Đề cương bài giảng Số học6

chuyên đề: số tự nhiên - áp dụng.
**********
* Các bài toán về dãy số viết theo quy luật.
Bài toán 1: Tính các tổng sau.
	a) b) 
	c) d) 
	e) 2+5+8++2006 g) 1+5+9+.+2001
Bài toán 2: Tính nhanh tổng sau: 
Bài toán 3: a) Tính tổng các số lẻ có hai chữ số
	 b) Tính tổng các số chẵn có hai chữ số.
Bài toán 4: a) Tổng 1+2+3+.+n có bao nhiêu số hạng để kết quả của tổng bằng 190.
	 b) Có hay không số tự nhiên n sao cho 
	 c) Chứng minh rằng: không chia hết cho 10 
Bài toán 5: a) Tính nhanh 
b) áp dụng kết quả phần a) tính nhanh 
c) Tính nhanh : 
Hãy xây dựng công thức tính tổng a) và c) trong trường hợp tổng quát.
Bài toán 6: Tìm số hạng thứ 100, số hạng thứ n của các dãy số sau:
	a) b) c) 	d) e) g) 
Bài toán 7: Cho dãy số 
Hỏi trong dãy số trên có số nào có chữ số tận cùng là 2 không ? Tại sao ?.
Bài toán 8: Cho . Tính .
Bài toán 9: Tính bằng cách hợp lý.
a) b) c) 
* Các bài toán về tập hợp.
Bài toán 10: Cho a) ; b) ; 
Hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó một phần tử thuộc A, một phần tử thuộc B. 
Bài toán 11: Cho a) b) 
Hãy viết các tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài toán 12: Cho 
a) Viết tập hợp P các chữ số trong C và tập hợp Q các chữ số trong D bằng cách liệt kê phần tử.
b) Bằng cách liệt kê phần tử hãy viết các tập hợp gồm 2 phần tử trong đó 2 phần tử thuộc P và một phần tử thuộc Q.
Bài toán 13: Cho a) b) 
 c) 
Xác định các tập hợp trên bằng cách liệt kê các phần tử.
Bài toán 14: Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng.
a) b) 
chuyên đề: tập hợp , tập hợp con - áp dụng.
**********
Bài toán 1: Cho tập hợp .
a) Viết các tập hợp con của A có một phần tử b) Viết các tập hợp con của A có hai phần tử.
c) Có bao nhiêu tập hợp con của A có ba phần tử ? có bốn phần tử ?.
d) Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con ?
Bài toán 2: Xét xem tập hợp A có là tập hợp con của tập hợp B không trong các trường hợp sau.
a) ; b) ; 
c) A là tập hợp các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, B là tập hợp các số tự nhiên chẵn.
Bài toán 3: Ta gọi A là tập con thực sự của B nếu Hãy viết các tập con thực sự của tập hợp 
Bài toán 4: Cho các tập hợp ; 
Viết các tập hợp vừa là tập hợp con của A, vừa là tập hợp con của B
Bài toán 5: Cho tập hợp . 
a) Viết các tập hợp con của A mà mọi phần tử của nó đều là số chẵn.
b) Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A.
Bài toán 6: Chứng minh rằng nếu thì 
Bài toán 7: Có thể kết luận gì về hai tập hợp A, B nếu biết:
a) thì b) thì , thì 
Bài toán 8: Cho tập hợp . Viết các tập hợp con của tập hợp K sao cho các phần tử của nó có ít nhất một số lẻ, một số chẵn.
Bài toán 9: Cho H là tập hợp ba số lẻ đầu tiên, K là tập hợp 6 số tự nhiên đầu tiên.
a) Viết tập hợp L các phần tử thuộc K mà không thuộc H. b) CMR: 
c) Tập hợp M có số phần tử sao cho .
+ Hỏi M có ít nhất bao nhiêu phần tử ? nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?
+ Có bao nhiêu tập hợp M có 4 phần tử thoả mãn điều kiện trên.
Bài toán 10: Cho tập hợp . Hãy nêu tập hợp con của tập M gồm những số:
a) Có một chữ số b) có hai chữ số c) Là số chẵn.
Bài toán 11: Cho ; 
a) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A ; tập hợp B.
b) Hai tập hợp A, B có bằng nahu không ? Vì sao ?
Bài toán 12: Cho , .
Hãy xác định tập hợp 
Bài toán 13: Cho A là tập hợp 5 số tự nhiên đầu tiên, B là tập hợp 3 số chẵn đầu tiên.
a) CMR: 
b) Viết tập hợp M sao cho . Có bao nhiêu tập hợp M như vậy.
Bài toán 14: Cho . 
a) Xác định A bằng cách liệt kê các phần tử ? b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 15: Cho . Tìm biết 
chuyên đề: các phép toán về số tự nhiên - áp dụng .
**********
Bài toán 1: Cho ba chữ số a, b, c. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm cả ba chữ số trên.
	a) Viết tập hợp A. b) Tính tổng các phần tử của tập hợp A.
Bài toán 2: Cho ba chữ số a, b, c sao cho 
a) Viết tập A các số tự nhiên có ba chữ số gồm cả ba chữ số trên.
b) Biết tổng của hai số nhỏ nhất trong tập A bằng 448. Tìm ba chữ số a, b, c nói trên.
Bài toán 3: Thay các chữ bởi các chữ số thích hợp để được kết quả đúng.
	a) b) 
	c) d) (2 thừa số ở vế trái chẵn và tích là số có ba chữ số như nhau)
Bài toán 4: Cho bốn chữ số a, b, c, d khác nhau và khác 0. Lập số lớn nhất và số nhỏ nhất có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên. Tổng của hai số này bằng 11330. Tính tổng: 
Bài toán 5: a) Có hay không một số tự nhiên có 4 chữ số sao cho nó cộng với số gồm 4 chữ số ấy viết theo thứ tự khác được tổng bằng 999.
b) Tồn tại hay không một số tự nhiên có ba chữ số sao cho nó cộng với số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự khác được tổng bằng 999 ?.
Bài toán 6: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa hai chữ số của số đó thì được số có ba chữ số gấp 9 lần số có hai chữ số ban đầu.
Bài toán 7: Tìm kết quả của các phép nhân
	a) b) 
Bài toán 8: Tổng của hai số có ba chữ số là 836. Chữ số hàng trăm của số thứ nhất là 5, của số thứ hai là 3. Nếu gạch bỏ các chữ số 5 và 3 thì sẽ được hai số có hai chữ số mà số này gấp hai lần số kia. Tìm hai số đó.
Bài toán 9: Chia một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau cho một số tự nhiên gồm ba chữ số như nhau ta được thương là 2, còn dư. Nếu xoá một chữ số ở số bị chia và xoá một chữ số ở số chia thì thương của phép chia vẫn bằng 2 nhương số dư giảm hơn trước là 100. Tìm số bị chia và số chia lúc đầu.
 Bài toán 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với 
Bài toán 11: Người ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1: 1,2,3,4,5,. Hỏi chữ số thứ 659 là chữ số nào ?
Bài toán 12: Cho 
a) Tính số số hạng của tổng trên.
b) Tìm số hạng thứ 22 của tổng.
c) Tính tổng S
Bài toán 13: Tìm số có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm bằng hiệu của chữ số hàng chục với chữ số hàng đơn vị. Chia chữ số hàng chục cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 và dư 2. Tích của số phải tìm với 7 là một số có chữ số tận cùng là 1.
Bài toán 14: Chứng tỏ rằng số A= là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Bài toán 15: Trong hệ thập phân số A được viết bằng 100 chữ số 3, số B được viết bằng 100 chữ số 6. Hãy tính tích A.B
chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng.
**********
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các tích sau
	a) b) c) d) 
Bài toán 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) b) b) d) 
Bài toán 3: Viết tích sau dưới dạng một luỹ thừa
a) b) c) d) 
Bài toán 4: Viết mỗi thương sau dưới dạng một luỹ thừa
	a) ; ; ; ; ; 
	b) ; ; ; ; ; 
Bài toán 5: Tính giá trị của các biểu thức 
	a) b) 
Bài toán 6: Viết các tổng sau thành một bình phương.
	a) b) c) d) 
Bài toán 7: Viết các số sau dươi dạng tổng các luỹ thừa của 10.
	a) b) 421 c) 1256 d) 2006 e) g) 
 Bài toán 8 : Tìm biết 
	a) b) c) d) 
Bài toán 9 : Viết các tích sau dưới dạng một luỹ thừa
	a) b) c) d) 
Bài toán 10: Tìm x, y biết 
Bài toán 11: Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý
	a) b) 
	c) d) 
Bài toán 12: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một luỹ thừa
	a) b) 
	c) d) 
	e) g) 
Bài toán 13: Tìm biết 
	a) b) c) 
	d) e) g) 
	h) i) k) 
	l) m) n) p) 
Bài toán 14: Tìm số dư khi chia A, B cho 2 biết
	a) 
	b) 
Bài toán 15: Tìm biết: a) b) 
chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)
**********
Bài toán 16: Tính giá trị của các biểu thức 
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
Bài toán 17: Tìm biết
a) b) c) 
d) e) g) h) 
i) k) l) 
Bài toán 18: Tìm x biết
	a) b) 
	c) 	d) 
Bài toán 19: Tính các tổng sau bằng cách hợp lý.
	a) b) 
	c) d) 
Bài toán 20: 
	Cho . Hãy viết A+1 dưới dạng một luỹ thừa.
Bài toán 21: 
	Cho . CMR: 2B+3 là luỹ thừa của 3.
Bài toán 22: 
	Cho . CMR: C là một luỹ thừa của 2.
Bài toán 23: Chứng minh rằng:
	a) b) c) 
	e) g) 
	h) i) k) 
Bài toán 24: a) Viết các tổng sau thành một tích: ; ; 
	 b) Chứng minh rằng: chia hết cho 3; 7 và 15.
Bài toán 25: a) Viết tổng sau thành một tích 
	 b) Chứng minh rằng: 
Bài toán 26: Chứng minh rằng:
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)
**********
* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.
I. Tóm tắt lý thuyết.
1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.
+ Tích của các số lẻ là một số lẻ.
+ Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.
+ (với ) + (với lẻ)
2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
+ (); + (); + (); + ()
+ (); + (); + (); + ()
+ (); + (); + (); + (); 
 * Chú ý: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
	- Một số chính phương có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 không có tận cùng là 2; 3; 7; 8
II. Bài tập áp dụng:
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
	 ; ; ; ; ; 
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 
Bài toán 3: CMR: các số sau có có chữ số tận cùng như nhau.
	a) và () b) và (a là số chẵn)
Bài toán 4: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10
	a) b) c) 
	 d) e) g) 
Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của các số: và ; ; ; 
Bài toán 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng 
Bài toán 7: Chứng minh rằng số là một số tự nhiên.
Bài toán 8: Cho . Tìm chữ số tận cùng của S. CMR: S không là số chính phương.
Bài toán 9: Có hay không số tự nhiên n sao cho 
Bài toán 10: 
* Chú ý: + () + () + () 
	 + Các số có tận cùng bằng 01 
 + Các số: có tận cùng bằng 76
	 + Số có tận cùng bằng 76.
áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau.
	 ; 
Bài toán 11: Tìm chữ số tận cùng của hiệu 
Bài toán 12: Các tổng sau có là số chính phương không ?
a) b) c) 
 chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)
===== @ & ? =====
* Các bài toán về tìm chữ số tận cùng của một số.
Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
	a) ; ; ; ; 
	b) ; ; ; 
	c) ; ; ; 
	d) ; ; ; 
Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
	a) ; ; ; ; ; 
	b) ; ; ; ; ; 
Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của các số sau
	a) ; ; ; 
	b) ; ; 
	c) ; ; 
	d) ; ; 
Bài toán 4: 
	Cho 
Tìm chữ số tận cùng của A. Chứng tỏ rằng A không là số chính phương
Bài toán 5: 
	Cho 
	a) Chứng minh rằng 
	b) Tìm chữ số tận cùng của B
Bài toán 6: Cho 
	a) Chứng minh rằng 
	b) Chứng minh rằng 
	c) Tìm chữ số tận cùng của S
Bài toán 7: 
	Tìm chữ số tận cùng của các số sau
	a) b) c) 
Bài toán 8: 
	Các tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?
	a) b) c) 
Bài toán 9: Chứng minh rằng 
	a) b) c) 
Bài toán 10: 
	Chứng minh rằng: a) là một số tự nhiên
	 b) là một số tự nhiên
	 chuyên đề: luỹ thừa với số mũ tự nhiên - áp dụng (Tiếp theo)
Các bài toán so sánh hai luỹ thừa
===== @ & ? =====
* Tóm tắt lý thuyết: 
a) Nếu thì (a>1) b) Nếu thì (n>0)
c) Nếu a 0)
* Bài tập áp dụng:
Bài toán 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn
	a) và b) và 
	c) và 	 d) và 
Bài toán 2: So sánh các số sau
	a) và b) và 
	c) và d) và 
	e) và f) và 
Bài toán 3: So sánh các số sau
	a) và b) và 
	c) và d) và 
Bài toán 4: So sánh các số sau
	a) và b) và 
	c) và d) và 
Bài toán 5: So sánh các số sau
	a) và b) và c) và 
	d) và e) và g) và 
Bài toán 6: So sánh các số sau
	a) và b) và c) và 
	d) và e) và g) và 
	h) và i) và 
Bài toán 7: So sánh các số sau
	a) và b) và c) và 
Bài toán 8: Tìm biết
	a) b) 
Bài toán 9: Cho .
	Hãy so sánh S với 
Bài toán 10: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.
Hãy so sánh m với 
Bài toán 11: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số được dùng một lần và chỉ dùng một lần
chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng.
===== @ & ? =====
I. Tóm tắt lý thuyết:
1. Nhắc lại về quan hệ chia hết: 
Cho Nếu có số tự nhiên k sao cho ta nói a chia hết cho b
Kí hiệu: . đọc là: a chia hết cho b hoặc b chia hết a; hoặc a là bội của b hoặc b là ước của a.
2. Tính chất chia hết của một tổng:
a) Tính chất 1: 
+ Chú ý: 1) Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu : 
2) Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng: 	 
b) Tính chất 2: Nếu a không chia hết cho m; b chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m
+ Chú ý: - Tính chất 2 đúng với một hiệu a>b
	 - Tính chất 2 đúng với một tổng nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng không 	 chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m.
3. Các dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9.
a. Dấu hiệu chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.
b. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.
c. Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.
d. Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.
e. Các dấu hiệu chia hết cho 4; 8; 25; 125
II. Bài tập áp dụng.
Bài toán 1: Chứng minh rằng: nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
Bài toán 2: Chứng minh rằng nếu ()
Bài toán 3: Chứng minh rằng: a) b) với a>b
Bài toán 4: Chứng minh rằng:
	a) là bội của 15 b) là bội của 124
	c) d) 
Bài toán 5: Cho và . Chứng minh rằng: 
Bài toán 6: CMR: tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3, tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 5.
Bài toán 7: CMR: a) tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6, 
	 b) tổng ba số lẻ liên tiếp không chia hết cho 6
Bài toán 8: Tìm để 
	a) b) c) 
	d) e) g) 
Bài toán 9: Cho và . Chứng minh rằng: 
Bài toán 10: CMR:a) thì b) thì 
Bài toán 11: a) CMR: thì b) 
chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên - áp dụng.
Các phương pháp chứng minh chia hết
===== @ & ? =====
Phương pháp 1: để chứng minh (). Ta biểu diễn trong đó 
Bài toán 1: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài toán 2: Cho . Chứng minh rằng: 
	a) b) c) 
Bài toán 3: Cho . Chứng minh rằng :
	a) b) 
Bài toán 4: Cho 
	Chứng minh rằng: 
Bài toán 5: Chứng minh rằng
	a) b) c) 
	d) e) g) 
	h) i) là một số tự nhiên.
Phương pháp 2: Sử dụng hệ quả tính chất chia hết của một tổng
	Nếu và 
Bài toán 6: Tìm để:
	a) b) c) 
	d) e) g) 
	h) i) k) 
	l) m) 
Bài toán 7: Tìm để các phân số sau có giá trị là số tự nhiên 
	a) b) c) d) 
Phương pháp 3: Để chứng minh một biểu thức chứ chữ (Giả sử chứa n) chia hết cho b ()Ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho b
Bài toán 8: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
	 b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
	 c) Chứng minh rằng: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24
	 d) Chứng minh rằng: Tích của 5 số tự nhiên liên liếp chia hết cho 120
(Chú ý: Các bài toán trên đây được sử dụng trong chứng minh chia hết, không cần CM lại)
Bài toán 9: Chứng minh rằng: a) 
	 b) không chia hết cho 2 
Bài toán 10: Chứng minh rằng: 
Bài toán 11: a) Cho . Chứng minh rằng: hoặc chia 3 dư 1
	 b) CMR: Không tồn tại để 
Bài toán 12: Chứng minh rằng: ta luôn có 
Bài toán 13: Chứng minh rằng: 
Bài toán 14: CMR không tồn tại để 
chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên .
Các phương pháp chứng minh chia hết (Tiếp)
===== @ & ? =====
A Phương pháp 4: Để chứng minh . Ta biểu diễn b dưới dạng . Khi đó
	+ Nếu (m, n)=1 thì tìm cách chứng minh và hay 
	+ Nếu ta biểu diễn rồi tìm cách chứng minh thì tích tức 
Bài toán 1: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
	 b) Chứng minh rằng: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6.
	 c) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24.
	 d) Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
Bài toán 2 : Chứng minh rằng: nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì 
Bài toán 3: a) Chứng minh rằng: Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8
	 b) Chứng minh rằng: Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48
	 c) Chứng minh rằng: Tích của bốn số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 384
Bài toán 4: : Chứng minh rằng: 
Bài toán 5: Chứng minh rằng: 
	a) 
	b) số 
APhương pháp 5: Dùng dấu hiệu chia hết
Bài toán 6: Chứng minh rằng: 
Bài toán 7: 
	Chứng minh rằng: a) Số không chia hết cho 125 ()
	 	 b) 
	 c) 
Bài toán 8:
	Chứng minh rằng: a) b) 
	 c) d) 
Bài toán 9: 
	Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số biết rằng một số chia hết cho 125, số kia chia hết cho 8.
Bài toán 10: Chứng minh rằng thì 
	a) b) c) 
	d) e) 
Bài toán 11 : Chứng minh rằng 
Bài toán 12: Cho số tự nhiên bằng ba lần tích các chữ số của nó.
a) Chứng minh rằng: 
b) Giả sử b=k.a. Chứng minh rằng k là ước của 10.
c) Tìm các số nói trên 
chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên .
Các phương pháp chứng minh chia hết (Tiếp)
APhương pháp 6: để chứng minh ta biểu diễn và chứng minh các 
Bài toán 1: CMR: a) thì 
 	 b) thì 
	 c) 
Bài toán 2: 
	Hai số tự nhiên a và 2a đều có tổng các chữ số bằng k. Chứng minh rằng 
Bài toán 3: 
	Tìm các chữ số x, y để 
* Các bài toán tổng hợp:
Bài toán4: 
	Chứng minh rằng: 
Bài toán 5: Chứng minh rằng: 
Bài toán 6: 
	Có hay không hai số tự nhiên x, y sao cho 
Bài toán7: Tìm để
	a) b) 
	c) d) 
Bài toán 8 :
	Chứng minh rằng nếu thì 
Bài toán 9 : Cho hai số tự nhiên và đều chia 11 dư 5. Chứng minh rằng số 
Bài toán 10 : 
	Cho . Chứng minh rằng: 
Bài toán 11:
	Cho biết số Chứng minh rằng: 
Bài toán 12 : Cho số trong đó a, b là các chữ số chẵn. Chứng minh rằng: 
	a) b) 
Bài toán 13: 
	Tìm các chữ số a, b sao cho 
Bài toán 14: 
	Cho . Chứng minh rằng: 
Bài toán 15:
	Cho . Chứng minh rằng: 	 
Bài toán 16: Chứng minh rằng: 
Bài toán 17: Chứng minh rằng: nếu thì và ngược lại
chuyên đề: chia hết trong tập số tự nhiên .
ôn tập tổng hợp Các phương pháp chứng minh chia hết (Tiếp)
Bài toán 1: Tìm các số tự nhiên a và b sao cho a chia hết cho b và b chia hết cho a.
Bài toán 2: Tìm số tự nhiên n sao cho các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
	a) b) c) 	d) e) g) 
Bài toán 3: 
	Biết Chứng minh rằng: 
Bài toán 4: 
	Biết Chứng minh rằng: nếu thì b=c
Bài toán 5: Tìm số tự nhiên sao cho 
Bài toán 6: Tìm các cặp số tự nhiên (a,b) sao cho 
	a) b) 
Bài toán 7: Cho số . Chứng minh rằng:
	a) 
	b) 
	c) với b chẵn
Bài toán 8: Chứng minh rằng:
	a) 
	b) 
	c) 3
Bài toán 9: Chứng minh rằng: 
	a) 
	b) 
Bài toán 10: Tìm các số tự nhiên n sao cho 
	a) b) 
	c) d) 
Bài toán 11: Chứng minh rằng một số có hai chữ số chia hết cho 7 khi và chỉ khi tổng của chữ số hàng chục và 5 lần chữ số hàng đơn vị chia hết cho 7.
Bài toán 12: Với a, b là các chữ số khác 0. Chứng minh rằng: 
	a) b) 
	c) d) và 101 với a>b
Bài toán 13: 
	Cho số tự nhiên A, Người ta đổi chỗ các chữ số của số A để được số B gấp ba lần số A. Chứng minh rằng B chia hết cho 27.
 chuyên đề: số nguyên tố – hợp số .
===== @ & ? =====
Bài toán 1:
	 Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 2005.
Bài toán 2: 
	Tìm các số nguyên tố p để là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
Bài toán 3: 
	Cho 
a) Số A là số nguyên tố hay hợp số. b) Số A có là số chính phương không ?
Bài toán 4: Tổng, hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số ?
	a) 
	b) 
Bài toán 5: 
	Cho . Chứng minh rằng số là hợp số.
Bài toán 6: 
	a) Cho n là một số không chia hết cho 3. Chứng minh rằng: chia 3 dư 1.
	b) Cho p là số nguyên tổ lớn hơn 3. Hỏi là số nguyên tố hay hợp số ?
Bài toán 7: 
	Cho và n không chia hết cho 3. Chứng minh rằng: và không thể đồng thời là số nguyên tố.
Bài toán 8:
	 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.
a) Chứng tỏ rằng: p có dạng hoặc với 
b) Biết cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng: là hợp số.
Bài toán 9: 
	Cho và đều là số nguyên tố (p>3). Hỏi p+100 là số nguyên tố hay hợp số ?
Bài toán 10: Cho với . Với giá trị nào của k thì n:
	a) Là số nguyên tố
	b) Là hợp số
	c) Không là số nguyên tố cũng không là hợp số.
Bài toán 11: 
	Chứng minh rằng: nếu 8p-1 và p là số nguyên tố thì 8p+1 là hợp số.
Bài toán 12: 
	Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho và đều là số nguyên tố.
Bài toán 13: 
	Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
Bài toán 14: 
	 Tìm số nguyên tố p sao cho a) là số nguyên tố.
	 b) p+8 và p+10 đều là số nguyên tố.
 chuyên đề: số nguyên tố – hợp số . (Tiếp theo)
===== @ & ? =====
Bài toán 15: Tổng hiệu sau là số nguyên tố hay hợp số
	a) . 	 b) . 
	c) d) 
	e) g) 
	h) i) 
Bài toán 16: Cho . CMR: 6 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số: n+2; n+3; n+4; n+5; n+6; n+7
Bài toán 17: 
	Tìm s