Chuyên đề: Tổ hợp

Chuyên đề : Tổ hợp
Mục tiêu:
 Ôn lại kiến thức về quy tắc cộng, quy tắc nhân,hoán vị, tổ hợp,chỉnh hợp.Nhằm củng cố lí thuyết về tổ hợp.
A.Lý thuyết:
 1.Quy tắc cộng ,quy tắc nhân.
 2.Hoán vị ,chỉnh hợp ,tổ hợp.
	-Số hoán vị: , Đk: n
	-Số chỉnh hợp: (k thừa số)
	Đk: n,k .
	-Số tổ hợp: đk: n,k .
	-Giai thừa: đk: .
3.Một số công thức liên hệ:
	 , 	, , 
4.Công thức nhị thức Niu Tơn:
	a.Khai triển: 
	b.Tính chất: -Trong khai triển có n+1 số hạng.
	-Số hạng tổng quát thứ k+1 là .
	-Khai triển đặc biệt: 	 
B.Bài tập:
	Dạng 1:Lớp bài toán chọn
Lưu ý: -Quan tâm đến điều kiện các chữ số có khác nhau hay không.
	 -Đối với tập số có xuất hiện số 0 cần lưu ý khi chọn chữ số đầu.
 -Đối với bài toán yêu cầu lập số có tính chất đặc biệt cần ưu tiên chọn trước.
Bài 1:Cho các số :1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đk:
	a.Có 5 chữ số.
	b.Có 6 chữ số khác nhau.
	c. Có 4 chữ số khác nhau chẵn.
Giải: 
a.Giả sử số cần tìm có dạng: 
Chọn a1 từ tập số đã cho có 6 cách chọn, ứng với mỗi cách chọnđó có 6 cách chọn a2.Tương tự có 6 cách chọn a3,a4,a5,a6.
Theo quy tắc nhân có :56 các số thoả mãn yêu cầu.
b.Số các chữ số cần tìm là số hoán vị của 6 phần tử :P6=6!=720(số)
c.Giả sử số cần tìm có dạng: 
-Chọn a4 chẵn có 3 cách chọn .
-Số cách chọn các số còn lại là: 
-Theo quy tắc nhân có: 3.60=180
Bài 2:Cho các số :0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đk:
	a.Có 5 chữ số khác nhau.
	b.Có 4 chữ số khác nhau,chẵn.
	c. Có 5 chữ số khác nhau chẵn nhất thiết có mặt số 3.
	d.Có 8 chữ số thoả mãn số 1 có mặt 2 lần các số khác có mặt đúng 1 lần.
Giải: 
	a.Số các chữ số cần tìm là: 6. (số)
	b.Giả sử số cần tìm có dạng: 
	-TH1: a4 là số 0 thì số các số cần tìm là: (số)
-TH2:a4 chẵn khác 0: có 3 cách chọn
	Chọn a1khác 0 có 5 cách chọn, chọn a2,a3 có cách chọn.
Vậy có tất cả 3.5.=450 (số)
Theo quy tắc cộng có tất cả:120+450=570(số)
c.Theo phần a có 2160 số có 5 chữ số khác nhau (gồm 2 loại: có số 3 và không có số 3).trong đó số không có mặt chữ số 3 là: 5 (số)
Vậy số có 5 chữ số khác nhau có mặt số 3 là:2160-600=1560(số)
d.Vì số 1 có mặt 2 lần nên ta có thể viết lại tập số dưới dạng:0,1a1b2,3,4,5,6.
Lập số có 8chữ số khác nhau từ tập số trên có:7.P7=35280(số)
Trong các số trên do 2 số 1a,1b trùng nhau nên mỗi số trên bị lặp lại 2 lần vậy số các số cần tìm là:35280:2=17640 (số).
Bài 3: Từ các số 1,2,3,4,5.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.Tính tổng các số đó.
	Giải:
	Số các chữ số cần tìm là (số).
	Tính tổng:(Sử dụng pp ghép cặp) Ghép 120 số thành 60 cặp sao cho tổng mỗi cặp là 6666.(VD:1234+5432=6666) lưu ý với mỗi số có ! một số tương ứng.
	Vậy tổng các số đó là:6666.60=399960
Bài 4: Từ các số 0,1,2,3,4,5.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.Tính tổng các số đó.
Giải:
	-Số các số cần tìm là : (số)
	-Tính tổng :pp cộng cột 
+Hàng đơn vị:các chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt 5. lần.Vậy tổng hàng đơn vị là (1+2+3+4+5+6). 5.=21. 5.=105.20=2100
	+ Tương tự hàng chục ,hàng trăm có tổng là:21000,210000
	+Hàng nghìn : chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt lần.
Vậy tổng hàng nghìn 21..10000=2520000
Vậy tổng cần tìm là:2520000+210000+21000+2100=2753100.
Bài 5:Cho tập hợp A={0,1,2,3,4,5,6,7}.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a)Có 4 chữ số?
b) Có 4 chữ số khác nhau?
c)Chẵn có 3 chữ số khác nhau?
d)Lẻ có 5 chữ số?
e)Lẻ có 5 chữ số và chứa số 0?
g)Chẵn có 3 chữ số khác nhau không có mặt chữ số 0 và1?
Giải:
	a)Số cần tìm là:7.8.8.8=
	b)Số cần tìm là 7.7.6.5=
	c) Gọi số cần tìm là 
*TH1:c=0 . Có 1 cách chọn c
	Có 7 cách chọn a
	Có 6 cách chọn b
Theo QTN có 1.7.6=42 cách
*TH2:c0 .Có 3 cách chọn c
	Có 6 cách chọn a
	Có 6 cách chọn b
Theo QTN có 3.6.6=108 cách
Vậy theo quy tắc cộng có 42+108=150 cách.
d)Số cần tìm có dạng với e ,a,c,b,d.
	Có 4 cách chọn e
	Có 7 cách chọn a
	Có 8 cách chọn b
	Có 8 cách chọn c
Có 8 cách chọn d.Vậy có 4.7.8.8.8=14336 cách.
	e)Lẻ có 5 chữ số là 14336.
	` lẻ có 5 chữ số không chứa số 0 có dạng 
	Chọn e có 4 cách,các số còn lại có 7 .7.7.7 cách.
	Vậy có 4.7.7.7.7=9604 cách.
Vậy có 14336-9604=4732.
Bài 6:Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau,8 quyển sách tiếng Anh khác nhau ,6 quyển sách tiếng Pháp khác nhau.Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a)Một quyển sách?
b)Ba quyển sách tiếng khác nhau?
c)Hai quyển sách tiếng khác nhau?
Giải:
	a)Theo quy tắc cộng có 10+8+6=24 cách.
	b)Theo quy tắc nhân có 10.8.6=480 cách.
	c)Th1: Chọn sách TV và sách TA có 10.8=80 cách.
	 Th2: Chọn sách TV và sách TP có 10.6=60 cách.
	Th3: Chọn sách TP và sách TA có 6.8=48 cách.	
Theo QTC có 80+60+48=188 cách chọn hai quyển sách tiếng khác nhau.Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:
	a)Là số chẵn và có 2 chữ số ?
	b)Là số lẻ và có 2 chữ số ?
	c) Là số chẵn và có 2 chữ số khác nhau ?
	d) Là số lẻ và có 2 chữ số khác nhau?
Giải: 
	a)Có 45 cách .
	b)Có 45 cách.
	c)Th1:b=0 có 1 cách chọn b, có 9 cách chọn a.Vậy có 1.9=9 cách.
	 Th2: có 4 cách chọn b,có 8 cách chọn a.Vậy có 4.8=48 cách .
Theo QTC có 9+48=51 cách.
	d)Số lẻ có 2 chữ số khác nhau là .
	b có 5 cách chọn ,a có 8 cách chọn .Vậy có 5.8-40 cách chọn .
Bài 7: Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc .Tính số cách chọn 1 người đàn ông và 1 người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:
	a)Hai người đố là vợ chồng?
	b)Hai người đó không là vợ chồng?
Giải:
	a)Chọn 1 người đàn ông có 10 cách ,chọn 1 người đàn bà là vợ người đàn ông có 1 cách.Vậy có 1.10=10 cách .
	b)Chọn 1 người đàn ông có 10 cách ,chọn 1 người đàn bà không là vợ người đàn ông có 9 cách.Vậy có 10.9=90 cách.
	Dạng 2: Công thức nhị thức Niu Tơn
Bài 1: Cho đa thức P(x)=1+x)9+(1+x)10++(1+x)14 ,Có dạng khai triển là:
	P(x)=a0+a1x+a2x2++a14x14.Hãy tính hệ số a19.
Giải:
	Ta có (1+9)9= có hệ số của x9 là 
Tương tự khai triển 	 (1+x)10 có hệ số của x9 là 
	(1+x)11 có hệ số của x9 là 
	(1+x)12 có hệ số của x9 là 
	(1+x)13 có hệ số của x9 là 
 	(1+x)14 có hệ số của x9 là 
Vậy a9==1+10+55+220+715+2002=3003
Bài 2: Đa thức P(x)=(1+x)+2(1+x)2+3(1+x)3++20(1+x)20,được viết dưới dạng là:
	P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3++a20x20.Hãy tính hệ số a19.
Giải:
	Ta có:15(1+x)15=15(1+
	16(1+x)16=16(1+
	20(1+x)20=20 (1+
Vậy a15==400995.
Bài 3: Khai triển P(x)= (1+x)12 +(1+x)13++(1+x)17.Hãy tìm hệ số của số hạng chứa x8
Giải:
Ta có:	(1+x)12 có hệ số của x8 là 
	(1+x)13 có hệ số của x8 là 
	(1+x)14 có hệ số của x8 là 
	(1+x)15 có hệ số của x8 là 
	(1+x)16 có hệ số của x8 là 
	(1+x)17 có hệ số của x8 là Do đó trong khai triển tổng S ,ta có hệ số của số hạng x8 là :
Bài 4:Trong khai triển ,hãy tìm hệ số của số hạng chứa x4
Giải:
	Trong khai triển ,ta có số hạng thứ (k+1) với là:
Do đó nếu số hạng thứ (k+1) chứa x4 thì phảicó:
Nếu số hạng chứa x4là số hạng thứ 5 ,ta có 
Vậy hệ số của số hạng chứa x4là 5.
Bài 5: Hãy tìm trong khai triển nhị thức số hạng độc lập với x.
Giải
	Giả sử trong khai triển nhị thức số hạng thứ (k+1) với là:.
Nếu không chứa (độc lập đối với x) thì ta có:54-6k=0k=9.
Vậy trong khai triển của nhị thức đã cho,số hạng độc lập đối với x là số hạng thứ 10,nên ta có:T10=
Bài 6:Tìm số hạng không chứa x trong khai triển niu Tơn của .
Giải:
	Khai triển 
Số hạng thứ (k+1) trong khai triển đố là: 
Số hạng này không phụ thuộc x khi: 12-2k=0k=6
Vậy số hạng thứ 7 của khai triển không phụ thuộc vào x và có giá trị là: .
Bài 7:	a.Xác định hệ số thứ nhất ,thứ hai , thứ 3 trong khai triển .
	b.Cho biết tổng 3 hệ số nói trên là 11.Tìm hệ số của x2.
Giải:
	a.Ta có 
	b.Theo giả thiết 
Hạng tử thứ k+1 của khai triển là: 
Cho 5k-2n=2. Vậy hệ số của x2 là .
Bài 8: 
Tìm các giá trị của số thực x sao cho trong khai triển của tổng các hạng tử thứ ba và thứ năm là 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối là 22.
Giải:
	Ta có .
 và 
	Dạng 3: CM đẳng thức tổ hợp
1:CM nhờ khai triển Niu Tơn
Bài 1:Chứng minh rằng:
Giải: Ta có : 
Suy ra :.
Vậy : 
Bài 2:Tính các biểu thức
	a.
	b..
Giải:
	 a.áp dụng nhị thức Niu tơn:
	(1+x)n=
	Cho x=1 ta có: 2n=
	b. Ta có : 
	3
	..
	p	
	Do đó B=n+(n-1)+(n-2)++2+1=
Bài 3: Chứng minh rằng: 
	Giải:
	Ta viết khai triển:
	(1+x)2n=(1+x)n.(1+x)n
	()()
Hệ số của xn trong là 
Do đó 
Bài 4: Chứng minh 
Giải:
	Ta có: 
	Cho x=6 ta có : 
Bài 5: Chứng minh rằng:
Giải:
	Ta có: 
Cho x=2 ta có : 4 (1) 
Ta lại có : 
	Cho x=2 ta có: (2)
Từ (1) và(2) ta có : 
2.Chứng minh nhờ công thức: 
Bài 1:Cho k và n là 2 số tự nhiên sao cho .
	CMR: 
Giải: 
	Ta có công thức :.Do đó VT== 
	= = 
	=	(dpcm).
Bài 2: Cho k và n là 2 số tự nhiên sao cho .
	Chứng minh rằng:
Giải: 
	 .
Do đó: =
	=
	=
	= (đpcm).
3. Chứng minh nhờ công thức đạo hàm	
Bài 1:
	Chứng minh đẳng thức : 
Giải:
	Ta có : 
Lấy đạo hàm hai vế ta có: 
Cho x=2 ta có: 
	= (1)
Ta có: ,lấy đạo hàm hai vế có:
	n
Cho x=2 ta có: (2)
So sánh (1) và (2) ta có :
Bài 2: Tính 
Giải: 
	Ta có: 
	Lấy đạo hàm của hai vế ta có: 
	Cho x = 1 ta có: 
	0 = 
	Vậy A = 
Bài 3: Tính 
	Giải: 
	Ta có: 
	Cho x = 1 , ta có: 
	(1)
	Ta có: 
	Cho x = 1 ta có: 
	(2)
	Cộng (1) và (2) ta có: 
Bài 4: Chứng minh rằng 	
	Giải: 
	Ta có: 	
	Lấy đạo hàm 2 vế ta có: 	
	Chọn x = 1, ta được: 
	 vì 
	Vậy: nC
Bài 5: Chứng minh rằng 
	Giải: 
	Ta có: 	
	Lấy đạo hàm theo x, lần thứ 2 ta có: 
	Chọn x = 1, ta được: 
	 vì 
	Vậy: 
4/ Chứng minh nhờ tích phân. 
Bài 1: Chứng minh
	Giải: 
	Ta tính tích phân: 	
	Đặt: 	u = 1 + x => du = dx
	Đổi cận: 	
	Vậy: 	
	Mặt khác ta có: 
	Lấy tích phân 2 vế ta có: 
	= 	 	
	= 
Bài 2: Chứng minh rằng 
	Giải: 
	Ta tính tích phân: 
	Đặt: 	u = 1 +x => du = dx 
	Đổi cận: 	
	Vậy: 	(1)
	Ta có: 
	Vậy = 	 	
	= 	(2) 
Bài 3: 
	a) Tính tích phân 
	b) Chứng minh rằng: 	
	Giải: 	
a) Ta có: 
	I = 	(1)
b) Theo khai triển Newton ta có: 
	(2) 
	So sánh (1) và (2) ta có: 
Bài 4: 
	a) Tính tích phân: 	 
	b) Chứng minh rằng: 	
	Giải: 	
a) Ta có: : 
	Đặt: 	u = 1 - x => du = -dx 
	Đổi cận: 	
	(1)
b) Theo khai triển Newton ta có: 
	Lấy tích phân 2 vế: 
	So sánh (1) và (2) ta có: 
Bài 5: 
a) Tính tích phân: 	 
	b) Chứng minh rằng: 	
	Giải: 	
a) Ta có: : 
	Đặt: 	u = -1 - x => -dt = -dx => x = 1 - t
	Đổi cận: 	
b) Theo nhị thức Newton ta có: 
	 Hết