Dạng toán thi học sinh giỏi máy tính cầm tay sử dụng máy tính FX500ms và FX570 ms

PHẦN III: TÌM ƯCLN,BCNN, TÌM SỐ TỰ NHIÊN
I. ƯCLN,BCNN 
Phương pháp giải:
1) Khi để số không bị tràn màn hình(phân số rút gọn được)
Phương pháp: Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản .
Tá áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau:
 + ƯCLN (A; B) = A : a
 + BCNN (A; B) = A . b
ƯCLN(A; B; C) = ƯCLN[ƯCLN(A; B); C]
BCNN( A; B; C) = BCNN[BCNN(A; B); C]
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531
HD: Ghi vào màn hình: và ấn =, màn hình hiện 
ƯCLN: 2419580247 : 7 = 345654321
BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình)
Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247. 11
Kết quả: BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717
Quy trình: fx500ms.
 Kết quả: 
2419580247 7 Kết quả: ƯCLN=345654321
2419580247 11 Kết quả: BCNN =26615382717
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN của 40096920; 9474372 và 51135438
Giải:
Ấn 9474372 ¿ 40096920 = ta được : 6987¿ 29570.
ƯCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356.
Ta đã biết ƯCLN(a; b; c) = ƯCLN(ƯCLN(a ; b); c)
Do đó chỉ cần tìm ƯCLN(1356 ; 51135438).
Thực hiện như trên ta tìm được: 
ƯCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678
Quy trình :
 Kết quả: 
9474372 6987 Kết quả: ƯCLN(9474372 ; 40096920) =1356.
 Kết quả: 
1356 2 Kết quả: ƯCLN(40096920 ; 9474372 ;51135438) =678
2) Khi để số bị tràn màn hình(phân số không rút gọn được)
Phương pháp.
 Thuật toán 1 (Thuật toán Euclide)
Cở sở thuật toán: Giả sử a = bq + c (c0) thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,c).
Thuật toán: 	a = bq + r1 	(0 < r1 < b)
	b = r1q1 + r2 	(0 < r2 < b)
	r1 = r2q2 + r3 	(0 < r3 < b)
	rn-2 = rn-1qn-1 + rn 	(0 < rn < b)
	rn-1 = rnqn 	(rn+1 = 0)
Thuật toán kết thúc khi số dư rn+1 = 0. 
Như vậy ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r1) = ƯCLN(r1,r2) =  = ƯCLN(rn-1,rn) = rn.
Ví dụ 3: Tìm ƯCLN(7752;5472)
(Qui trình với máy Casio Fx 500 MS)
Ấn: 	77525472	Đáp số: 1,416666667	(số dư khác 0)
	Đáp số: 2280
	54722280	Đáp số: 2,4	(số dư khác 0)
	 	Đáp số: 912
	2280912	Đáp số: 2,5	(số dư khác 0)
	Đáp số: 456
	912456	Đáp số: 2	(số dư bằng 0)
vậy ƯCLN(7752;5472) = 456.
II. TÌM SỐ TỰ NHIÊN.
Ví dụ 5: T×m sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn d¹ng:
 chia hÕt cho 7.
Giải.
- Số lớn nhất dạng chia hết cho 7 sẽ phải có dạng:
 với z Î{0, 1, 2,...,8, 9}
lần lượt thử với z = 9; 8; 7; 6; 5... đến z = 5, ta có:
1929354 7 (275622)
Vậy số lớn nhất dạng chia hết cho 7 là 1929354, thương là 275622
- Số nhỏ nhất dạng chia hết cho 7 sẽ phải có dạng:
 với z Î{0, 1, 2,...,8, 9}
lần lượt thử với z = 0; 1; 2; 3... đến z = 3, ta có:
1020334 7 (145762)
Vậy số nhỏ nhất dạng chia hết cho 7 là 1020334, thương là 145762
Bài tập1. vận dụng: Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng:
 chia hết cho 13.
Hướng dẫn: - Số lớn nhất dạng chia hết cho 13 là 1929304
 - Số nhỏ nhất dạng chia hết cho 13 là 1020344
Bài 2: Tìm tất cả các số n dạng:
 chia hết cho 24.
Hướng dẫn:
- Vì N 24 Þ N 3 ; N 8 Þ (37 + x + y) 3 ; 8. 
Þ y chỉ có thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8. 
Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả mãn: (x + y + 1) 3 và 8, ta có: 
N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840
Bài 3: Tìm các số khi bình phương sẽ có tận cùng là ba chữ số 4. Có hay không các số khi bình phương có tận cùng là bốn chữ số 4 ?
Hướng dẫn.
- Chữ số cuối cùng của x2 là 4 thì chữ số cuối cùng của x là 2 hoặc 8. Tính trên máy bình phương của số:
 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 
ta chỉ có các số:
12, 62, 38, 88
khi bình phương có tận cùng là hai chữ số 4.
- Tính trên máy bình phương của các số:
12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912;
62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962;
38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938
88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988
ta được: 462, 962, 38, 538 khi bình phương có tận cùng là 444.
* Tương tự cách làm trên, ta có kết luận: không có N nào để N2 kết thúc bởi 4444.
Bài 4: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thoã mãn:
1) Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 đơn vị
2) Là số chính phương.
Hướng dẫn.
- Gọi số cần tìm là: .
- Đặt . Khi ấy và n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2
hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
Vậy hai trong ba số nguyên tố 7, 11, 13 phải là ước của một trong hai thừa số của vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái.
Dùng máy tính, xét các khả năng đi đến đáp số:
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 và khi chia x cho 393 cũng như 655 đều có số dư là 210.
Hướng dẫn :
- Từ giả thiết, ta có: x = 393.q1 + 210 Þ x -210 chia hết cho 393
 x = 655.q2 + 210 Þ x -210 chia hết cho 655
Þ x -210 chia hết cho BCNN (393 ; 655) = 1965
Þ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210
- Từ giả thiết 10000 < x < 15000 Þ 10000 < 1965k + 210 < 15000
hay 9790 < 1965k < 14790 Þ 5 £ k < 8.
Tính trên máy:
Với k = 5, ta có: x = 1965.5 + 210 = 10035
Với k = 6, ta có: x = 1965.6 + 210 = 12000
Với k = 7, ta có: x = 1965.7 + 210 = 13965
Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965
Bài 6: Tìm các chữ số x, y, z để chia hết cho 5, 7 và 9.
Giải:
- Vì các số 5, 7, 9 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải tìm các chữ số x, y, z sao cho chia hết cho 5.7.9 = 315.
Ta có = 579000 + = 1838.315 + 30 + 
Þ 30 + chia hết cho 315. Vì 30 £ 30 + < 1029 nên (Dùng máy tính tìm các bội của 315 trong khoảng (30 ; 1029):
- Nếu 30 + = 315 thì = 315 - 30 = 285
- Nếu 30 + = 630 thì = 630 - 30 = 600
- Nếu 30 + = 945 thì = 945 - 30 = 915
Vậy ta có đáp số sau:
x
y
z
2
8
5
6
0
0
9
1
5
Bài 7: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có tính chất sau:
1) Viết dưới dạng thập phân a có tận cùng là số 6.
2) Nếu bỏ chữ số 6 cuối cùng và đặt chữ số 6 lên trước các chữ số còn lại sẽ được một số gấp 4 lần chữ số ban đầu.
Giải:
- Giả sử số cần tìm có n + 1 chữ số.
- Từ điều kiện 1) số đó dạng: 
- Từ điều kiện 2), ta có: = 4. (*)
- Đặt , thì: = 10a + 6
 = 6.10n + a
- Khi đó (*) trở thành:
 6.10n + a = 4.(10a + 6) Û 2.(10n - 4) = 13a (**)
Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13. 
Vì (2 ; 13) = 1 nên: 10n - 4 chia hết cho 13.
Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để (10n - 4) chia hết cho 13, khi đó tìm ra số a và số cần tìm có dạng: 10a + 6.
Thử lần lượt trên máy các giá trị n = 1; 2;... thì (10n - 4) lần lượt là:
6, 96, 996, 9996, 99996,... và số đầu tiên chia hết cho 13 là: 99996.
Khi đó a = 15384 Þ Số cần tìm là: 153846.
Bài 8: Tìm số tự nhiên n sao cho:
a) 2n + 7 chia hết cho n + 1
b) n + 2 chia hết cho 7 - n
Hướng dẫn:
a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) trên máy và thử lần lượt n = 0, 1, 2,... ta được n = 0 và n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n + 1.
Chứng minh với mọi n ³ 5, ta đều có 2n + 7 không chia hết cho n + 1, thật vậy:
(2n + 7) (n + 1) Þ [(2n + 7) - 2(n + 1)] (n + 1) Þ 5 (n + 1) Þ n £ 5.
Vậy số n cần tìm là 0 hoặc 4.
b) Tương tự ta có: n = 4 hoặc n = 6.
Bài 9: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có 3 chữ số đầu và 4 chữ số cuối đều là số 1.
Giải:
Nhận xét:
1) Để n3 có tận cùng là 11 thì n có tận cùng là số 1. Thử trên máy các số:
 11, 21, 31,...81, 91 
được duy nhất số 71 khi luỹ thừa bậc ba có tận cùng là 11.
2) Để n3 có tận cùng là 111 thì n có phải tận cùng là số 471. 
 (Thử trên máy với các số: 171, 271, 371,...871, 971 )
3) Để n3 có tận cùng là 1111 thì n phải có tận cùng là số 8471. 
 (Thử trên máy với các số: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 )
- Giả sử m là số chữ số đứng giữa các số 111 và 1111:
+ Nếu m = 3k, k ÎZ+, thì:
 111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4
 ()
 Þ 
Tính trên máy:
 10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do đó, với k ³ 1. Cho k = 1 ta được n bắt đầu bằng số 103, nghĩa là:
 n = 103...8471
Þ Số nhỏ nhất trong các số đó là: n = 1038471
+ Nếu m = 3k + 1 và m = 3k + 2, ta được các số này đều vượt quá số 1038471
Kết luận: Số nhỏ nhất thoã mãn yêu cầu bài toán là: n = 1038471 khi đó:
(tính kết hợp trên máy và trên giấy): n3 = 1119909991289361111
Bài 10: Thay các dấu * bởi các chữ số thích hợp:
896 = 496 9 * * 290 961.
Hướng dẫn.
- Ta có: (896 - 1) (89 - 1) Þ (896 - 1) 11 
 (896 - 1) (893 + 1) Þ (896 - 1) (89 + 1) Þ (896 - 1) 9
- Đặt A = (896 - 1) = 496 9 x y 290 960. Ta có A chia hết cho 9 và 11.
Ta có tổng các chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) của A bằng: 36 + y ; tổng các chữ số hàng chẵn của A bằng: 18 + x
A chia hết cho 9 nên: 54 + x + y 9 Þ x + y Î {0 ; 9 ; 18}
A chia hết cho 11 nên: [(36 + y) - (18 + x)] 11 Þ x - y Î {-4 ; 7}
+ Nếu x + y = 0 thì x = y = 0 (loại)
+ Nếu x + y = 18 thì x = y = 9 (loại)
+ Nếu x + y = 9 : chú ý rằng (x + y) và (x - y) cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên:
x - y = 7 Þ x = 8 ; y = 1.
Vậy 896 = 496 981 290 961
Bài 11. Tháng vừa qua có thứ 7 ngày 7 tháng 7 năm 2007. Theo cách tính dương lịch ở từ điển trên mạng wikipedia một năm có 365,2425 ngày .
Vậy dựa vào cách tính trên thì đến ngày 7 tháng 7 năm 7777 sẽ là thứ mấy ? (ta chỉ tính theo lí thuyết còn thực tế có thể có điều chỉnh khác).
 Giải : 
Ngày 7 tháng 7 năm 7777 - Ngày 7 tháng 7 năm 2007 = 5770 năm 
5770 × 365,2425 = 2107449,225 ngày 
2107449,225 ÷ 7 = 301064,175 tuần
0,175 × 7 = 1,225 ngày 
Suy ra : Thứ 2 ngày 7 tháng 7 năm 7777
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.
Hãy tìm UCLN của 1939938; 68102034.
Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510.
Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B2.
Bài 2: (2 điểm):
Cho ba số: A = 1193984; B = 157993 và C = 38743.
Tìm ước số chung lớn nhất của ba số A, B, C.
Tìm bội số chung nhỏ nhất của ba số A, B, C với kết quả đúng chính xác.
Bài 3: Cho a = 462035, b= 378040.
 Tìm ƯCLN(a;b) và BCNN (a; b)
Bài 4: Tìm a) ƯCLN(97110 ; 13965) 	b) ƯCLN(10500 ; 8683) 
Bài 5: Tìm a) ƯCLN(77554 ; 3581170) 	b) ƯCLN(532588; 110708836)
Bài 6: Tìm a) ƯCLN(459494736 ; 5766866256) b) ƯCLN(8992 ; 31473)
Bài 7: Tìm a) ƯCLN(708 ; 26930) b) ƯCLN(183378 ; 3500639) 
Bài 8: Tìm a) ƯCLN(611672 ; 11231152) b) ƯCLN(159185055; 1061069040)
Bài 9: Tìm a) ƯCLN (13899; 563094; 9650088)	
b) ƯCLN(18963; 617394; 14676975)
Bài 10: Tìm: a) ƯCLN(90756918 ; 14676975) 
 b) ƯCLN(222222; 506506 ; 714714; 999999)
Bài 11: Tìm a) BCNN(97110 ; 13965) b) CBNN (10500 ; 8683) 
Bài 12: Tìm a) BCNN(77554 ; 3581170) b) BCNN(532588; 110708836)
Bài 13: Tìm a) BCNN(459494736 ; 5766866256) b) BCNN(8992 ; 31473)
Bài 14: Tìm a) BCNN(708 ; 26930) b) BCNN(183378 ; 3500639) 
Bài 15: Tìm a) BCNN(611672 ; 11231152) b) BCNN(159185055; 1061069040)
Bài 16: Tìm
a) BCNN (13899; 563094; 9650088) ; b) BCNN(18963; 617394; 14676975
Câu 17: Tìm ƯCLN và BCNN của hai số:	
 a) 91482 và 166323	ƯCLN (91482; 166323) = 
	BCNN (91482; 166323) = 
	b) 75125232 và 175429800
	ƯCLN (75125232; 175429800) = 
	BCNN (75125232; 175429800) = 
Bài 18: Tìm ước chung của các số sau : 222222 ; 506506 ; 714714 ; 999999
Bài 19: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn : chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia cho 7 dư 6, chia cho
 8 dư 7, chia cho 9 dư 8, chia cho 10 dư 9 .
Bài 20: Hỏi có bao nhiêu số gồm sáu chữ số viết bởi các số 2, 3, 7 chia hết cho 9
Bài 21 : Tìm một số có 3 chữ số dạng xyz biết tổng ba chữ số bằng kết quả của 
 phép chia 1000 cho xyz.
Bài 22: Một người bỏ bi vào hộp theo quy tắc : ngày đầu tiên 1 viên, mỗi ngày sau
 đó bỏ vào số bi gấp đôi ngày trước đó . Cùng lúc lấy bi theo nguyên tắc :
 ngày đầu tiên và ngày thứ hai lấy 2 viên, ngày thứ ba trở đi lấy số bi bằng 
 tổng hai ngày trớc đó.
Tính số bi có trong hộp sau 10 ngày.
Để số bi trong hộp lớn hơn 1000 cần bao nhiêu ngày
Bài 23: Một người bỏ bi vào hộp theo quy tắc : ngày đầu tiên 1 viên, mỗi ngày sau
 đó bỏ vào số bi gáp đôi ngày trước đó . Cùng lúc lấy bi theo nguyên tắc :
 ngày đàu tiên và ngày thứ hai lấy 1 viên, ngày thứ ba trở đi lấy số bi bằng 
 tổng hai ngày trớc đó.
1) Tính số bi có trong hộp sau 15 ngày.
2) Để số bi trong hộp lớn hơn 2000 cần bao nhiêu ngày.
Bài 24: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn : chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia cho 7 dư 6, chia cho 8 dư 7, chia cho 9 dư 8, chia cho 10 dư 9 .
Bài 25: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n3 là một số có ba chữ số đầu và bốn chữ số cuối đều bằng 1, tức là n3 = .
Bài 26:
a. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 = , các dấu * ở vị trí khác nhau có thể là các số khác nhau.
b. Tìm tất cả các số n có ba chữ số sao cho n69 = , n121 = 
Bài 27: 
a. Tìm các chữ số a, b, c để ta có: 
b. Tìm các số có không quá 10 chữ số mà khi ta đưa chữ số cuối cùng lên vị trí đầu tiên thì số đó tăng lên gấp 5 lần.
c. Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng chia hết cho 7
Bài 28: Tìm tất cả các cặp số và sao cho khi đổi ngược hai số đó thì tích không đổi, tức là: (Ví dụ: 12.42 = 21.24 = 504)
a/ Tìm a,g biết: 
b/ Tìm số nhỏ nhất thoã mãn: 
c/ Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho có 4 chữ số đầu và 4 chữ số sau đều là 1
Bài 29. Tìm các chữsố x,y để và 9
 Giải:
Ta có : 
 x + y = 8
 và x + y = 17
Thử mày được x, y
Bài 30. Tìm các chữ số a, b, c, d để có : 
 Hướng dẫn:
 Thay 
 Xét xem: là số có 3 chữ số.
 a = 4 b = 2
Tìm chữ số x để chia hế cho 17
Bài 31: Tìm 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của chúng là một số chính phương nhỏ hơn 10000.
Bài 32:
a) Tìm các số sao cho . Nêu quy trình bấm phím để được kết quả.
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi lập phương số đó ta được số tự nhiên có 3 chữ số cuối đều là chữ số 7 và 3 chữ số đầu cũng đều là chữ số 7: .