sau: 
a) x x x xA
x x x x
cos7 cos8 cos9 cos10
sin 7 sin 8 sin 9 sin10
  

  
 b) x x xB
x x x
sin 2 2sin 3 sin 4
sin 3 2sin 4 sin 5
 

 
c) x x xC
x x2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
  

 
 d) x x xD
x x x
sin 4 sin 5 sin6
cos 4 cos5 cos6
 

 
5. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
a) A 2cos cos
5 5
 
  b) B 7tan tan
24 24
 
  c) o o oC 2 2 2sin 70 .sin 50 .sin 10 
 9 
d) o o o oD 2 2sin 17 sin 43 sin17 .sin 43   e) o
o
E 1 2sin70
2sin10
  f) 
o o
F 1 3
sin10 cos10
  
g) 
o o
o o o o
G
tan80 cot10
cot 25 cot 75 tan 25 tan 75
 
 
 h) H 0 0 0 0tan9 tan 27 tan63 tan81    
ĐS: A 1
2
 B 2( 6 3)  C 1
64
 D 3
4
 E = 1 F = 4 G = 1 H = 4 
6. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
a) 7 13 19 25sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
     ĐS: 1
32
 b) o o o o o16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90 ĐS: 1 
c) o o o ocos24 cos48 cos84 cos12   ĐS: 1
2
 d) 2 4 6cos cos cos
7 7 7
  
  ĐS: 1
2
 
e) 2 3cos cos cos
7 7 7
  
  ĐS: 1
2
 f) 5 7cos cos cos
9 9 9
  
  ĐS: 0 
g) 2 4 6 8cos cos cos cos
5 5 5 5
   
   ĐS: –1 h) 3 5 7 9cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11
    
    ĐS: 1
2
7. Chứng minh rằng: 
a) o o o otan9 tan27 tan63 tan81 4    b) o o otan20 tan 40 tan80 3 3   
c) o o o otan10 tan50 tan60 tan70 2 3    d) o o o o o8 3tan30 tan 40 tan 50 tan 60 .cos20
3
    
e) o o o o otan20 tan 40 tan80 tan60 8sin 40    f) o o o6 4 2tan 20 33tan 20 27 tan 20 3 0    
8. Tính các tổng sau: 
a) S n k1 cos cos3 cos5 ... cos(2 1) ( )            
b) nS
n n n n2
2 3 ( 1)sin sin sin ... sin .        c) nS
n n n n3
3 5 (2 1)cos cos cos ... cos .       
d) S vớ