Đề chính thức thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hà Nam năm học 2015 - 2016 môn: Toán (chuyên tin)

UBND TỈNH HÀ NAM 
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1(2,0 điểm). 
 	Cho biểu thức: 
 (với ) .
	a) Rút gọn biểu thức .
	b) So sánh và .
Câu 2 (2,0 điểm).
	a) Giải hệ phương trình: 
	b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): và đường thẳng (d) có phương trình . Gọi M, N lần lượt là giao điểm của (d) và các trục Ox, Oy. Tìm để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN.
Câu 3 (1,0 điểm). 
 Tìm tất cả các cặp số nguyên thoả mãn: .
Câu 4 (4,0 điểm). 
	Cho nửa đường tròn , đường kính cố định. Vẽ tứ giác nội tiếp nửa đường tròn . Gọi là giao điểm của và ; là hình chiếu của trên .
	a) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .
	b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh: .
	c) Gọi là trung điểm của . Chứng minh: .
	d) Tính biết chu vi tam giác ABD lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm). 
	Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh :
.
---HẾT---
Họ và tên thí sinh: ........................................................Số báo danh: ...........................
Giám thị 1: ...............................................Giám thị 2:...................................................
UBND TỈNH HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN 
CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán (Chuyên Tin)
 ( Hướng dẫn chấm này gồm 4 trang )
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
a)
1,25
điểm
0,5
0,5
0,25
b)
0,75
điểm
Ta có : 
0,25
Lại có với nên 
0,25
 Vậy .
0,25
Câu 2
a)
1,0
điểm
ĐK : 
Phương trình thứ nhất tương đương với 
0,25
Với Thế vào phương trình thứ hai ta được
0,25
0,25
Với thì . 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
0,25
b)
1,0
điểm
Phương trình hoành độ giao điểm 
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thì (1) có hai nghiệm phân biệt 
x1, x2. Điều kiện là 
0,25
Gọi Theo Vi-ét : 
(d) cắt Ox tại M(-m;0), (d) cắt Oy tại N(0;m) với m0.
0,25
Diện tích tam giác OAB bằng diện tích tam giác OMN khi và chỉ khi 
0,25
( thoả mãn)
0,25
Câu 3
1,0
điểm
0,25
0,25
0,25
Vậy .
0,25
A
K
E
F
I
B
C
D
.
O
Câu 4
a)
1,0 điểm
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 (gt)
Suy ra tứ giác ABIK nội tiếp 
0,25
Lại có (cùng chắn )
Suy ra BI là phân giác góc 
0,25
Chứng minh tương tự có là phân giác 
0,25
Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK.
0,25
b)
1,0 điểm
Ta có CI là đường phân giác trong của tam giác của tam giác BCF, suy ra :
 (1) ( t/c đường phân giác của tam giác) 
0,25
Lại có CD là phân giác ngoài của tam giác BCF 
0,25
suy ra : ( t/c đường phân giác của tam giác)
0,25
Từ (1) và (2), có : 
0,25
c)
1,0 điểm
Ta có KE là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác tam giác IKD
 tam giác KED cân tại E 
 ( t/c góc ngoài của tam giác)
Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn )
Suy ra 
0,25
Mặt khác CI là phân giác ( chứng minh trên)
Từ (3) và (4) suy ra , suy ra tứ giác BCEK nội tiếp.
0,25
Suy ra đồng dạng .
0,25
Mà ( chứng minh trên)
Suy ra : 
0,25
d)
1,0 điểm
Chu vi tam giác ABD lớn nhất lớn nhất
 lớn nhất
0,25
Ta có : 
 ( dấu "="xảy ra khi )
0,25
Như vậy chu vi tam giác ABD lớn nhất là khi AB =BD tức tam giác ABD vuông cân tại B
0,25
Khi đó ( vì tứ giác ABCD nội tiếp )
0,25
Câu 5
1,0 điểm
Chứng minh 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
0,25
Ta có: 
 Vì 
0,25
0,25
Vậy 
Dấu “=” 
0,25
Chú ý: Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
---HẾT---