Chuyên đề Véc tơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian

Chöông III
VEÙC TÔ TRONG KHOÂNG GIAN
QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN
§1.VEÙC TÔ TRONG KHOÂNG GIAN .
I. ÑÒNH NGHÓA VAØ CAÙC PHEÙP TOAÙN VEÀ VEÙC TÔ TRONG KHOÂNG GIAN
1. Ñònh nghóa 
Veùc tô trong khoâng gian laø moät ñoaïn thaúng coù höôùng .Kyù hieäu AB, chæ roõ veùc tô coù ñieåm ñaàu laø A vaø ñieåm cuoái laø B.Veùc tô coøn ñöôïc kyù hieäu :a ,b ,c ,x ,y
A
* Caùc khaùi nieäm veà giaù cuûa veùc tô,ñoä daøi cuûa veùc tô, söï cuøng phöông ,cuøng höôùng cuûa hai veùc tô ,veùc tô -khoâng ,söï baèng nhau cuûa hai veùc tô ....ñöôïc ñònh nghóa töông töï nhö trong maët phaúng .
B
C
D
M
N
H
K
I
1. Pheùp coäng ,pheùp tröø veùc tô trong khoâng gian .
* Pheùp coäng vaø pheùp tröø hai hay nhieàu veùc tô trong khoâng gian ,ñöôïc ñònh nghóa töông töï nhö pheùp coäng vaø pheùp tröø hai veùc tô trong maët phaúng . Pheùp coäng veùc tô trong khoâng gian cuõng coù caùc tính chaát nhö pheùp coäng veùc tô trong maët phaúng .Khi coäng veùc tô trong khoâng gian ta vaãn coù theå aùp duïng quy taéc 3 ñieåm ,quy taéc HBH,nhö ñoái vôùi veùc tô trong maët phaúng .
Ví duï : Cho töù dieän ABCD
1. Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caïnh AB vaø CD .Chöùng toû raèng 
MN=12AD+BC=12AC+BD
2.Chöùng minh raèng ñieåm G laø troïng taâm töù dieän ABCD khi vaø chæ khi 
a) GA+GB+GC=0
b) PG=14PA+PB+PC+PD
Vôùi moïi ñieåm P
Baøi giaûi :
1. Söû duïng quy taéêcba ñieåm : 
MN=MA+AD+DN 1; MN=MB+BC+CN (2)
Laáy (1) coäng vôùi (2) veá vôùi veá ta coù : 
2MN=MA+MB+AD+BC+DN+CN=AD+BC
Töông töï : MN=12AC+BD
2. Trong tam giaùc AGB coù GM laø trung tuyeán ,cho neân ,theo tính chaát cuûa veùc tô trung tuyeán ta coù 
GA+GB=2GM 1
Töông töï ,trong tam giaùc DMC vôùi GN laø trung tuyeán ta coù : 
GD+GC=2GN 1
Töø ñoù ,laáy (1) coäng vôùi (2) : 
GA+GB+GC=2GM+GN=0
Maït khaùc vôùi moät ñieåm P baát kyø ,ta xeùt caùc tam giaùc PAB ;PCD vaø PMN .Thöù töï coù caùc ñöôøng trung tuyeán PM,PN vaø PG .AÙp duïng quy taéc trung tuyeán ta coù 3 keát quaû sau .
PA+PB=2PM (1)
PC+PD=2PN (2)
PM+PN=2PG (3)
⟹PA+PB+PC+PD=2PM+PN=2.2PG=4PG
Hay :
 PG=14PA+PB+PC+PD
A
B
C
D
A'
D'
C'
B'
* Quy taéc hình hoäp :
Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D' coù ba caïnh xuaát phaùt töø ñænh A laø AB,AD,AA' vaø coù ñöôøng cheùo AC' .Khi ñoù ta coù quy taéc hình hoäp laø : 
AB+AD+AA'=AC'
3. Pheùp nhaân veùc tô vôùi moät soá .
* Caùc keát quaû trong maët phaúng ñeàu aùp duïng cho trong khoâng gian .
Ví duï1 : Cho töù dieän ABCD .Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AD vaø BC .G laø troïng taâm cuûa tam giaùc BCD.Chöùng minh raèng :
a) MN=12AB+DC b) AB+AC+AD=3AG
Baøi giaûi :
Nhö ta daõ bieát ,trong tam giaùc BCD ,neáu G laø troïng taâm thì :
GB+GC+GD=0 1
Theo quy taéc ba ñieåm ta coù :( Keát quaû cuûa ví duï 1).
b) Cuõng theo quy taéc ba ñieåm ,ta coù ba keát quaû sau : 
AB=AG+GB (2)
AC=AG+GC (3)
AD=AG+GD (4)
⟹AB+AC+AD=3AG+GB+GC+GD =3AG
 II. ÑIEÀU KIEÄN ÑOÀNG PHAÚNG CUÛA BA VEÙC TÔ 
1. Khaùi nieäm ñoàng phaúng cuûa ba veùc tô trong khoâng gian 
* Trong khoâng gian cho ba veùc tô a,b ,c ≠0 . Neáu töø moät ñieåm O baát kyø ta veõ OA=a ; OB=b ; OC=c ,khi ñoù coù theå xaûy ra hai tröôøng hôïp :
Tröôøng hôïp OA,OB,OC khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng ,khi ñoù ta noùi raèng ba veùc tô a,b ,c khoâng ñoàng phaúng .
Tröôøng hôïp OA,OB,OC cuøng thuoäc moät maët phaúng ,thì khi ñoù ta noùi ba veùc tô a,b ,c ñoàng phaúng . Trong tröôøng hôïp naøy giaù cuûa ba veùc tô luoân song song vôùi moät maët phaúng .
2. Ñònh nghóa 
Trong khoâng gian ba veùc tô ñöôïc goïi laø ñoàng phaúng neáu caùc giaù cuûa chuùng song song vôùi moät maët phaúng .
DC
A
M
N
P
Q
C
B
A
M
N
P
Q
C
B
B
A
M
N
P
Q
C
A
M
N
P
Q
C
A
* Ví duï 3 : Cho töù dieän ABCD .Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. Chöùng minh ba veùc tô BC,AD,MN. ñoàng phaúng .
Baøi giaûi :
DC
B
B
Goïi P,Qlaàn löôït laø trung ñieåm cuûa AC vaø BD .Ta coù PN // MQ vaø PN=MQ=1/2 AD.
Vaäy töù giaùc MNPQ laø hình bình haønh .mp(MNPQ) chöùa ñöôøng thaúng MN vaø // vôùi caùc ñöôøng thaúng AD vaø BC .
Vaäy suy ra ba ñöôøng thaúng MN,AD,BC cuøng // vôùi maët phaúng .Do ñoù ba veùc tô BC,AD,MN. ñoàng phaúng . 
3. Ñieàu kieän ñeå ba veùc tô ñoàng phaúng 
Ñònh lyù 1
O
z
M
C
c
xÕ
M'
A
B
Trong khoâng gian cho hai veùc tô a vaø b ñeàu khaùc veùc tô khoâng vaø khoâng cuøng phöông ,vôùi moät vec tô c .Khi ñoù ba veùc tô a,b ,c goïi laø ñoàng phaúêng khi vaø chæ khi coù caëp soá m,n sao cho c=ma+nb . Ngoaøi ra caëp soá m,n laø duy nhaát .
Ví duï 4. 
B
y
M'
Cho töù dieän ABCD .Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD .Treân caùc caïnh AD vaø BC laàn löôït laáy P vaø Q sao cho AP=23AD , BQ=23BC . Chöùng minh boán ñieåm M,N,P,Q cuøng thuoäc moät maët phaúng .
Baøi giaûi :
A
P
B
M
Q
C
D
N
Ta coù : Theo keát quaû cuûa ví duï 1 : MN=MA+AD+DN ; MN= MB+BC+CN .
M
⟹MN=12AD+BC (1)
D
C
N
N
C
Q
D
B
Maët khaùc theo giaû thieát :
AD=32AP ; BC=32BQ ⟹MN=12.32AP+BQ=34AM+MP+BM+MQ=34MP+MQ=34MP+34MQ
Chöùng toû M,N,P,Q cuøng thuoäc moät maët phaúng ( do MN,MP,MQ ñoàng phaúng ).
Ñònh lyù 2:
x
y
z
A
B
D
a
b
c
D'
c
b
b
c
A
B
b
a
C
D
c
* Trong khoâng gian cho ba veùc tô khoâng ñoàng phaúng a,b ,c . Khi ñoù vôùi moïi veùc tô x ,ta ñeàu choïn ñöôïc moät boä ba soá m,n,p sao cho : x=ma +nb+pc . Ngoaøi ra boä ba soá m,n,p laø duy nhaát . 
D'
y
* Chöùng minh ñònh lyù döïa vaøo hình veõ beân 
x
 Ví duï 5. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. Coù AB=a,AD=b ,AA'=c . Gôïi I laø trung ñieåm cuûa BC'.Haõy bieåu thò veùc tô AI theo ba veùc tô a,b ,c . 
Baøi giaûi :
A
BB
C
D
C'
B'
A'
D'
Ta coù
AC'=AB+AD+AA' (1)
A
D
Do I laø trung ñieåm cuûa BC' neân AI laø trung tuyeán cuûa tam giaùc ABC',cho neân theo quy taéc trung tuyeán ta coù :
B'
2AI=AB+AC'=2AB+AD+AA'
⟹AI=AB+12AD+12AA'=a+12b+12c
BAØI TAÄP TRONG HH-11-CÔ BAÛN ( Trang 91-HH11-CB)
Baøi 2. Cho hình hoäp ABCD ,A'B'C'D'. Chöùng minh raèng 
a) AB+B'C'+DD'=AC'
b) BD-D'D-B'D'=BB'
c) AC+BA'+DB+C'D=0
Baøi giaûi :
Theo tính chaát cuûa hình hoäp ta coù caùc caëp veùc tô baèng nhau sau :
AB=DC=D'C'=A'B' (1)
AD=BC=B'C'=A'D' (2)
AA'=BB'=DD'=CC' (3)
Do vaäy : 
a) AB+B'C'+DD'=AB+AD+AA'=AC'
( Töø (2) vaø (3).)
b) BD-D'D-B'D'= BD+DD'+D'B'=BD'+D'B'=BB'
c) AC+BA'+DB+C'D=AB+AD+BA+BB'+DA+DC+C'C+C'D'=AB+BA+AD+DA+BB'+C'C+DC+C'D'=0
Baøi 3. Cho hình bình haønh ABCD . Goïi S laø moät ñieåm naèm ngoaøi maët phaúng chöùa HBH. Chöùng minh raèng : SA+SC=SB+SD .
Baøi giaûi : 
Goïi O laø giao cuûa hai ñöôøng cheùo AC vaø BD cuûa HBH. 
Xeùt hai tam giaùc SAC vaø SBD ,chuùng coù chung ñöôøng trung tuyeán SO. Theo tính chaát cuûa ñöôøng trung tuyeán : : SA+SC=2SO = SB+SD 
Bài 4. Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Chứng minh rẳng :
a) MN=12AD+BC b) MN=12AC+BD
Baøi giải :
A
B
C
D
M
N
a) MN=MB+BC+CN ; MN=MA+AD+DN ⟹2MN=MA+MB+AD+BC+CN+DN 
⟺ MN=12AD+BC
b) MN=MA+AC+CN ; MN=MB+BD+DN 
⟹2 MN=MA+MB+BD+AC+CN+DN
⟺MN=12AC+BD
Baøi 5. Cho töù dieän ABCD .Haõy xaùc ñònh hai ñieåm E vaø F sao cho 
a) AE=AB+AC+AD ;
b) AF=AB+AC-AD ;
Baøi giai :
a)Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc BCD . Theo tính chaát cuûa troïng taâm tam giaùc vôùi moät ñieåm A tuyø yù ta coù :
AB+AC+AD =3AG ⟹AE=3AG
Chöùng toû E naèm treân ñöôøng thaúng AG vaø ñoä daøi cuûa AE =3AG .
b) Goïi I vaø J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BC vaø AD .Thì :
AB+AC-AD =2AI-2AÏ=2AI-AJ=2JI⟹AF=2JI
Vaäy : F naèm treân ñöôøng thaúng ñi qua A // vôùi Ò vaø coù ñoä daøi baèng hai laàn ñoä daøi cuûa IJ
A
B
C
D
G
E
EF
Caùch khaùc : 
a) AB1+AC+AD =AG+AD=AE
Vôùi E laø ñænh thöc tö cuûa HBH ABGC vaø E laø ñænh thöù tö cuûa hình bình haønh AGED. Hay noùi moät caùch khaùc E laø moät ñænh cuûa hình hoäp coa ba caïnh laø AB,AC,AD .
AB+AC-AD =AG-AD =DG
Töông töï ,G laø ñænh thöù 4 cuûa hình bình haønh ABGC ,coøn F laø ñænh thöù 4 cuûa hình bình haønh ADGF. (caùch xaùc ñònh chuùng nhö hình veõ )
Baøi 6. Cho töù dieän ABCD.Goïi G laø troïng taâm tam giaùc ABC .Chöng minh raèng :
DA+DB+DC=3DG
Baøi giaûi :
Theo giaû thieát ,neáu G laø troïng taâm tam giac ABC thì :
GA+GB+GC=0 (1)
⟹DA=DG+GA ; DB=DG+GB ; DC=DG+GC
⟺DA+DB+DC=GA+GB+GC+3DG=3DG
Do (1).
Baøi 7. Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh AC vaø BD cuûa töù dieän ABCD.Goïi I laø trung ñoaïn cuûa ñoanj thaúng MN vaø P laø moät ñieåm baát kyø trong khoâng gian .Chöùng minh raèng :
a) IA+IB+IC+ID=0
b) PI=14PA+PB+PC+PD
Baøi giaûi :
a) Neáu M vaø N laø trung ñieåm cuûa AC vaø BD . F laø trung ñieåm cuûa MN thì :
MA+MC=0 ; NB+ND=0 ; IM+IN=0 (1)
⟹IA=IM+MA ;IB=I N+NB ;IC=IM+MC ; ID=IN+ND
⟺ IA+IB+IC+ID=2IM+I N+MA+MC +NB+ND=0
b) Theo quy taéc ba ñieåm :
PA=PI+IA ; PB=PI+IB ; PC=PI+IC ; PD=PI+ID ; 
⟹PA+PB+PC+PD=IA+IB+IC+ID+4PI
A
B
C
A'
B'
C'
⟺PI=14PA+PB+PC+PD
Baøi 8. Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.A'B'C' coù : AA'=a ; AB=b ; AC=c . Haõy phaân tích (bieåu thò ) caùc veùc tô B'C, BC' ,theo caùc veùc tô a,b,c . 
Baøi giaûi :
Theo hình veõ thì :
B'C=AB'-AC=AA'+AB-AC=a+b-c
BC'=AC'-AB=AA'+AC-AB=a+c-b
Baøi 9. Cho tam giaùc ABC. Laáy ñieåm S naèm ngoaøi maët phaúng (ABC).Treân SA laáy ñieåm M sao cho MS=-2MA ,vaø treân ñoaïn BC laáy ñieåm N sao cho NB=-12NC. Chöùng minh ba veùc tô AB,MN, SC ñoàng phaúng .
Baøi giaûi :
Ñaët : SA=a ;SB=b ;SC=c . Khi ñoù ta bieåu dieãn ba veùc tô AB,MN, SC theo ba veùc tô a,b,c . 
Ta coù
AB=SB-SA=b-a 1 ; MN=MA+AB+BN=13SA+b-a+13BC
⟹MN=13a+b-a+13SC-SB=-23a+23b+13c=23b-a+13c
⟺MN=23AB+13SC
Chöùng toû ba veùc tô AB,MN, SC ñoàng phaúng.
B
A
C
D
E
EF
G
H
K
I
Baøi 10. Cho hình hoäp ABCDEFGH;, Goïi K laø giaoñieåm cuûa AH vaø DE ,I laø giao cuûa BH vaø DF. Chöùng minh ba veùc tô AC,KI,FG ñoàng phaúng .
Baøi giaûi :
Ñaët : AB=a , AD=b , AE=c . Haõy bieåu dieãn ba veùc tô AC,KI,FG theo ba veùc tô a,b,c . Vì vaäy ta coù :
AC=AB+AD=a+b (1)
KI=12EF=12AB=12a (2)
FG=AD=b (3)
Thay (2) vaø (3) vaøo (1),ta coù :
AC=2KI+FG
Chöùng toû ba veùc tô AC,KI,FG ñoàng phaúng.
TRONG HH-11-NAÂNG CAO (Trang 91)
Baøi 2. Cho hình choùp S,ABCD. 
a) Chöùng minh raèng neáu ABCD laø hình bình haønh thì SB+SD=SA+SC . Ñieàu ngöôïc laïi coù ñuùng hay khoâng ?
b) Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD .Chöùng toû raèng ABCD laø hình bình haønh khi vaø chæ khi SA+SB+SC+SD=4SO . 
Baøi giaûi :
a) Neáu ABCD laø hình bình haønh thì goïi O laø giao hai ñöôøng cheùo AC vaø BD thì :
SB+SD=SA+SC=2SO (1)
Ngöôïc laïi ,töø giaû thieát : 
SB+SD=SA+SC⟹SB-SC=SA-SD⟺CB=DA⟺CB=DA .
SB+SD=SA+SC=SB-SA=SC-SD⟺AB=DC⟺AB=DC
Chöùng toû ñieàu ngöôïc laïi cuõng ñuùng .
 b) Töø (1) suy ra heä thöùc veùc tô : SA+SB+SC+SD=4SO
⟺SO+OA+SO+OB+SO+OC+SO+OD=4SO
⟺OA+OB+OC+OD=O
Baøi 3. Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.A'B'C'. Goïi G vaø G' laàn löôït laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC vaø A'B'C'. I laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng AB' vaø A'B .Chöùng minh raèng caùc ñöôøng thaúng GI vaø CG' song song nhau .
Baøi giaûi :
G
G'
A
B
C
A'
B'
C'
Goïi M vaø N thöù töï laø trung ñieåm cuûa hai caïnh BC vaø B'C' . 
I
Ñaët AB=a ,AC=b ,AA'=c . Ta bieåu dieãn hai veùc tô GI vaø veùc tô CG' theo ba veùc tô a,b,c .
GI=GA+AI=-23AM+12AB'=[-2312AC+AB+12AA'+A'B'
⇒GI=-13b+a+12c+a=16a-13b+12c (1)
CG'=CA'+A'G'=CA+AA'+23A'N=-b+c+23.12A'C';+A'B'
⟺CG'=-b+c+13b+a=13a-23b+c=216a-13b+12c =2GI (2)
Töø (2) chöùng toû hai veùc tô cuøng phöông .Nhöng vì hai veùc tô khoâng coù chung goác neân hai giaù cuûa hai veùc tô naøy // nhau ,nghóa laø ta coù GI // CG'.
Baøi 4. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. Goïi M,N thöù töï laø trung ñieåm cuûa CD vaø DD'; G vaø G' laàn löôït laø troïng taâm cuûa töù dieän A'D'MN vaø BCC'D'. Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng GG' vaø maët phaúng (ABB'A') song song vôùi nhau ?
Baøi giaûi :
Ñaët : AB=a , AD=b , AA'=c . Ta haõy bieåu dieãn caùc veùc tô : GG',AB , AA' ,theo ba veùc tô a,b,c .
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
M
N
Neáu G vaø G'laø troïng taâm cuûa caùc töù dieän A'D'MN vaø BCC'D' thì vôùi moät ñieåm A baát kyø thì :
AG'=14AB+AC+AC'+AD' ; AG=14AA'+AD'+AM+AN
⟹GG'=AG'-AG=14[AB-AA'+AC-AM+AC'-AN
⟺GG'=14[a-c+AB+AD-AD-12DC+AB+AD+AA'-AD-12DD' ]
⟺GG'=14a-c+a-12a+a+c-12c =1452a-12c=58a-18c
⟺GG'=58AB-18AA' (*)
Töø (*) ba veùc tô GG',AB , AA' ñoàng phaúng .Nhöng hai veùc tô AB , AA' thuoäc maët phaúng (ABB'A') ,coøn veùc tô GG' khoâng thuoäc maët phaúng naøy .Vì vaäy GG'// vôùi maët phaúng (ABB'A'). 
Baøi 5. Trong khoâng gian cho tam giaùc ABC.
a) Chöùng minh raèng neáu moät ñieåm M thuoäc maët phaúng (ABC) thì coù ba soá x,y,z maø x+y+z=1 sao cho OM=xOA+yOB+zOC ,vôùi moïi ñieåm O.
b) Ngöôïc laïi ,neáu coù moät ñieåm O trong khoâng gian sao cho OM=xOA+yOB+zOC ,trong ñoù x+y+z=1 thì ñieåm M thuoäc maët phaúng (ABC).
Baøi giaûi :
Neáu M thuoäc maët phaúng (ABC) thì ba veùc tô MA,MB,MC ñoàng phaúng .Nghóa laø toàn taïi hai soá p,q sao cho : MA=pMB+qMC . Do ñoù vôùi moät ñieåm O baát kyø .
⟺OA-OM=pOB-OM+qOC-OM
⟺-OA+pOB+qOC=p+q-1OM
⟹OM=-1p+q-1.OA+pp+q-1OB+qp+q-1 (1)
Neáu ñaët :
x=-1p+q-1 .y=pp+q-1 ;z=qp+q-1
Thì : 
x+y+z=-1p+q-1+pp+q-1+qp+q-1=1
Vaø : OM=xOA+yOB+zOC 
Ngöôïc laïi : Neáu OM=xOA+yOB+zOC ,vaø x+y+z=1 thì : x=1-y-z thay vaøo ta coù :
OM=1-y-zOA+yOB+zOC=OA+yOB-OA+zOC-OA
⟺OM-OA=yAB+zAC⟹AM=yAB+zAC
Chöùng toû ba veùc tô AM, AB, AC , ñoàng phaúng .Nhöng ba veùc tô naøy chung goác laø A ,cho neân M thuoäc maët phaúng (ABC).
Baøi 6.Cho hình choùp S.ABC .Laáy caùc ñieåm A',B',C' laàn löôït thuoäc caùc tia SA,SB,SC sao cho SA=aSA' , SB=bSB' ,SC=cSC' ,trong ñoù a,b,c laø caùc soá thay ñoåi .Chöùng minh raèng maët phaúng (A'B'C') ñi qua troïng taâm cuûa tam giaùc ABC khi vaø chæ khi a+b+c=3.
Baøi giaûi :
Neáu G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC thì :
GA+GB+GC=0 ; 
Vaø : 
SA=SG+GA⟹aSA'=SG+GA
Töông töï ta coù :
SB=SG+GB⟹aSB'=SG+GB
SC=SG+GC⟹aSC'=SG+GC
Vaäy :
aSA'+bSB'+cSC'=3SG+GA+GB+GC
⟺SG=a3SA'+b3SB'+c3SC'
Theo keát quaû baøi 5 ,ñeå mp(ABC) ñi qua G thì : 
a3+b3+c3=1 ;a+b+c=3. 
MOÄT SOÁ BAØI TAÄP TRONG SAÙCH BAØI TAÄP CUÛA HAI BAN CÔ BAÛN VAØ NAÂNG CAO
Baøi 1. Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. Xeùt caùc ñieåm M vaø N thuoäc caùc ñöôøng thaúng A;C vaø C'D sao cho MA'=kMC , NC'=lND (vôùi k,l ñeàu khaùc 1).
Ñaët BA= a ,BB'=b ,BC=c .
a) Haõy bieåu thò caùc veùc tô BM ,BN qua caùc veùc tô a,b,c .
b) Xaùc ñònh caùc soá k,l ñeå ñöôøng thaúng MN song song vôùi ñöôøng thaúng BD' .
Baøi giaûi :
a) Töø giaû thieát : 
B
A
C
D
A'
B'
C'
D'
N
MA'=kMC⟺CA'-CM=kMC⟺CA'=1-kCM
⟹CM=CB+BM=CD+CB+CC'1-k=11-k.a-11-k.b+11-kc 
Neân :
 BM=11-k.a-11-k.b+11-kc+BC
BM=11-k.a-k1-k.b+11-kc (1)
Töông töï ,
NC'=lND⟺DC'-DN=-lDN⟹DC'=1-lDN
⟺DC+DD'=1-lDB+BN=1-lBN+1-lDA+DC
⟹-a+c=1-lBN+1-l-b-a
⟺BN=-l1-la+b+11-lc (2)
b)Neáu MN song song vôùi BD' thì toàn taïi hai soá p sao cho :MN=pBD'
BN-BM=pBA+BC+BB'
⟺[-l1-l-11-ka+1+k1-kb+11-l-11-kc]=pa+b+c
Theo tính chaát baèng nhau cuûa caùc veùc tô ta coù heä :
-l1-l-11-k=p1+k1-k=p11-l-11-k=p⟺p=11-k2p=11-l-2pl-p=p⟺k=1-1pl=1-12p2pl+1=0⟺l=-1p=14k=-3
* Chuù yù : Ñeå chöùng minh ba ñieåm A,B,C thaúng haøng thì 
AB=kAC
Vôùi moät ñieåm O baát kyø ta coù :
OB-OA=kOC-OA (1)
⟺OA=OB-kOC1-k ⟹OB=1-kOA+kOA (1-k+k=1)
Neáu ñaëït 1-k=m ,k=n ;thì m+n=1-k+k=1 vaøOB=mOA+nOA (m+n=1 ) 
Caùc em haõy chuù yù ñeán thöù töï cuûa A,B,C trong coâng thöùc
I. Trong BTGT -11-Naâng cao
Baøi 1 (tr-113). Cho töù dieän ABCD ,M vaø N laø caùc ñieåm laàn löôït thuoäc AB vaø CD sao cho MA=-2MB ,ND=-2NC , Caùc ñieåm I,J,K laàn löôït thuoäc AD,MN,BC sao cho IA=kID, JM=kJN , KB=kKC . Chöùng minh caùc ñieåm I,J,K thaúng haøng .
Baøi giaûi :
Ta aùp duïng coâng thöùc (1) 
MA=-2MB⟹OM=OA+2OB3=13OA+23OB (2)
ND=-2NC ⟹ON=OD+2OC3=13OD+23OC (3)
IA=kID⟹OI=OA-kOD1-k 4; , JM=kJN⟹OJ=OM-kON1-k(5)
A
B
C
D
M
N
I
K
J
KB=kKC⟹OK=OB-kOC1-k (6)
Töø (5) ta coù :
OJ=OM-kON1-k=11-k13OA+23OB-k1-k13OD+23OC
⟺OJ=23OB-kOC1-k+13OA-kOD1-k=23OK+13OI (23+13=1 )
Chöùng tôû I,J,K thaúng haøng . 
Baøi 2(tr-114-BTGT11-NC)
Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. Caùc ñieåm M,N laàn löôït thuoäc caùc caïnh CA vaø DC' sao cho MC=mMA , ND=mNC' .Xaùc ñònh m ñeå caùc ñöôøng thaúng MN vaø BD' song song nhau .Khi aáy ,tính MN bieát ABC=CBB'=ABB'=600 vaø BA=a,BB'=b ,BC=c.
Baøi giaûi
Ñaët : BA=a , BC=b ,BB'=c . Ta bieåu bieãn caùc veùc tô MN,BD' theo caùc veùc tô : a,b,c . Do ñoù 
MC=mMA⟹OM=OC-mOA1-m ;ND=mNC'⟹ON=OD-mOC'1-m
⟹MN=ON-OM=11-mOD-mOC'-OC+mOA
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
N
M
⟺MN=11-m CD+mOA-OC'=11-m(CD+mC'A)=11-m[a+ma-b-c] 
⟹MN=1+m1-ma-m1-mb-m1-mc
BD'=a+b+c ; ⟹MN//BD⟺MN=kBD'; kBD'=ka+kb+kc (*)
Theo tính chaát baèng nhau cuûa hai veùc tô ,ta coù heä sau :
1+m1-m=k-m1-m=k-m1-m=k⟺1+m=-mm=-12k=13
MN=13a+b+c
MN2=19a2+b2+c2+2abcos600+2bccos600+2cacos600=19[ a2+b2+c2+ab+bc+ca]
-
⟹MN=13a2+b2+c2+ab+bc+ca
Baøi 3. (tr114-BTGT11-NC).
Cho hình laêng truï ABC.A'B'C'.Goïi I,J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa BB' vaø A'C'.Ñieåm K thuoäc B'C' sao cho KC'=-2KB . Chöùng minh raèng boán ñieåm A,I,J,K cuøng thuoäc moät maët phaúng .
Baøi giaûi :
Ñaët :BA=a, BC=c, BA'=b .Ta bieåu dieãn ba veùc tô AI,AJ,AK theo ba veùc tô a,b,c
Ta coù :
KC'=-2KB'⟹AK=AC'+2AB'3=13AC+AA'+23AB+BB'=13c-a+b+23b-a=-a+b+13c
B
A
C
B'
A'
C'
I
J
⟺AK=-a+b+13c (1)
AI=BI-BA=-a+12b ; AJ=AA'+12A'C'=b+12c-a=-12a+b+12c
AI+AJ=-32a+32b+12c=32-a+b+13c=32AK⟺AK=23AI+AJ (*)
Töø (*) chöùng toû A,I,J,K cuøng thuoäc moät maët phaúng .
Baøi 5. (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hoäp ABCD.A'B'C'D'. coù caùc caïnh baèng m ,caùc goùc taïi A baèng 600 . Goïi P vaø Q laø caùc ñieåm xaùc ñònh bôûi AP=D'A ,C'Q=DC' . Chöùng minh ñöôøng thaúng PQ ñi qua trung ñieåm cuûa caïnh BB'. Tính ñoä daøi cuûa ñoaïn thaúng PQ ?
Baøi giaûi :
A
B
D
A'
B'
C'
D'
Q
A
B
D
A'
B'
C'
D'
Q
C
P
Ñaët :AB=a,AA'=b, AD=c ; a=b=c=m . ( Do caùc caïnh cuûa hình hoäp baèng m ).Theo giaû thieát : P,A,D' thaúng haøng vaø A laø trung ñieåm cuûa PD'. Töông töï C' laø trung ñieåm cuûa QD. Ñeå chöùng minh ñöôøng thaúng PQ ñi qua trung ñieåm M cuûa BB' thì tröôùc tieân ta ñi bieåu dieãn caùc veùc tô MQ,MP theo ba veùc tô a,b,c .
Ta coù ,töø giaû thieát :
MQ=AQ-AM=DQ-DA-AB+12BB'=2DC'+AD-AB+12BB'
⟺PQ=2a+b+c-a+12b= (*)
MP=AP-AM=AP-AB+12BB'=-b-c-a+12b=-a-32b-c
⟺MQ=-MP 
Chöùng toû ñöôøng thaúng PQ ñi qua trung ñieåm M cuûa BB' ( ba ñieåm P,M,Q thaúng haøng ).
Tính ñoä daøi PQ?
PQ2=a+32b+c2
PQ2=m2+94m2+m2+3m2cos600+2m2cos600+3m2cos600⟹PQ=332m
Baøi 7( Trng 114-BTHH 11-NC).
Cho hình laäp phöông ABCD.A'B'C'D'. Goïi M,N laàn löôït laø caùc ñieåm thuoäc AD' vaø DB sao cho MA=kMD' ,ND=kNB (k≠0,k≠1 ) . 
a) Chöùng minh MN song song vôùi mp(A'BC).
b) Khi ñöôøng thaúng MN song song vôùi ñöôøng thaúng A'C ,chöùng toû raèng MN vuoâng goùc vôùi AD' vaø DB ?
Baøi giaûi :
a) Ñaët : AB=a,AA'=b, AD=c ; a=b=c=m ;ab=ac=bc=0
Ta coù töø giaû thieát :
MA=kMD'⟺A'M=A'A-kA'D'1-k ;ND=kNB⟺A'N=A'D-kA'B1-k (*)
A'M=A'A-kA'D'1-k=11-k.A'A-kA'D'=11-k-b-kc
A'M=-11-kb-k1-kc (1)
A'N=A'D-kA'B1-k=11-kA'D-kA'B=11-kc-b-ka-b
A'N=-k1-ka-b+11-kc (2)
MN=A'N-A'M=-k1-ka-b+11-kc--11-kb-k1-kc 
⟺MN=-k1-ka+k1-kb+1+k1-kc=k1-k-a+b+1+k1-kc
MN=k1-kBA'+1+k1-kBC
Chöùng toû MN// vôùi maët phaúng (A'BC).
b) Neáu MN//A'C thì toàn taïi moät soá p sao cho :MN=pA'C
⟺-k1-ka+k1-kb+1+k1-kc=pa-b+c=pa-pb+pc
Do ñoù ta coù heä :
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
D
D
D
k1-k=-pk1-k=-p1+k1-k=p⟺k=-12p=13
Vôùi : k=-12 ,thì
MN=13a-13b+13c
MN.AD'=13a-13b+13cb+c=-13m2+13m2=0
MN.DB=13a-13b+13ca-c=13m2-13m2=0
Chöùng toû MN vuoâng goùc vôùi AD' vaø DB.
Baøi 9 (tr-114-BTHH11-NC)
Cho hình töù dieän ABCD;I vaø J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD ;M laø ñieåm thuoäc AC sao cho MA=k1MC ; vaø N laø ñieåm thuoäc BD sao cho NB=k2ND; Chöùng minh raèng caùc ñieåm I,J,M,N cuøng thuoäc moät maët phaúng khi vaø chæ khi k1=k2.
Baøi giaûi :
Neáu boán ñieåm cuøng thuoäc moät maët phaúng ,thì : IM=pIN+qIJ (*)
Ñaët :AB=a ;AC=b ;AD=c . Ta bieåu dieãn caùc veùc tô theo ba veùc tô a,b,c .
Töø giaû thieát :
MA=k1MC⟺IM=IA-k1IC1-k1 ;NB=k2ND⟺JN=JB-k2JD1-k2 (**)
Vôùi (*) ta tính theo ba veùc tô a,b,c :
IM=IA-k1IC1-k1⟺IM=11-k1IA-k1IC=11-k1-12a-k1b-12a
⟺IM=-12a-k11-k1b (1)
IN=IB-k2ID1-k2⟺IN=11-k2IB-k2ID=11-k2[AB-AI-k2AD-AI]
⟺IN=1+k22a-k2c (2)
Do ñoù :
IJ=12IC+ID=12c-12b
Töø (*),ta coù :
⟹-12a-k11-k1b=p1+k22a-k2c+q2c-12b
⟺-12a-k11-k1b=p1+k22a-q21