Đề 1 thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 7 - Môn: Toán

§Ò 1 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. 
Thêi gian: 120 phót 
Bài 1:( 3 điểm) a) Thực hiện phép tính: 
	b) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10
Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết: 
Bài 3: (2 điểm) Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết . Tính và 
§Ò 2 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. 
Thêi gian: 120 phót 
Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: a) ; b) 27 < 3n < 243
Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
Bµi 3. a) T×m x biÕt: 
 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi
Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng.
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC.
 §Ò 3 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
C©u 1: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: 
C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = +5 ; B = 
C©u 3: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. a, Chøng minh: DC = BE vµ DC BE
b, Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. C/minh: AB = ME vµ DABC= DEMA 
Chøng minh: MA BC
§Ò 4 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
C©u 1 ( 2 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a- ; b- 
C©u 2 ( 2 ®iÓm) a, T×m sè nguyªn a ®Ó lµ sè nguyªn; b, T×m sè nguyªn x,y sao cho x-2xy+y=0
C©u 3 ( 2 ®iÓm) a, Chøng minh r»ng nÕu a+c=2b vµ 2bd = c (b+d) th× víi b,d kh¸c 0
 b, CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1+2+3+ ®Ó ®­îc mét sè cã ba ch÷ sè gièng nhau .
C©u 4 ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD=2CB . TÝnh gãc ADE
C©u 5 ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1
§Ò 5 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
Bài 1: a) So sánh hợp lý: và  ; b) Tính A =
 c) Cho x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chøng minh r»ng: x = y = z
 Bài 2: Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 
 c) d) 
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
 b) và x2 + y2 + z2 = 116
Bài 4 : a) Cho hai ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch x vµ y ; x1, x 2 lµ hai gi¸ trÞ bÊt k× cña x; y1, y2 lµ hai gi¸ trÞ t­¬ng øng cña y.TÝnh y1, y2 biÕt y12+ y22 = 52 vµ x1=2 , x 2= 3.
b) Cho hµm sè : f(x) = a.x2 + b.x + c víi a, b, c, d ÎZ
 BiÕt .Chøng minh r»ng a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3
 c) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi.
 c) Đường thẳng Dn vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC. 
§Ò 6 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
Câu 1. Tìm x biết: a) b) 3x +x2 = 0 c) (x-1)(x-3) < 0	
Câu 2. a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: và 
 b) Cho (a, b, c, d > 0)
Tính A = 
Câu 3. a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2.
 	 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = (với x nguyên)
Câu 4. a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đối nhau.
	 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Câu 5. Cho ABC vuông tại A. M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC.
a) Chứng minh rằng BK = CI và BK//CI. b) Chứng minh KN < MC.
c) ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD.
d) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng các đường thẳng BI, DH, MN đồng quy. 
§Ò 7 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
C©u 1:	T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b
C©u 2: 	T×m sè nguyªn x tho¶ m·n:
	a,÷5x-3÷ 4	c, ÷4- x÷ +2x =3
C©u3: 	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 	A =÷x÷ +÷8 -x÷
C©u 4:	BiÕt r»ng :12+22+33+...+102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+...+202
C©u 5 :
Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D.
	a. Chøng minh AC=3 AD
	b. Chøng minh ID =1/4BD
§Ò 8 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
C©u 1 . ( 2®) 	Cho: . Chøng minh: .
C©u 2. (1®).	T×m A biÕt r»ng: A = .
C©u 3. (2®).	T×m ®Ó AÎ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
	a). A = . 	b). A = .
C©u 4. (2®). T×m x, biÕt:
	a)	 = 5 . 	b).	 ( x+ 2) 2 = 81. 	c). 5 x + 5 x+ 2 = 650
C©u 5. (3®).	Cho r ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E Î BC, BH^ AE, CK ^ AE, (H,K Î AE). Chøng minh r MHK vu«ng c©n
§Ò 9 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót
 Bài 1: (1,5 điểm) Tính biết ; y là số nguyên âm lớn nhất
Bài 2: (2 điểm) Cho và .Tìm x+y+z
Bài 3: (1,5 điểm) Tìm biết 2xy+3x = 4 ; 16 - 72 + 90.
Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 
 a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức. b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F. a/ Chứng minh tam giác BFC
b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều.
§Ò 10 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
Bài 1: (1 điểm) Tìm số biết: = = , và x – y + z = 4
Bài 2: (1 điểm) Biết + ab + = 25 ; + = 9 ; + ac + = 16 và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. 
Chứng minh rằng: = .
Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:
f (x) = ( - 25) + (20 + 4m) + 7 - 9
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 - 72 + 90.
Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.
Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.
b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.
§Ò 11 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
Bài 1:(2 đ)a. Tìm x, y biết: = và x+ y = 22; b. Cho và . Tính M = 
Bài 2: ( 2,0 điểm)	a. Cho H = . TÝnh 2010H
b. Thực hiện tính M = 
Bài 3: ( 2,5 điểm)	Tìm x biết:a. 
b. ; c. - = 7
Bài 4: ( 3,5đ) Cho tam giác ABC có B < 900 và B = 2C. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB. 
	b. Chứng minh DH = DC = DA. d. Chứng minh AE = HC.
	c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân.
§Ò 12 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phép tính: 
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)Tìm x biết: a. ; b. 
Bài 3: (4 điểm) a, Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. b, Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. C/m ba điểm I, M, K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o . Tính và 
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a, Tia AD là phân giác của góc BAC ; b, AM = BC
§Ò 13 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
Câu1. (3 điểm) Rút gọn biểu thức 
Câu 2. (4 điểm) Chứng minh:
Câu 3. (4 điểm) Cho hai hàm số 
a. Vẽ đồ thị 2 h/số trên trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. b. CMR:đồ thị của hai h/số trên vuông góc với nhau.
Câu 4. (4,5điểm). Cho ∆ABC cân, . Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho Trên tia đối của AC lấy điểm E sao cho CE = CB. a. Chứng minh: ∆BME đều. b. Tính 
Câu 5. (4,5điểm). Cho ∆ABC, trung tuyến BM. Trên tia BM lấy I và K sao cho và M là trung điểm của IK. Gọi N là trung điểm của KC. IN cắt AC tại O. Chứng minh:
	a. O là trọng tâm của ∆IKC. 	b. .
§Ò 14 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. Thêi gian: 120 phót 
C©u1: (2 ®iÓm) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 
 T×m gi¸ trÞ biÓu thøc: M= 
C©u2: (1 ®iÓm) . Cho S =. Chøng minh r»ng S kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph­¬ng.
C©u3: (2 ®iÓm) Mét « t« ch¹y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 65 km/h, cïng lóc ®ã mét xe m¸y ch¹y tõ B ®Õn A víi vËn tèc 40 km/h. BiÕt kho¶ng c¸ch AB lµ 540 km vµ M lµ trung ®iÓm cña AB. Hái sau khi khëi hµnh bao l©u th× «t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1/2 kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y ®Õn M.
C©u4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, O lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c.
a. Chøng minh r»ng: 
b. BiÕt vµ tia BO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc B. CMR: Tia CO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C.
C©u 5: (1,5®iÓm). Cho 9 ®­êng th¼ng trong ®ã kh«ng cã 2 ®­êng th¼ng nµo song song. CMR Ýt nhÊt còng cã 2 ®­êng th¼ng mµ gãc nhän gi÷a chóng kh«ng nhá h¬n 200.
C©u 6: (1,5®iÓm). Khi ch¬i c¸ ngùa, thay v× gieo 1 con sóc s¾c, ta gieo c¶ hai con sóc s¾c cïng mét lóc th× ®iÓm thÊp nhÊt lµ 2, cao nhÊt lµ 12. c¸c ®iÓm kh¸c lµ 3; 4; 5 ;6 11. H·y lËp b¶ng tÇn sè vÒ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mçi lo¹i ®iÓm nãi trªn? TÝnh tÇn xuÊt cña mçi lo¹i ®iÓm ®ã.
§Ò  thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7- M«n: To¸n. 
Thêi gian: 120 phót 
Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
A = . Víi a = ; b = -2 ; x = ; y = 1
Bµi 2: Chøng minh r»ng: NÕu 0 < a1 < a2 < .. < a9 th×: 
Bµi 3: Cã 3 m¶nh ®Êt h×nh ch÷ nhËt: A; B vµ C. C¸c diÖn tÝch cña A vµ B tØ lÖ víi 4 vµ 5, c¸c diÖn tÝch cña B vµ C tØ lÖ víi 7 vµ 8; A vµ B cã cïng chiÒu dµi vµ tæng c¸c chiÒu réng cña chóng lµ 27m. B vµ C cã cïng chiÒu réng. ChiÒu dµi cña m¶nh ®Êt C lµ 24m. H·y tÝnh diÖn tÝch cña mçi m¶nh ®Êt ®ã.
Bµi 4: Cho 2 biÓu thøc: A = ; B = 
 a) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó mçi biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn
 b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó c¶ hai biÓu thøc cïng cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 5: Cho tam gi¸c c©n ABC, AB = AC. Trªn tia ®èi cña c¸c tia BC vµ CB lÊy theo thø tù hai ®iÓm D vµ E sao cho BD = CE. a) Chøng minh tam gi¸c ADE lµ tam gi¸c c©n.
b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE
c) Tõ B vµ C vÏ BH vµ CK theo thø tù vu«ng gãc víi AD vµ AE. Chøng minh BH = CK
d) Chøng minh 3 ®­êng th¼ng AM; BH; CK gÆp nhau t¹i 1 ®iÓm.
§¸p ¸n §Ò 1 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n
Bài 1:(3 điểm): a) (1.5 điểm)
b) (1.5 điểm) = =
 = = 10( 3n -2n)
Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2:(2 điểm)
Bài 3: (2 điểm) Từ suy ra 	 khi đó = 	
Bài 4: (3 điểm) a/ (1điểm) Xét và có :
 AM = EM (gt )	
 (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên : = (c.g.c ) AC = EB	
Vì = (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) 
Suy ra AC // BE . 	
b/ (1 điểm ) Xét và có : 
AM = EM (gt )
 ( vì )
AI = EK (gt )
Nên ( c.g.c ) Suy ra: 	
Mà ( tính chất hai góc kề bù )	
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	
c/ (1 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( có 
 BME là góc ngoài tại đỉnh M của 
 Nên 
 ( định lý góc ngoài của tam giác ) 
( Học sinh giải theo cách khác đúng kết quả vẫn cho điểm tối đa)
§¸p ¸n §Ò 2 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n
Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm)
 a) ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1
 b) 27 33 n = 4
Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm)
 = 
 = 
Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm)
 a) T×m x biÕt: 
 Ta cã: x + 2 0 => x - 2.
 + NÕu x - th× => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Tho¶ m·n)
 + NÕu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Tho¶ m·n)
 + NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n
 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi
 + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
 + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
 VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 x 2007
Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi)
 Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn mét ®­êng th¼ng, ta cã:
 x – y = (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå)
 vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê)
 Do ®ã: 
 => x = (giê)
 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng lµ giê
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi)
D
 B
A
 H
 I 
 F
 E
 M
 §­êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F
 ABM = DCM v×:
 AM = DM (gt), MB = MC (gt),
 = DMC (®®) => BAM = CDM
 =>FB // ID => IDAC 
 Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) 
 IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
 Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) 
 => IC = AC = AF (3) 
 vµ E FA = 1v (4) 
 MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), 
 BAH = ACB ( cïng phô ABC) 
 => EAF = ACB (5)
 Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB 
 =>AE = BC
§¸p ¸n §Ò 3 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n
§¸p ¸n ®Ò 3 to¸n 7
C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt ; 0 =>= 0; 1; 2; 3 ; 4
* = 0 => a = 0; * = 1 => a = 1 hoÆc a = - 1 ; * = 2 => a = 2 hoÆc a = - 2
* = 3 => a = 3 hoÆc a = - 3; * = 4 => a = 4 hoÆc a = - 4
C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 
Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x. Ta cã: => 
=> -77 9x = -72 => x = 8 . VËy ph©n sè cÇn t×m lµ 
C©u 3. Cho 2 ®a thøc: P = x + 2mx + m vµ Q = x + (2m+1)x + m. T×m m biÕt P (1) = Q (-1)
P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1; Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m 
§Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4
C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: => 
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4
Do x,y cïng dÊu nªn: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: 
=> => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®­îc: 
=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = . VËy x = 2, y = tho¶ m·n ®Ò bµi
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = +5 
Ta cã : 0. DÊu = x¶y ra x= -1. A 5.
DÊu = x¶y ra x= -1. VËy: Min A = 5 x= -1.
B = = = 1 + 
Ta cã: x 0. DÊu = x¶y ra x = 0 x + 3 3 ( 2 vÕ d­¬ng )
 4 1+ 1+ 4 B 5
DÊu = x¶y ra x = 0 . VËy : Max B = 5 x = 0. 
ĐA:§Ò 3- C©u 6: 
a/ XÐt DADC vµ DBAF ta cã:
DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE
XÐt AIE vµ TIC
I1 = I2 ( ®®)
E1 = C1( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC BE
b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c)
=> D1 = MEN, AD = ME
mµ AD = AB ( gt) 
=> AB = ME (®pcm) (1)
V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cïng phÝa )
mµ BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm)
c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP MH
XÐt AHC vµ EPA cã:
CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA c©u b)
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA BC (®pcm)
§¸p ¸n §Ò 4 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n
C©u
H­íng dÉn chÊm
§iÓm
1.a
Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ -2 cho ®iÓm tèi ®a
1§iÓm
1.b
Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ 14,4 cho ®iÓm tèi ®a
1§iÓm
2.a
Ta cã : =
 v× a lµ sè nguyªn nªn lµ sè nguyªn khi lµ sè nguyªn hay a+1 lµ ­íc cña 3 do ®ã ta cã b¶ng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
VËy víi ath× lµ sè nguyªn
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Tõ : x-2xy+y=0 
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1-2y)vµ (2x-1) lµ c¸c sè nguyªn do ®ã ta cã c¸c tr­êng hîp sau :
HoÆc 
VËy cã 2 cÆp sè x, y nh­ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra ( §PCM)
0,5
0,5
3.b
Gi¶ sö sè cã 3 ch÷ sè lµ =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0)
Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã :
Hay n(n+1) =2.3.37.a 
VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n+1<74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n )
Do ®ã n=37 hoÆc n+1 = 37
NÕu n=37 th× n+1 = 38 lóc ®ã kh«ng tho¶ m·n 
NÕu n+1=37 th× n = 36 lóc ®ã tho¶ m·n 
VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36
0,25
0,25
0,5
4
ĐA:§Ò 4 cau 4:KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v× ACD =600 do ®ã CDH = 300
Nªn CH = CH = BC 
Tam gi¸c BCH c©n t¹i C CBH = 300 ABH = 150
Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H 
Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H VËy ADB = 450+300=750
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Tõ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
NÕu x chia hÕt cho 3 v× x nguyªn tè nªn x=3 lóc ®ã y= 2 nguyªn tè tho¶ m·n 
NÕu x kh«ng chia hÕt cho 3 th× x2-1 chia hÕt cho 3 do ®ã 2y2 chia hÕt cho 3 Mµ(2;3)=1 nªn y chia hÕt cho 3 khi ®ã x2=19 kh«ng tho¶ m·n 
VËy cÆp sè (x,y) duy nhÊt t×m ®­îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi lµ (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
§¸p ¸n §Ò 5 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n
Bài 1: (1,5 điểm):
 a) Cách 1: = > 
 Cách 2: > = 
c) V× x, y, z lµ c¸c sè kh¸c 0 vµ x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy Þ.¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau Þ 
Bài 2: (1,5 điểm): 
 a) (2x-1)4 = 16 .Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,25điểm)
 b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm)
 c) 
; x = 25; x = - 31 
 : vô nghiệm 
 d) 
Bài 3: 
 a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0
 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = ;y = -1;y = 1 
 b) và x2 + y2 + z2 = 116
 Từ giả thiết 
 Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) 
Bài 4: a) V× x, y lµ hai ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch nªn: 
Víi y1= - 6 th× y2 = - 4 ; 
Víi y1 = 6 th× y2= 4 .
b)Ta cã: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c
Tõ (1) vµ (2) Suy ra (a + b) +(a - b) v× ( 2; 3) = 1 
VËy a , b , c ®Òu chia hÕt cho 3
c) = 
 = = = 10( 3n -2n-1)
Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.
N
Bài 5: 
DAIC = DBHA Þ BH = AI (0,5điểm)
BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm)
AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N Þ N là trực tâm Þ DN AC (0,75điểm)
DBHM = DAIM Þ HM = MI và ÐBMH = ÐIMA (0,25điểm)
 mà : Ð IMA + ÐBMI = 900 Þ ÐBMH + ÐBMI = 900 (0,25điểm)
 Þ DHMI vuông cân Þ ÐHIM = 450 (0,25điểm) 
 mà : ÐHIC = 900 ÞÐHIM =ÐMIC= 450 Þ IM là phân giác ÐHIC (0,25điểm) 
*) Ghi chuù:
Neáu hoïc sinh coù caùch giaûi khaùc ñuùng, vaãn ñöôïc ñieåm toái ña
§¸p ¸n §Ò 6 thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng líp 7. M«n: To¸n
ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
Câu 1
(4,5 đ)
a) (1,5đ)
(1+5) = 162 ó = 27 
 => x-1= 3 => x = 4
0,75
0,75
b) (1,5đ)
3x +x2 = 0 ó x(3 + x) = 0
x=0 hoặc x= -3
0,75
0,75
c) (1,5đ)
(x-1)(x-3) x-3 nên 
(x-1)(x-3) < 0 
0,5
1,0
Câu 2
(3,0 đ)
a) (1,5đ)
Từ ta có: 
( Vì x, y, z cùng dấu)
0,75
0,75
b) (1,5 đ)
 Ta có (do a,b,c,d > 0 => a+b+c+d >0)
 suy ra a = b = c= d
Thay vào tính được P = 
0,5
0,5
0,5 
Câu 3
(3,0 đ)
a) (1,5đ)
Ta có x + y + xy =2 ó x + 1 + y(x + 1) = 3
ó (x+1)(y+1)=3
Do x, y nguyên nên x + 1 và y + 1 phải là ước của 3. Lập bảng ta có:
0,75
x+1
1
3
-1
-3
y+1
3
1
-3
-1
x
0
2
-2
-4
y
2
0
-4
-2
Vậy các cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4