Chuyên đề Tổ hợp và xác suất

I. CÁC PHÉP TOÁN VỀ GIAI THỪA.
1. Định nghĩa
	.	.	.
2. Các tính chất
	@ .
	@ 
	@ 	().
VD 01: Rút gọn các biểu thức
	a) .	b) 
VD 02: Giải các phương trình
	a) 	b) .
BÀI TẬP
1. Rút gọn các biểu thức
 a) .	b) .	c) .	
 d) .	e) .	f) 
2. Giải các phương trình, bất phương trình sau
 a) .	b) 	.	c) .
 d) .	e) .	f) .
 g) .	h) 	().
Chú ý: Các nghiệm phải là số tự nhiên.
3. Chứng minh các bất đẳng thức sau
 a*) .	b) .	c) .
 d) 	(). 	e) 
	Chú ý: Ta thường dùng bất đẳng thức Côsi, phương pháp quy nạp toán học và cách làm trội (,) để chứng minh các bất đẳng thức.
II. CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN.
1. Quy tắc cộng
	Giả sử có hai công việc, việc thứ nhất làm bằng n cách, việc thứ hai làm bằng m cách và nếu hai việc này không thể thực hiện đồng thời, khi đó sẽ có n + m cách làm một trong hai việc trên.
	Tổng quát: Nếu có n tập đôi một không giao nhau. Khi đó:
VD 03: Khối 12 có 81 học sinh nam, khối 11 có 72 học sinh nữ. Cần chọn hoặc là 1 học sinh nam của khối 12 hoặc là 1 học sinh nữ của khối 11 làm đại biểu trong hội đồng nhà trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này?
VD 04: Một thư viện có 20 đầu sách Toán, 15 đầu sách Lý, 35 đầu sách Hóa từ thư viện. Hỏi có bao nhiêu cách để học sinh mượn một quyển sách từ thư viện.
2. Quy tắc nhân
	Giả sử một người đi từ thành phố A đến thành phố C phải đi qua thành phố B. Từ A đến B có 5 đường, từ B đến C có 3 đường. Nhận thấy có 5.3 = 15 cách để đi từ A đến C.
	Tổng quát: Một hành động H được thực hiện theo nhiều giai đoạn H1, H2, , Hn. Mỗi giai đoạn tương ứng có n1, n2, n3, , nn cách thực hiện. Khi đó ta có n1.n2.n3nn cách thực hiện hành động H.
VD 05: Có 4 cây cầu I, II, III, IV nối bờ sông E và F. một người đi từ E sang F và quay về. Có bao nhiêu cách để người đó đi và về trên hai cây cầu khác nhau?
3. Nguyên lý bù trừ
	Khi hai công việc làm đồng thời mà có sự trùng lặp chúng ta không thể sử dụng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc. Đó là nguyên lý bù trừ.
VD 06: Một lớp Toán có 25 sinh viên giỏi Tin học, 13 sinh viên giỏi Toán, 8 sinh viên giỏi cả Toán và Tin. Hỏi trong lớp có bao nhiêu sinh viên nếu mỗi sinh viên giỏi Toán hoặc Tin hoặc giỏi cả hai môn?
VD 07: Giả sử trong trường bạn có 1807 sinh viên năm thứ nhất. Trong số này có 453 sinh viên chọn môn Tin học, 567 sinh viên chọn môn Toán học và 299 sinh viên học cả hai môn Toán và Tin. Hỏi có bao nhiêu sinh viên không học Toán cũng không học Tin?
BÀI TẬP
1. Một biển số xe có dạng XXYX XXXX, trong đó X là các số từ 0 đến 9, Y là chữ cái trong 26 chữ cái. Hỏi có bao nhiêu biển số xe có thể lập?
2. Có bao nhiêu dãy gồm 6 kí tự, mỗi kí tự hoặc là một chữ cái (trong 26 chữ cái) hoặc là một số (trong 10 số từ 0 đến 9)?
3. Từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
 a) Có 4 chữ số?
 b) Có 4 chữ số khác nhau?
 c) Có 4 chữ số mà số tự nhiên là số chẵn?
4. Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính đều có mật khẩu dài từ 6 đến 8 kí tự. Trong đó mỗi kí tự là một chữ hoa hay chữ số. Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất một chữ số. Hỏi có bao nhiêu mật khẩu?
5. Có tất cả mấy số có thể thành lập với các chữ số 2, 4, 6, 8 nếu:
 a) Số đó nằm từ 200 đến 600.
 b) Số đó gồm 3 số.
 c) Số đó gồm 3 số khác nhau.
6. Từ thành phố HCM đến thành phố Vũng Tàu có hai công ty xe khách A và B. Công ty A có 5 xe khách khác nhau, công ty B có 6 xe khách khác nhau. Một người đi bằng xe của công ty này và về bằng xe của công ty kia. Hỏi có mấy cách đi và về như vậy?
7. Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Lấy ra 3 chữ số khác nhau để thành lập một số M.
 a) có bao nhiêu số có thể tạo được?
 b) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 400?
 c) Có bao nhiêu số chẵn?
8. Một túi bi có chứa 10 bi xanh và 5 bi đỏ. Một người rút ra 2 bi. Hỏi có bao nhieu cách khác nhau để được 1 bi xanh và 1 bi đỏ?
9. Gieo 1 con xúc xắc gồm 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có bao nhiêu trường hợp xảy ra nếu gieo 3 lần.
10. Trong mặt phẳng có n điểm không thẳng hàng. Hỏi có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 trong n điểm trên.
III. HOÁN VỊ.
	Cho tập hợp A có n phần tử (). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ta được hoán vị các phần tử của tập A gọi tắt tắt là một hoán vị của A
	Kí hiệu: 
VD 08: Tập thì có cách sắp xếp 3 phẩn tử a, b, c của tập A theo thứ tự. Các cách sắp xếp đó là .
VD 09: Cho tập . Có bao nhiêu cách sắp xếp các phần tử của tập B theo một thứ tự?
VD 10: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
Lưu ý: Để nhận dạng bài toán hoán vị của n phần tử ta thường dùng các dấu hiệu đặc trưng là: n phần tử đều phải có mặt, mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần, có thứ tự giữa các phần tử.
BÀI TẬP
1. Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các số 1, 2, 3, 4. Hỏi có bao nhiêu số
 a) Được tạo thành.
 b) Bắt đầu bằng chữ số 3.
 c) Không bắt đầu bằng chữ số 4.
2. Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập nên từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số
 a) Bắt đầu bằng số 5.
 b) Không bắt đầu bằng số 1.
 c) Bắt đầu bằng 23.
 d) Không bắt đầu bằng 345.
 e) là số lẻ.
 f) Là số chẵn.
3. Tập A có thể có bao nhiêu phần tử nếu số các hoán vị của các phần tử của A không vượt quá
 a) 500.
 b) 1000.
4. Với 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau lớn hơn 300’000?
5. Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh 1 bàn tròn?
Chú ý: Xếp n phần tử thành một vòng tròn gọi là một hoán vị vòng tròn của n phần tử đó. Số hoán vị vòng của n phần tử là (n –1)!
6. Một khách du lịch định đi tham quan tại 8 thành phố. Người này bắt đầu tại một thành phố nào đó. Hỏi người này có thể đi tất cả các thành phố trên theo bao nhiêu lộ trình khác nhau?
7. Cho tập E gồm các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
 a) Có bao nhiêu số phân biệt lập từ tập E.
 b) Có bao nhiêu số phân biệt lập từ tập E trong đó ba số 3, 4, 5 luôn đứng cạnh nhau.
 c) Có bao nhiêu số phân biệt lập từ tập E bắt đầu bằng 123.
8. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
 a) 	b) 	c) 
 d) 	e) 	f) 
IV. CHỈNH HỢP.
	Cho tập E là một tập hợp gồm n phần tử riêng biệt. Bộ r phần tử phân biệt () của E, có kể thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập r của n phần tử. Kí hiệu: .
	Từ định nghĩa ta có: 	; 	.
Lưu ý: Để nhận dạng bài toán chỉnh hợp khi gặp các tình huống: phải chọn r phần tử từ n phần tử, sắp thứ tự r phần tử đó.
VD 11: Rút gọn biểu thức
	a) ;	b) .
VD 12: Giải các phương trình
	a) ;	b) .
VD 13: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?
BÀI TẬP
1. Tìm giá trị của các đại lượng sau:
 a) ;	b) ;	c) .
2. Giải các phương trình sau:
 a) ;	b) ;	c) ;
 d) ;	e) ;	f) ;
 g) ;	b) .
3. Chứng minh: .
4. Với 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau.
5. Phải bầu một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ trong lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách bầu.
6. Có bao nhiêu số có các chữ số khác nhau có thể lập thành từ các số 2, 4, 6, 8.
7. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số
 a) mỗi số gồm năm chữ số khác nhau
 b) mỗi số gồm năm chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
8. Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau.
9. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Hỏi có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 với điểm gốc và điểm ngọn thuộc tập 4 điểm trên.
10. Với các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.
V. TỔ HỢP.
	Cho E là tập hợp gồm n phần tử phân biệt. Một tập con của E gồm n phần tử phân biệt (), được gọi là một tổ hợp chập r của n phần tử (r phần tử không kể thứ tự). Kí hiệu: .
	Từ định nghĩa ta có: 	;	;
;	.
Lưu ý: Để sử dụng bài toán tổ hợp khi: Cần chọn ra từ một tập E có n phần tử một tập con có r phần tử, và tập con có r phần tử đó không quan tâm đến thứ tự của các phần tử.
VD 14: Rút gọn biểu thức .
VD 15: Chứng minh
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
VD 16: Giải các phương trình
	a) ;	b) 
VD 17: Tìm số k sao cho các số lập thành cấp số cộng.
VD 18: Trong mặt phẳng có n điểm không thẳng hàng. Hỏi:
	a) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 trong n điểm trên.
	b) Có thể kẻ được bao nhiêu tam giác từ n điểm trên.
BÀI TẬP
1. Tìm giá trị các đại lượng.
 a) ;	b) ;	c) .
2. Giải các phương trình, bất phương trình.
 a) ;	b) ;	c) ;
 d) ;	e) ;	f) ;
 g) ;	h) ;	i) ;
 j) ;	k) ;	l) ;
 m) ;	n) 
3. Giải hệ phương trình: .
4. Trong mặt phẳng có 6 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.
 a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm trong 6 điểm trên.
 b) Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc 6 điểm trên.
5. Các đa giác sau có bao nhiêu đường chéo:
 a) Ngũ giác lồi.
 b) n giác lồi.
6. Một bộ đề thi gồm 15 câu hỏi. Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu.
 a) Có bao nhiêu khả năng có thể sảy ra.
 b) Tham dự kì thi có 2800 thí sinh. Chứng tỏ chắc chắn có ít nhất 3 thí sinh gặp cùng 1 đề thi (gồm 4 câu).
7. Một lớp gồm 40 học sinh với 20 nam và 20 nữ. Thầy giáo muốn chia lớp thành 4 tổ, mỗi tổ có 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ.
8. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Cần chọn 4 em vào ban cán sự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
 a) Số nam hoặc nữ trong ban là tùy ý.
 b) Phải có 1 nam và 3 nữ.
 c) Phải có 2 nam và 2 nữ.
 d) Phải có ít nhất là 1 nam.
9. Từ 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú. có bao nhiêu cách thành lập một nhóm 6 người trong đó:
 a) Có đúng 2 nữ.
 b) Có ít nhất 2 nữ.
10. Có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 5 chữ số khác nhau.
11. Chứng minh rằng:
 a) ;	b) ; 	c) ;
 d) ;	e) .
12. Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để có số đường chéo là 35.
VI. BÀI TOÁN ĐẾM.
Đếm các chữ số thỏa mãn tính chất k hình thành từ một tập.
1. Cho tập . Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ tập E, sao cho:
 a) Các chữ số đều khác nhau.
 b) Chữ số đầu tiên là chữ số 3.
 c) Không tận cùng bằng chữ số 4.
2. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập và là số lẻ.
3. Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 5 chữ số lấy từ các số trên và
 a) Là số chắn.
 b) Trong đó có chữ số 7.
 c) Trong đó có chữ số 7 và số hàng nghìn luôn là số 1.
4. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số:
 a) Phân biệt.
 b) Không bắt đầu bằng chữ số 1.
 c) Không bắt đầu bằng 123.
5. Với các chữ số 1, 2, 5, 7, 8. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt và thỏa mãn:
 a) Là số chẵn.
 b) Là một số nhỏ hơn hoặc bằng 278.
 c) Là một số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278.
6. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau.
7. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được bao nhiêu chữ số 
 a) Gồm 5 chữ số phân biệt.
 b) Gồm 5 chữ số phân biệt và là số chẵn.
 c) Gồm 5 chữ số phân biệt và có chữ số 0.
 d) Gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
 e) Gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần và các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần.
8. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một
 a) Là số chẵn.
 b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1.
9. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và thỏa mãn điều kiện:
 a) nhỏ hơn 40’000.
 b) nhỏ hơn 45000.
10. Có bao nhiêu số với các chữ số phân biệt nhỏ hơn 10’000.
Đếm phương án.
11. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư lên 3 bì thư đã chọn. 1 bì thư chỉ dán 1 tem thư. Có bao nhiêu cách làm như vậy?
12. Một ban chấp hành thanh niên có 11 người, trong đó có 7 nam, 4 nữ. Muốn chọn 1 ban thường trực 3 người, trong đó phải có ít nhất 1 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ban thường trực?
13. Trong 100 vé số có 2 vé trúng thưởng. Nếu mua 12 vé thì có bao nhiêu trường hợp
 a) Không vé nào trúng thưởng.
 b) Có ít nhất 1 vé trúng thưởng.
 c) Có đúng 1 vé trúng thưởng.
14. Người ta muốn thành lập một tổ công tác gồm 4 nam, 3 nữ có thể chọn trong 7 nam, 10 nữ, trong đó có anh Bình, chị An.
 a) Có bao nhiêu cách thành lập tổ?
 b) Có bao nhiêu cách thành lập tổ mà anh Bình và chị An không ở cùng một tổ?
15. Trong một hộp có chứa 100 sản phẩm có 90 sản phẩm đạt yêu cầu và 10 sản phẩm không đạt yêu cầu. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 10 sản phẩm.
 a) Có bao nhiêu kết quả khác nhau?
 b) Có bao nhiêu bộ 10 sản phẩm trong đó 8 sản phẩm đạt yêu cầu?
Các bài toán khác.
16. Các số sau có bao nhiêu ước số?
 a) 210.
 b) 1638.
 c) 2310.
17. Tính số hoán vị của 4 chữ số 1, 2, 3, 4 và tính tổng của tất cả các số tạo bởi hoán vị đó.
18. Tính số hoán vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chứng minh rằng tổng của tất cả các số tạo bởi hoán vị đó chia hết cho 7 và chia hết cho 3. 
LUYỆN TẬP
1. Từ 7 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
2. Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có 5 chữ số sao cho trong mỗi chữ số đó mỗi chữ số trên có mặt một lần.
3. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600’000.
4. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1.
5. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu chữ số như thế nếu:
 a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau.
 b) Các chữ số được xếp tùy ý.
6. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9.
7. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.
8. Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
9. Có 12 chiếc bánh ngọt khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chúng vào 6 chiếc hộp giống nhau, mỗi chiếc hộp có 2 chiếc bánh.
10. Một tổ sinh viên có 20 em, trong đó có 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em biết tiếng Pháp, 5 em biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thức tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp, 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm.
11. Một chi đoàn có 20 đoàn viên, trong đó có 10 nữ. Tổ công tác có 5 người. Có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần ít nhất là 10 nữ.
12. Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam. Người ta muốn chọn ra một ban điều hành gồm 3 học sinh.
 a) Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành.
 b) Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có 1 nam và 2 nữ.
 c) Có bao nhiêu cách chọn ban điều hành có ít nhất 1 nam.
13. Một tổ học sinh gồm 10 người (trong đó có 2 nữ) vào ngồi 10 chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Hỏi 
 a) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi khác nhau.
 b) Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi khác nhau để 2 bạn nữ ngồi cạnh nhau.
14. Có 5 nhà Toán Học nam, 3 nhà Toán Học nữ và 4 nhà Vật Lý nam. Lập một đoàn công tác có 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả Toán Học lẫn Vật Lý. Hỏi có bao nhiêu cách.
15. Từ các chử số 1, 2, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
 a) Có 4 chữ số. 
 b) Có 5 chữ số khác nhau.
 c) Có vận động viên chạy thi. Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra với các vị trí nhất nhì ba (không kể truờng hợp hai người cùng về đích một lúc).
16. Trong mặt phẳng cho n điểm không thẳng hàng. 
 a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc 2 trong n điểm trên.
 b) Có bao nhiêu vectơ khác o mà điểm đầu và điểm cuối thuộc 2 trong n điểm trên.
17. Trong ban chấp hành gồm 7 người cần chọn 3 người vao ban thường vụ
 a) Có bao nhiêu cách chọn (không phân biệt chức vụ)
 b) Cần chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên thì có bao nhiêu cách chọn.
18. Một cuộc thi có 15 người và không có 2 người nào bằng điểm nhau.
 a) Cần chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả.
 b) Cần chọn ra các giải nhất nhì ba thì có bao nhiêu kết quả.
19.Một tổ có 8 nam 2 nữ. Cần chọn ra 5 người có ít nhất 1 nữ thì có bao nhiêu cách.
20. Một nhóm co 7 nam 3 nữ cần chọn 5 em không có quá 1 em nữ thì có bao nhiêu cách.
21. Tính tổng: .
22. Giải các phương trình, bất phương trình sau:
 a) ;	b) ;	c) .
VII. NHỊ THỨC NEWTON.
	Công thức nhị thức Newtơn: 	
	 =.
	Hệ quả:	
	 (với x = 1)
VD 19: Thực hiện các khai triển
	a) ;	b) .
VD 20: Tính giá trị các biểu thức sau
	a) ;	b) .
BÀI TẬP
1. Tính giá trị các biểu thức
 a) ;	b) .
2. Tìm hệ số của trong khai triển của biểu thức .
3. Tìm hai số chính giữa của khai triển .
4. Chứng minh rằng:
 a) ;	b) .
5. Xét khai triển 
 a) Hãy viết số hạng thứ (k+1) của khai triển.
 b) Số hạng nào trong khai triển không chứa x.
LUYỆN TẬP
1. Chứng minh rằng: 
 a) ;	b) ;
 c) ;	d) ;
 e) ;	f) .
2. Cho khai triển 
 a) Tính hệ số .
 b) Tính tổng .
 c) Tính tổng .
3. Tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển .
4. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng 36. Tìm số hạng thứ 7.
5. Trong khai triển nhị thức . Tìm số hạng không phụ thuộc x, biết: .
6. Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng .
7. Tìm số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển .
8. Tìm hệ số lớn nhất của khai triển .
ÔN TẬP
1. 
VIII. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP CÓ LẶP LẠI
BÀI TẬP
LUYỆN TẬP
(tuyển tập các bài tập cơ bản và nâng cao) VIII
1. 
ÔN TẬP
(tuyển tập lại các bài cơ bản, các đề thi tốt nghiệp, đại học – cao đẳng)