Đề chọn học sinh giỏi Toán 8

Phòng GD-ĐT
h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc
ĐỀ CHỌN HSG TOÁN 8
Ngày thi : 05-5-2011 ( Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1 : (4 điểm)
1, Cho x,y thoả mãn . Tính.
2, Tính :
Bài 2 : (4 điểm)
1, Tìm a,b sao cho chia hết cho đa thức 
2,Tìm số nguyên a sao cho là số nguyên tố 
Bài 3 : (3 điểm)
Giải phương trình : 
Bài 4 : (4 điểm)
Cho hình thoi ABCD có góc ABC bằng 60 độ . Hai đường chéo cắt nhau tai O , E thuộc tia BC sao cho BE bằng ba phần tư BC , AE cắt CD tại F . Trên hai đoạn AB và CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho CG song song với FH .
1, Chưng minh rằng :
2, Tính số đo góc GOH
Bài 5 : (3 điểm)
Cho tan giác ABC ba điểm M,N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB sao cho 
 . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm
Bài 6 : (2 điểm)
Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện .Chứng minh rằng :
 HẾT.
gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)
ĐÁP ÁN
Bài 1 : (4 điểm)
1, Từ: 
. 
Vì .Nên 
Ta có :.
2, Tính :
Với , ta có 
Áp dụng vào bài toán ta có : 
Bài 2 : (4 điểm)
1, Ta có : Vì chia hết cho đa thức .Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
Với 
Với 
Thay (1) vào (2) . Ta có : 
2,Ta có : 
Vì 
Có
Và 
Vậy là số nguyên tố thì hoặc 
Nếu thử lại thấy thoả mãn 
Nếu thử lại thấy thoả mãn 
Bài 3 : (3 điểm)
Điều kiện : 
Với x = 0 không phải là nghiệm của phương trình 
Với phương trình trở thành 
 . Đặt phương trình (*) trở thành 
Điều kiện : 
Phương trình trở thành
Với y = 0 thì phương trình vô nghiệm 
Với y = -3 thì thoả mãn điều kiện 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Bài 4 : (4 điểm)
1, Chứng minh đồng dạng 
Theo định lý Thales tính được 
2, Theo định lý Pythagos tính được 
Ta có . Nên đồng dạng 
Suy ra 
Bài 5 : (3 điểm)
Qua N kẻ NQ //AB ( Q thuộc BC ) , theo định lí Thales ta có : 
Gọi I, K là trung điểm của MQ và MN . Suy ra IK là đường trung bình của tam giác MNQ
Vậy 
Gọi G là giao điểm cua AI và PK theo Thales có 	
Suy ra G là trọng tâm của tam giác MNP và G là trọng tâm của tam giác ABC
Bài 6 : (2 điểm)
Ta có : 
Lại có :
Nên 
Bài 6 : (2 điểm)
Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện .Chứng minh rằng :
Ta có : 
Dấu bằng xảy ra khi