Dạng đề thi HSG môn thi Toán cấp huyện

DAÏNG ÑEÀ THI HSG M«n thi TO¸N CAÁP HUYEÄN
Thêi gian lµm bµi 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò
 Câu 1. ( 2,5 điểm) Cho biểu thức .
Tìm x ñeå P xaùc ñònh, rút gọn P. 
Tính giá trị của P khi .
Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức .
 Câu 2. ( 2,0 điểm) 
Cho a + b + c = 0 và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng: 
Giải phương trình .
 Câu 3. ( 1,5 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
Cho x và y thỏa mãn . Tính x + y.
 Câu 4. (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH. CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. 
Tính độ dài đoạn thẳng DE.
Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Tính diện tích tứ giác DENM.
 Câu 5. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB AC); trung tuyến AM.
 Gọi ; . Chứng minh rằng 
------------- Heát -------------
Kú thi chän häc sinh giái líp 9 – N¨m häc 2011 - 2012
H­íng dÉn chÊm M«n TO¸N
 (Thêi gian lµm bµi 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Câu
Ý
Nội dung
điểm
1
a
1đ
, ĐKXĐ: 
 = = 
= := = 
b
0,75đ
Với x = ĐKXĐ, x = 42 = 
Nên P = = = .
c)
0,75đ
ĐK: x 4
P. = 63
 . = 63
 = 63
 x + 2 + 1 = 63 (*)
Do x > 0; , x 4
Nên để (*) xảy ra thì và x = 4 (TM ĐKXĐ)
2
a)
1,0
Ta có 
== = 
b
1,0
 ( ĐKXĐ: x5)
 (*)
x + 7 = x – 5 + 4 + 4 (do caùc veá (*) khoâng aâm)
4= 8 = 2x = 9 ( ĐKXĐ)
3
a
0,75
 ĐKXĐ 
A2 = x2 + 6x + 2 = 4 + 
Vì Nên A2 hay A 
- Do đó MinA = 2 x = 2 hoặc x = 6 ( tm ĐK)
Mặt khác A2 = 4 + + x2 + 6 – x = 8 (theo Cauchy)
A2 hay A 
- Do đó MaxA = x2 = 6x hay x = 4 (tm ĐK)
0,25
0,25
0,25
b
0,75
 (hai nhaân töû v.traùi phaûi khaùc 0) Nên 
Tương tự  = 
Cộng vế theo vế, ta có
x + y + + = +xy
2(x + y) = 0 nên x + y = 0
4
a)
1,0
Ta có Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông nên AH = DE
Mà AH2 = BH.CH ( Theo hệ thức giữa đường cao và hình chiếu)
Nên AH2 = 4.9 = 36. Do đó AH = 6 cm nên DE = 6 cm.
b)
1,5
C. minh được: * M là trung điểm của BH nên DM = BH = 2 cm
* N là trung điểm của HC nên EN = HC = 4,5 cm
Nên tứ giác DENM là hình thang vuông có 2 đáy 2 cm và 4,5 cm và đường cao DE = 6 cm.
Do đó SDENM = (DM + EN).DE = (2 + 4,5).6 = 19,5(cm2)
5
1,5
Từ A vẽ AH BC
Vì AB < AC nên HB < HC.
Do đó H nằm giữa B và M
Nên sin = = 
( Vì AM = BC Theo t/c trung tuyến trong tam giác vuông)
Mặt khác = sin2 + cos2 + 2sin.cos
 = 1 + 2sin.cos
Mà 2. sincos = = 
Do đó sin = 2.sincos
Vì vậy = 1 + sin.