Chuyên đề Toán lớp 6

®iÒn Sè tù nhiªn. ghi sè tù nhiªn. t×m sè
A/. Môc tiªu:
Häc sinh n¾m v÷ng c¸c kiÕn thøc vÒ sè tù nhiªn vÒ cÊu t¹o sè trong hÖ thËp ph©n, c¸c phÐp tÝnh vÒ sè tù nhiªn, c¸c tÝnh chÊt vÒ chia hÕt.
VËn dông thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®æi vµo trong c¸c bµi tËp sè häc.
RÌn luyÖn cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t­ duy l« gic ãc ph©n tÝch tæng hîp.
B/. ChuÈn bÞ:
 Néi dung chuyªn ®Ò, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sö dông vµ c¸c bµi tËp tù luyÖn.
C/. Néi dung chuyªn ®Ò.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1, §Æc ®iÓm cña ghi sè tù nhiªn trong hÖ thËp ph©n.
- Dïng 10 ch÷ sè 0; 1; 2; 3;......9 ®Ó ghi mäi sè tù nhiªn.
- Cø 10 ®¬n vÞ cña mét hµng b»ng mét ®¬n vÞ cña hµng tr­íc.
VÝ dô: 	= 10a+b
= 100a + 10b+c
2, So s¸nh 2 sè tù nhiªn.
+ a > b khi a n»m ë bªn tr¸i sè b trªn tia sè.
+ a < b khi a n»m ë bªn ph¶i sè b trªn tia sè.
3, TÝnh ch½n lÎ:
a, Sè tù nhiªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 0; 2; 4; 6; 8 lµ sè ch½n (2b;b ÎN)
b, Sè tù nhiªn cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1; 3; 5; 7; 9 lµ sè lÎ (2b+1;b ÎN)
4, Sè tù nhiªn liªn tiÕp.
a, Hai sè tù nhiªn liªn tiÕp h¬n kÐm nhau hai ®¬n vÞ.
a;	 a+1 (a Î N)
b, Hai sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp h¬n kÐm nhau hai ®¬n vÞ.
2b; 	2b + 2 (b Î N)
c, Hai sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp h¬n kÐm nhau hai ®¬n vÞ.
2b + 1 ; 	2b + 3 (b Î N)
II/ Bµi tËp.
Bµi tËp 1: Cã bao nhiªu ch÷ sè cã 4 ch÷ sè mµ tæng c¸c ch÷ sè b»ng 3?
Gi¶i
3 = 0 + 0 + 3 = 0 + 1 + 1 + 1 = 1 + 2 + 0 + 0 
3000	1011	2001	1002
1110	2100	1200	 1 + 3 + 6 = 10 sè
1101	2010	1020
Bµi tËp 2: C¸c sè tù nhiªn tõ 1000 ®Õn 10000 cã bao nhiªu sè cã ®óng ba ch÷ sè gièng nhau?
Gi¶i
Cã duy nhÊt sè 10000 cã 5 ch÷ sè kh«ng tho¶ m·n ®Ò bµi vËy c¸c sè ®Òu cã d¹ng.
	 	(a¹b)
XÐt sè ch÷ sè a cã 9 c¸ch chän (a¹b)
Víi a ®· chän ta cã 9 c¸ch chän (b¹a)
=> Cã 9.9 = 81 sè cã d¹ng 
T­¬ng tù: 	=> Cã 81.4=324 sè
Bµi tËp 3: ViÕt c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp tõ 1 ->100 tõ tr¸i sang ph¶i thµnh d·y.
a, D·y trªn cã tÊt c¶ bao nhiªu ch÷ sè?
b, Ch÷ sè thø 100 kÓ tõ tr¸i sang ph¶i lµ ch÷ sè nµo?
Gi¶i
a, Sè cã 1 ch÷ sè: 9 sè => 9.1 = 9 ch÷ sè 
Sè cã 2 ch÷ sè: 99 – 9 = 90 sè => 90.2 = 180 ch÷ sè 
Sè 3 ch÷ sè: 100 => 3 ch÷ sè
VËy d·y trªn cã 9 + 180 + 3 = 192 ch÷ sè.
b, Ch÷ sè thø 100 r¬i vµo kho¶ng sè cã 2 ch÷ sè
B¾t ®Çu tõ 1011 ....lµ ch÷ sè thø 91
91 – 2.45 + 1
Sè thø 45 kÓ tõ 10 lµ: (45 - 1) + 10 = 54
VËy ch÷ sè thø 100 lµ ch÷ sè 5.
Bµi tËp 4: ViÕt liªn tiÕp 15 sè tù nhiªn lÎ ®Çu tiªn t¹o thµnh mét sè tù nhiªn h·y xo¸ ®i 15 ch÷ sè ®Ó ®­îc.
a, Sè lín nhÊt (9 923 252 729)
b, Sè nhá nhÊt (1 111 111 122) 
Bµi tËp 5: NÕu sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè 5 vµo bªn ph¶i sè ®ã th× nã t¨ng 1112 ®¬n vÞ (=123)
Bµi tËp 6: T×m sè cã 4 ch÷ sè. BiÕt r»ng nÕu xo¸ ®i ch÷ sè hµng chôc vµ hµng ®¬n vÞ th× sè ®ã gi¶m ®i 4455 ®¬n vÞ.
Gi¶i 	- = 4455 => = 99.(45-)
	 (45-) 45 - = 	 0 
	 	 1
=> 	NÕu = 45 => = 0
NÕu = 44 => = 99
VËy sè ph¶i t×m 	4500
44996 
Bµi tËp 7: T×m sè cã 2 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp 5 lÇn tæng c¸c ch÷ sè cña nã.
Gi¶i 
	= 5(a+b) => 5a = 4b
=> b 5 => b = 0
	 5
NÕu b = 0 	=> a = 0 lo¹i
NÕu b = 5	th× a = 4	=> 	= 45
Bµi tËp 8: T×m sè cã 2 ch÷ sè biÕt r»ng lÊy sè ®ã chia cho tæng c¸c ch÷ sè cña nã ®­îc th­¬ng lµ 5 d­ 12.
Gi¶i 
	= 5(a+b) + 12 => 5a = 4(b+3)
=> b + 3 5 => b = 2
	 	 7
NÕu b = 2 => 	a = 4 	=> 	= 42
NÕu b = 7 => 	a = 8 	 87
Bµi tËp 9: Kh«ng lµm phÐp tÝnh h·y kiÓm tra kÕt qu¶ phÐp tÝnh 
a, 136 . 136 – 42 = 1960
b, . - 8557 = 0
(ch÷ sè tËn cïng)
Bµi tËp 10: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng nÕu viÕt thªm ch÷ sè vµo bªn tr¸i sè ®ã ta ®­îc mét sè gÊp 26 lÇn sè ®ã (260)
Bµi tËp 11: T×m sè cã 2 ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu lÊy sè ®ã chia cho hiÖu cña ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ta cã th­¬ng lµ 26 d­ 1.
Gi¶i 
 = (a - b) . 26 + 1 => 27b = 16 a + 1 
16a ch½n => 16a + 1 lÎ => b lÎ => b = 3 => a = 5 
 = 53
Bµi tËp 12: T×m sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau, biÕt r»ng sè ®ã b»ng tæng c¸c sè cã 2 ch÷ sè kh¸c nhau lËp tõ 3 ch÷ sè cña sè ph¶i.
Gi¶i 
	 = + + + + + 
=> = 22(a + b + c)
Bµi tËp 13: §iÒn ch÷ sè thÝch hîp thay cho c¸c ch÷ c¸i 
a, 1 + 36 = 1
b, - = 
c, + + = 
C¸c phÐp tÝnh vÒ sè tù nhiªn . §Õm sè
A/. Môc tiªu:
Häc sinh n¾m v÷ng c¸c phÐp tÝnh vÒ sè tù nhiªn, c¸c tÝnh chÊt vÒ chia hÕt, kiÕn thøc vÒ d·y sè c¸ch ®Òu.
VËn dông thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®æi vµo trong c¸c bµi tËp sè häc.
RÌn luyÖn cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t­ duy l« gic ãc ph©n tÝch tæng hîp.
B/. ChuÈn bÞ:
 Néi dung chuyªn ®Ò, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sö dông vµ c¸c bµi tËp tù luyÖn.
C/. Néi dung chuyªn ®Ò.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
C¸c tÝnh chÊt:
Giao ho¸n:	 a + b = b + a; a.b = b.a
KÕt hîp: 	a + (b + c) = (a + b) + c; a.(b.c) = (a.b).c
Ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng vµ phÐp trõ:
a.(b+c) = a.b + a.c	 a.(b-c) = a.b - a.c
Mét sè trõ ®i mét tæng: a – (b+c) = a - b – c
Mét sè trõ ®i mét hiÖu: a – (b-c) = a - b + c
C«ng thøc vÒ d·y sè c¸ch ®Òu:
Sè sè h¹ng = (sè cuèi – sè ®Çu) : kho¶ng c¸ch + 1
Tæng = (sè cuèi + sè ®Çu). Sè sè h¹ng : 2
I/ Bµi tËp.
Bµi tËp 1: TÝnh b»ng c¸ch nhanh chãng.
a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763 	= 29 + (132 + 868) + (237 + 763)
= 29 + 1000 + 1000 = 2029
b, 652 + 327 + 148 + 15 + 73 = (652 + 148) + (327 + 73) + 15
= 700 + 400 + 15 = 1115
Bµi tËp 2: Thay c¸c ch÷ bëi c¸c ch÷ sè thÝch hîp. 
a, + + = 
=> + ==> 
=> a = 1 => b = 9 => c = 8 => 19 + 98 + 81 = 198 
b, + + a = 874
=> + + c = 874 
Do + c 874 ³ > 874 – 110 = 764 => a = 7 
=> + c = 874 – 777 = 97
Ta cã: 97 ³ > 97 – 10 = 87 => = 88 => c = 9
Ta ®­îc: 789 + 78 + 7 = 874
Bµi tËp 3: §iÒn c¸c sè tõ 1 ®Õn 9 vµo ma ph­¬ng 3 x 3 sao cho tæng c¸c hµng thø tù lµ 6 ; 16; 23 vµ tæng c¸c cét 14; 12;19 
Bµi tËp 4: 
Cho 9 sè 1; 3; 5; .....; 17 cã thÓ chia 9 sè ®· cho thµnh 2 nhãm sao cho:
a, Tæng c¸c sè nhãm I gÊp ®«i tæng c¸c sè nhãm II
a, Tæng c¸c sè nhãm I b»ng tæng c¸c sè nhãm II.
Gi¶i 
a, Cã thÓ: (chia hÕt cho 3)
Nhãm I: 1 + 3 + 5 + 13 + 15 + 17 = 54
Nhãm II: 7 + 9 + 11 = 27
b, Kh«ng v× tæng ®ã kh«ng chia hÕt cho 2.
Bµi tËp 5: T×m x biÕt:
a, 135 – (x + 37 ) = 80 	=> x + 37 = 135 – 80 
=> x + 37 = 55 
=> x = 55 – 37 = 18 
b, (x - 17) + 52 = 158 	=> x – 17 = 158 - 52
=> x – 17 = 106 
=> x = 106 + 17 = 123 
Bµi tËp 6: Mét phÐp trõ cã tæng cña sè bÞ trõ, sè trõ vµ hiÖu b»ng 490 hiÖu lín h¬n sè trõ lµ 129. T×m sè trõ vµ sè bÞ trõ.
Gi¶i 
SBT = a 	; ST = b; 	H = c
=> 	a – b = c 	(1)
a + b + c = 490 	(2)
c – b + c 129	(3)
(1) vµ (2) => a = 490 : 2 = 245 
(2) vµ (3) => a + 2c = 619 => c= 
=> b = 245 – 187 = 58
Bµi tËp 7 Thay dÊu * bëi c¸c ch÷ sè thÝch hîp **** - *** = **. BiÕt r»ng c¸c sè ®Òu kh«ng ®æi khi ®äc tõ ph¶i sang tr¸i hoÆc lµ tõ tr¸i sang ph¶i.
Gi¶i
 * * * 	=> ch÷ sè hµng ngh×n cña tæng lµ 1 => ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña 
 + * * tæng còng b»ng 1
 * * * * Ch÷ sè hµng tr¨m cña sè h¹ng thø nhÊt lµ 9 
	=> Ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè h¹ng thø nhÊt lµ 9
	=> ................
Bµi tËp 8:
Mét tr¨m sè tù nhiªn tõ 1 -> 100 chia thµnh 2 líp ch½n vµ lÎ 
a, Tæng c¸c sè cña 2 nhãm, nhãm nµo lín h¬n?
b, Tæng c¸c ch÷ sè cña 2 nhãm, nhãm nµo lín h¬n?
Gi¶i 
a) 1	3	5	7	9	....	99
 2	4	6	8	10	....	100
100
b) 	1	3	5	7	9	11	13	....	99
2	4	6	8	10	12	....	98 
Bµi tËp 9:
§em sè cã 4 ch÷ sè gièng nhau chia cho sè cã 3 ch÷ sè gièng nhau th× ®­îc th­¬ng lµ 16 vµ sè d­ lµ 1. NÕu sè bÞ chia vµ sè chia ®Òu bít ®i mét ch÷ sè th× th­¬ng kh«ng ®æi vµ sè d­ gi¶m 200 ®¬n vÞ, t×m c¸c sè ®ã? 
Gi¶i
 = 16 . + r 
 = 16 . + (r - 200)
Víi 200 £ r < 
Tõ 2 ®¼ng thøc => 1000 a = 1600 b + 200
=> 5a = 8b + 1 
=> a = 5 vµ b = 3
Bµi tËp 10: §Ó ®¸nh sè trong mét cuèn s¸ch cÇn dïng 1995 ch÷ sè 
a, Cuèn s¸ch ®ã cã bao nhiªu trang ? 
b, Ch÷ sè thø 1000 ë trang nµo vµ lµ ch÷ sè nµo? 
Gi¶i 
a) §Ó viÕt c¸c sè cã 1 ; 2 ch÷ sè cÇn 1 . 9 + 2 . 90 = 189 ch÷ sè
VËy sè trang lµ sè cã 3 ch÷ sè
Sè c¸c sè cã 3 ch÷ sè lµ 
Sè thø nhÊt cã 3 ch÷ sè lµ 100 . VËy sè thø 602 lµ 
100 + 602 – 1 = 701 
Cuèn s¸ch cã 701 trang 
b) Ch÷ sè thø 1000 thuéc sè cã 3 ch÷ sè (1000 – 189 = 811)
811 = 3 . 270 + 1 
Sè thø 270 lµ 100 + 270 – 1 = 369 
VËy ch÷ sè thø 1000 lµ ch÷ sè hµng tr¨m cña 370 (ch÷ sè 3)
Bµi tËp 11: Khi viÕt c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 100 th× 
a, ch÷ sè 0 ®­îc biÕt bao nhiªu lÇn ? (11 lÇn)
b, ch÷ sè 1 ®­îc biÕt bao nhiªu lÇn ? (21 lÇn)
c, ch÷ sè 2 ; 3 ®­îc biÕt bao nhiªu lÇn ? (20 lÇn)
Bµi tËp 12: Trong c¸c sè tù nhiªn tõ 100 ®Õn 10000 cã bao nhiªu sè mµ trong c¸ch viÕt cña chóng cã 3 ch÷ sè gièng nhau.
Gi¶i 
Lo¹i cã 3 ch÷ sè:	cã 9 sè 
Lo¹i cã 4 ch÷ sè:	
Cã 9 c¸ch chän; b cã 9 c¸ch chän vµ b cã 4 vÞ trÝ kh¸c.
=> cã 9 . 9 . 4 = 324 sè 
VËy cã 9 + 324 = 333 sè
Bµi tËp 13: 	a, TÝnh tæng cña c¸c sè tù nhiªn lÎ tõ 1 -> 999
b, ViÕt liªn tiÕp c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 999. TÝnh tæng c¸c ch÷ sè 
Gi¶i
a, Sè h¹ng cña d·y lµ: 
Tæng cña d©y lµ:
b, 999 lµ sè cã tæng c¸c ch÷ sè lµ 27 
Ta thÊy 	1 + 998 = 999 
	2 + 997 = 999
 ............
Cã 499 cÆp => Tæng c¸c ch÷ sè lµ 27.500 = 13500
Bµi tËp 14: Trong c¸c sè tù nhiªn cã 3 d·y sè. Cã bao nhiªu sè kh«ng chøa ch÷ sè 9 
Gi¶i
C¸c sè tù nhiªn ph¶i ®Õm cã d¹ng 
a cã 8 c¸ch chän tõ 1 -> 8 . b cã 9 c¸ch chän tõ 0 -> 8 
c cã 9 c¸ch chän tõ 0 -> 8
VËy cã: 8 . 9 . 9 = 648 (sè lÎ chøa ch÷ sè 9)
Luü thõa víi sè mò tù nhiªn
A/. Môc tiªu:
Häc sinh n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt vÒ luü thõa, vËn dông thµnh th¹o vµo trong gi¶i bµi tËp vÒ luü thõa.
VËn dông thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®æi vµo trong c¸c bµi tËp sè häc.
RÌn luyÖn cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t­ duy l« gic ãc ph©n tÝch tæng hîp.
B/. ChuÈn bÞ:
 Néi dung chuyªn ®Ò, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sö dông vµ c¸c bµi tËp tù luyÖn.
C/. Néi dung chuyªn ®Ò.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
1, §Þnh nghÜa: 
an = a . a ....a (a, n Î N ; n ³ 1 )
VÝ dô: 
23 = 2 . 2 . 2 = 8
5 . 5 . 5 = 53
Quy ­íc: a0 = 1 (a¹0)
2, Nh©n hai luü thõa cïng c¬ sè (chia)
a, am . an = am+n
b,	am : an = am-n	(a¹0 ; m ³ n )
VÝ dô: 
35 . 32 = 35+2 = 37
2 . 22 . 23 = 21+2+3 = 26
a2 : a = a42-1 = a (a¹0) 
139 : 135 = 134
3, Lòy thõa cña mét tÝch.
VÝ dô: TÝnh:
( 2 . 3)2 = (2 . 3) (2 . 3) = (2 . 2) (3 . 3) = 22 . 32
Tæng qu¸t: (a . b )n = an . bn
4, Luü thõa cña luü thõa.
VÝ dô: TÝnh (32)3 = 32 . 32 . 32 = 32.3 = 36
Tæng qu¸t: (am)n = am.n
VÝ dô: 93 . 32 = (32)3 . 32 = 36 . 33 . 38
= 93 . 9 = 94
6, Thø tù thùc hiÖn phÐp tÝnh.
N©ng luü thõa – Nh©n, chia – céng trõ.
7, So s¸nh 2 luü thõa.
a, Luü thõa nµo cã gi¸ trÞ lín h¬n th× lín h¬n.
23 vµ 32
23 = 8 ; 32 = 9 . V× 8 23< 32
b, Luü thõa cã cïng c¬ sè. Luü thõa nµo cã sè mò lín h¬n th× lín h¬n.
VÝ dô: 162 vµ 210
162 = (24)2 = 28
V× 228 162<210
c, Hai luü thõa cã cïng sè, luü thõa nµo cã c¬ sè lín h¬n th× lín h¬n.
VÝ dô: 23 < 33
So s¸nh: 272 vµ 46
272 = (33)2 = 36.V× 36 272< 46
II/. Bµi tËp 
Bµi tËp 1: ViÕt gän c¸c biÓu thøc sau b»ng c¸ch dïng luü thõa.
a, 3 . 3 . 3 . 4 . 4 = 33 . 42
b, a . a . a + b . b . b . b = a3+ b4
Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc.
a, 38 : 34 + 22 . 23 = 34 + 25 = 81 + 32 = 113
b, 3 . 42 – 2 . 32 = 3 . 16 – 2 . 9 = 30
c, 
d, 
e, = 
g, 
Bµi tËp 3: ViÕt c¸c tæng sau thµnh mét b×nh ph­¬ng 
a, 13 + 23 = 32
b, 13 + 23 + 33 = 42
c, 13 + 23 + 33 + 43 = 52
Bµi tËp 4: ViÕt kÕt qu¶ sau d­íi d¹ng mét luü thõa 
a, 166 : 42 = 166: 16 = 165
b, 178: 94= (33)8 : (32)8 : (32)4 = 324 : 38 = 316 
c, 1254 ; 253= (53)4 : (52)3 = 512. 56 = 56
d, 414 . 528 = (22)14 . 528= 228 . 528 = 1028
e, 12n: 22n = (3.4)n : (22)n = 3n . 4n : 4n = 3n
Bµi tËp 5: T×m x Î N biÕt 
a, 2x . 4 = 128 => 2x = 32 => 2x = 25=> x = 5
b, x15 = x => x = 0
 x = 1
c, (2x + 1)3 = 125 => (2x + 1)3 = 53
=> 2x + 1 = 5 => 2x = 4 => x = 2
d, (x – 5)4 = (x - 5)6 	=> x – 5 = 0 	=> x = 5
	 x – 5 = 1 	x = 6
Bµi tËp 6: So s¸nh: 
a, 3500 vµ 7300 	3500 = 35.100 = (35)100 = 243100
	7300 = 73.100 . (73 )100 = (343)100
V× 243100 3500 < 7300 	
b, 85 vµ 3 . 47 . 85 = (23)+5 = 215 <3.214 = 3.47
=> 85 < 3 . 47
d, 202303 vµ 303202
202303 =(2023)201	 ; 303202 = (3032)101
 Ta so s¸nh 2023 vµ 3032
2023 = 23. 101 . 1013 vµ 3032	=> 3032 < 2023
3032 = 33. 1012 = 9.1012 
VËy 303202 < 2002303
e, 321 vµ 231
321 = 3 . 3 20 = 3. 910 ; 231 = 2 . 230 = 2 . 810
3 . 910> 2 . 810 => 321 > 231 
g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660
371320 = (372)660 = 1369660
V× 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979 
Bµi tËp 7: T×m n Î N sao cho:
a) 50 < 2n < 100	b) 50<7n < 2500
Bµi tËp 8: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc
a) 
b) (1 + 2 ++ 100)(12 + 22 +  + 102)(65 . 111 – 13 . 15 . 37)
Bµi tËp 9: T×m x biÕt:
a) 2x . 7 = 224	b) (3x + 5)2 = 289
c) x. (x2)3 = x5	d) 32x+1 . 11 = 2673
Bµi tËp 10: Cho A = 1 + 2 + 22 +  +230
ViÕt A + 1 d­íi d¹ng mét lòy thõa
Bµi tËp 11: ViÕt 2100 lµ mét sè cã bao nhiªu ch÷ sè khi tÝnh gi¸ trÞ cña nã.
Bµi tËp 12: T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt:
- Tæng c¸c ch÷ sè cña nã kh«ng nhá h¬n 7
- Tæng c¸c b×nh ph­¬ng c¸c ch÷ sè cña nã kh«ng lín h¬n 30
- Hai lÇn sè ®­îc viÕt bëi c¸c ch÷ sè cña sè ph¶i t×m nh­ng theo thø tù ng­îc l¹i kh«ng lín h¬n sè ®ã.
Bµi tËp 13: T×m sè tù nhiªn biÕt (a + b + c)3 = (a ¹ b ¹ c)
Bµi tËp 14: Cã hay kh«ng sè tù nhiªn 
(a + b + c + d)4 = 
CHÖÕ SOÁ TAÄN CUØNG CUÛA MOÄT TÍCH, MOÄT LUÕY THÖØA
1. Trong thöïc teá nhieàu khi ta khoâng caàn bieát giaù trò cuûa moät soá maø chæ caàn bieát moät hay nhieàu chöõ soá taän cuøng cuûa noù. Chaúng haïn, khi so xoå soá muoán bieát coù truùng nhöõng giaûi cuoái hay khoâng ta chæ caàn so 2 chöõ soá cuoái cuøng. Trong toaùn hoïc, khi xeùt moät soá coù chia heát cho 2, 4, 8 hoaëc chia heát cho 5, 25, 125 hay khoâng ta chæ caàn xeùt 1, 2, 3 chöõ soá taän cuøng cuûa soá ñoù (xem § 10).
2. Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa tích.
- Tích caùc soá leû laø moät soá leû.
- Ñaëc bieät, tích cuûa moät soá leû coù taän cuøng laø 5 vôùi baát kì soá leû naøo cuõng coù chöõ soá taän cuøng laø 5. 
- Tích cuûa moät soá chaün vôùi baát kì moät soá töï nhieân naøo cuõng laø moät soá chaün.
Ñaëc bieät, tích cuûa moät soá chaún coù taän cuøng laø 0 vôùi baát kì soá töï nhieân naøo cuõng coù chöõ soá taän cuøng laø 0.
3. Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa moät luyõ thöøa. 
 - Caùc soá töï nhieân coù taän cuøng baèng 0, 1, 5, 6 khi naâng leân luyõ thöøa baát kì 
( khaùc 0 ) vaãn giöõ nguyeân chöõ soá taän cuøng cuûa noù.
- Caùc soá töï nhieân taän cuøng baèng nhöõng chöõ soá 3, 7, 9 khi naâng leân luyõ thöøa 4n ñeàu coù taän cuøng laø 1.
...34n = ...1;	...74n = ...1;	94n = ...1
- Caùc soá töï nhieân taän cuøng baèng nhöõng chöõ soá 2, 4, 8 naâng leân luõy thöøa 4n (n ≠ 0) ñeàu coù taän cuøng laø 6.
...24n = ...6 ;	...44n = ...6 ;	84n = ...6
( Rieâng ñoái vôùi caùc soá töï nhieân coù chöõ soá taän cuøng laø 4 hoaëc 9, naâng leân luõy thöøa leû ñeàu coù chöõ soá taän cuøng baèng chính noù; naâng leân luõy thöøa chaün coù chöõ soá taän cuøng laàn löôït laø 6 vaø 1).
4. Moät soá chính phöông thì khoâng coù taän cuøng baèng 2, 3, 7, 8.
Thí duï 1:
Cho A = 51n + 47102 (n є N).
Chöùng toû raèng A chia heát cho 10.
Giaûi:
51 n =  1
47102 = 47100 . 472 = 474.25 . 472 =  1 ×  9 =  9.
Vaäy A =  1 +  9 =  0 ;	Vaäy A chia heát cho 10.
Thí duï 2: Ta ñaõ bieát ngoaøi döông lòch, AÂm lòch ngöôøi ta coøn ghi lòch theo heä ñeán CAN CHI, chaúng haïn Nhaâm Ngoï, Quyù Muøi, Giaùp Thaân,  Chöõ thöù nhaát chæ haøng CAN cuûa naêm. Coù 10 can laø:
Haøng can
Giaùp
Aát
Bính
Ñinh
Maäu
Kæ
Canh
Taân
Nhaâm
Quyù
Maõ soá
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 (0)
Muoán tìm haøng CAN cuûa moät naêm ta duøng coâng thöùc ñôn giaûn sau ñaây roài ñoái chieáu keát quaû vôùi baûng treân:
Haøng CAN = Chöõ soá taän cuøng cuûa naêm döông lòch _ 3
 (Neáu chöõ soá taän cuøng cuûa naêm döông lòch nhoû hôn 3 thì ta möôïn theâm 10). 
Baây giôø baïn haûy tìm haøng CAN cuûa caùc naêm Ngoï quan troïng trong lòch söû giaønh ñoäc laäp cuûa daân toäc ta trong theá kæ XX ñoù laø naêm 1930 naêm Ñaûng CSVN ra ñôøi vaø naêm 1954 chieán thaéng Ñieän Bieân Phuû. 
Giaûi : 10 _ 3 = 7 CANH ; 1930 laø naêm CANH NGOÏ
 4 _ 3 = 1 GIAÙP ; 1954 laø naêm GIAÙP NGOÏ
BAØI TAÄP
1. Nöôùc Vieät Nam daân chuû coäng hoøa ra ñôøi sau caùch maïng thaùng Taùm naêm 1945, ñoù laø moät naêm Daäu. Haõy tìm haøng CAN cuûa naêm Daäu ñoù. 
2. Em tuoåi gì ? Tìm haøng CAN cuûa tuoåi ñoù. 
3. Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa caùc soá sau :
7430 ; 4931 ; 9732 ; 5833 ; 2335 .
4. Tìm hai chöõ soá taän cuøng cuûa caùc soá sau 5n ( n > 1 ). 
5. Chöùng toû raèng caùc toång, hieäu sau khoâng chia heát cho 10.
 a) A = 98 . 96 . 94 .92 _ 91 . 93 . 95 . 97
 b) B = 405n + 2405 + m2 (m,n є N ; n ≠ 0).
6. Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa caùc soá sau :
 a) 234567 ; b) 579675
7. Tích caùc soá leû lieân tieáp coù taän cuøng laø 7. Hoûi tích ñoù coù bao nhieâu thöøa soá ? 
Tích A = 2 . 22. 23 ....210 x 52 . 54 . 56 514 taän cuøng baèng bao nhieâu chöõ soá 0 ? 
8*. Cho S = 1 + 31 + 32 +33 +  + 330.
 Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa S, töø ñoù suy ra S khoâng phaûi laø soá chính phöông.
C¸c dÊu hiÖu chia hÕt
A/. Môc tiªu:
Häc sinh n¾m v÷ng c¸c tÝnh chÊt chia hÕt vµ c¸c tdÊu hiÖu chia hÕt vµo trong gi¶i bµi tËp.
VËn dông thµnh th¹o c¸c phÐp biÕn ®æi vµo trong c¸c bµi tËp sè häc.
RÌn luyÖn cho häc sinh thãi quen tù ®äc s¸ch, t­ duy l« gic ãc ph©n tÝch tæng hîp.
B/. ChuÈn bÞ:
 Néi dung chuyªn ®Ò, kiÕn thøc c¬n b¶n cÇn sö dông vµ c¸c bµi tËp tù luyÖn.
C/. Néi dung chuyªn ®Ò.
I/ KiÕn thøc c¬ b¶n.
C¸c tÝnh chÊt chia hÕt:
a M m vµ b M m => (a + b) M m
a kh«ng chia hÕt cho m vµ b M m => (a + b) kh«ng chia hÕt cho m
C¸c dÊu hiÖu chia hÕt.
DÊu hiÖu chia hÕt cho 2; 5; 3; 9; 4; 25; 8; 125; 11
3) T×m d­ cña mét sè khi chia cho
T×m sè d­ khi chia cho 5-3-9-4-25-8-125
II/. Bµi tËp:
Bµi tËp 1: Tæng c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 154 cã chia hÕt cho 2 kh«ng? cho 5 kh«ng?
11935 
Bµi tËp 2: Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè chia hÕt cho 5 ch÷ sè hµng ngh×n lµ 6, c¸c ch÷ sè hµng tr¨m vµ hµng trôc b»ng nhau.
20
Bµi tËp 3: Cho 	A= 119 + 118 ++ 11 + 1. Chøng minh r»ng A 5
B= 2 + 22 + 23 +.+ 220 . Chøng minh r»ng B 5
Bµi tËp 4: Trong c¸c sè tù nhiªn nhá h¬n 1000. Cã bao nhiªu sè chia hÕt cho 2 nh­ng kh«ng chia hÕt cho 5 ?
Gi¶i: 
+ Sè chia hÕt cho 2 lµ: + 1 = 500 (sè)
+ Sè chia hÕt cho 2 vµ cho 5 lµ: + 1 = 100 (sè)
VËy cã 400 sè tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi.
Bµi tËp 5: T×m 2 STN liªn tiÕp cã 2 c/s biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho 4 mét sè chia hÕt cho 25.
(24; 25); (75; 76)
Bµi tËp 6: Dïng 10 c/s kh¸c nhau viÕt thµnh sè cã 10 c/s chia hÕt cho 4 sao cho.
a- Lín nhÊt	b- Nhá nhÊt
9876543210	1023457896
Bµi tËp 7: CMR
a- 1050 + 5 chia hÕt cho 3 vµ 5
b- 1025 + 26 chia hÕt cho 9 vµ 2.
Bµi tËp 8: T×m sè cã 4 ch÷ sè biÕt r»ng ch÷ sè hµng ngh×n lµ 9 vµ sè ®ã chia hÕt cho 2; 4 ; 5 vµ 9
Gi¶i:
Gäi sè ph¶i t×m lµ 
b = 0	a = 0
=> c = 0 	b = 2 	a = 7
b = 4	a = 5
b = 6	a = 3
b = 8	a = 1
Bµi tËp 9: T×m c¸c ch÷ sè a vµ b sao cho a – b = 4 vµ 3
a =6 => b = 2
a =6 => b = 2
Bµi tËp 10: Ph¶i thay x bëi ch÷ sè nµo ®Ó
a) 113 + x chia hÕt cho 7 (x = 6)
b) 113 + x chia hÕt cho 7 d­ 5 (x = 4)
c) 7 (x = 3)
Bµi tËp 11: Víi x; y; z Î Z . CMR 	(100x + 10y + z) 21
ó (x –2y + 4z) 21
Gi¶i 
XÐt hiÖu 100x + 10y + z) – 16 (x –2y + 4z) = 48x + 42y – 63z 21
Bµi tËp 12:	CMR: "n Î N ta cã 2.7n + 1 3
Gi¶i:
Víi 	n = 2b => 2.7n + 1 = 2.49b + 1 º 0 (mod 3)
n = 2b + 1=> 2.7n + 1 = 14.49b + 1 º 0 (mod 3)
Bµi tËp 13:
Cã hay kh«ng mét sè nguyªn d­¬ng lµ béi cña 2003 mµ cã 4 ch÷ sè tËn cïng lµ 2004 ?
Gi¶i 
Cã: XÐt d·y sè 	2004	Theo Dirkhlª cã 2 sè cã cïng sè
20042004	d­ khi chia cho 2003. VËy hiÖu
 2004 	Chóng chia hÕt cho 2003
20042004
HiÖu cã d¹ng: 10k. 20042004 2003
Mµ (10k:2003) = 1 	=> ®pcm./.
Bµi tËp 14:	CMR tån t¹i b Î N* sao cho: 2003b- 1 105
Gi¶i:
XÐt d·y sè: 2003 
200322003+1
Theo Dirichlª tån t¹i 2 sè cã cïng sè d­ khi chia cho 105 
HiÖu cña chóng cã d¹ng 2003m(2003b - 1) 105
Mµ (2003m: 105) = 1 => 2003b – 1 105
Sè chÝnh ph­¬ng
A/. Môc tiªu:
Häc sinh n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt cña sè chÝnh ph­¬ng vµo trong gi¶i bµi tËp.
VËn dông thµnh th¹o c¸c phÐp