Chuyên đề: Tích phân (30 bài tập)

 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 1 
CHUYấN ĐỀ: TÍCH PHÂN 
A. BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYấN HÀM CƠ BẢN. 
Đạo hàm Mở rộng Nguyờn hàm Mở rộng 
( ) ' 0c = dx x C= +∫ 
( ). 'c x c= . .k dx k x C= +∫ 
( ) 1' .n nx n x −= ( )' 1. '.n nu n u u −= 1. 1
n
n xx dx C
n
+
= +
+∫ ( )
( ) 11
.
1
n
n ax b
ax b dx C
a n
+
+
+ = +
+∫ 
'
2
1 1
x x
 
= − 
 
'
2
1 'u
u u
− 
= 
 
1
. lndx x C
x
= +∫ 
1 1
. .lndx ax b C
ax b a
= + +
+∫
'
2
c c
x x
 
= − 
 
'
2
. 'c c u
u u
− 
= 
 
. .lnk dx k x C
x
= +∫ . . ln
k kdx ax b C
ax b a
= + +
+∫
( )' 12x x= ( )
' '
2
u
u
u
= .
x x
e dx e C= +∫ 
1
. .
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +∫ 
( )'x xe e= ( )' '.u ue u e= . ln
x
x a
a dx C
a
= +∫ 
( )' . lnx xa a a= ( )' . '. lnu ua a u a= sin . cosx dx x C= − +∫ ( ) ( )1sin . cosax b dx ax b C
a
+ = − + +∫ 
( )' 1ln x
x
= ( )' 'ln uu
u
= cos . sinx dx x C= +∫ ( ) ( )1cos . sinax b dx ax b C
a
+ = + +∫ 
( )' 1log
.lna
x
x a
=
( )' 'log
.lna
u
u
u a
= 2
1
. tan
cos
dx x C
x
= +∫ 
( )'sin cosx x= ( )'sin '.cosu u u= 2
1
. cot
sin
dx x C
x x
= − +∫
( )'cos sinx x= −
( )cos ' '.sinu u u= −
t an . ln cosx dx x C= − +∫
( )' 21tan cosx x=
( ) 't an '
cos
u
u
u
= cot . ln sinx dx x C= +∫ 
( )' 21cot sinx x= −
 ( ) 2'cot ' sin
u
u
u
= − 
 
Một số cụng thức LG thường sử 
dụng để tớnh nguyờn hàm. 
 ( ) ( )1cos .cos cos cos
2
a b a b a b = − + + 
 ( ) ( )1sin .sin cos cos
2
a b a b a b = − − +  
 ( ) ( )1sin .cos sin sin
2
a b a b a b = − + +  

2 1 cos2sin
2
a
a
−
= ; 2 1 cos2cos
2
a
a
+
= 
sin 2 2sin .cosa a a= 

2 2
2
2
cos sin
cos2 2cos 1
1 2sin
a a
a a
a

−

= −

−

2 2
2 2
cos 1 sin
sin 1 cos
a a
a a
 = −

= −

 Qui tắc đạo hàm. 
1. ( )'. '. . 'u v u v u v= + 
2. 
'
2
'. . 'u u v u v
v v
− 
= 
 
 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 2 
B. TÍCH PHÂN. 
1. 
2. Tớnh chất. 
a) ( ) ( ). .
a b
b a
f x dx f x dx− =∫ ∫ b) ( ) ( ). . . .
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫ 
c) ( ) ( ) ( ) ( ).
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ d) ( ) 0
a
a
f x dx =∫ 
e) ( ) ( ) ( ). . .
b b b
a a a
m f x M m dx f x dx M f x dx≤ ≤ ⇒ ≤ ≤∫ ∫ ∫ f) ( ) ( ) ( ). . .
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ 
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH TÍCH PHÂN 
3.1. Sử dụng bảng nguyờn hàm cơ bản để tớnh tớch phõn. 
3.2. Tớch phõn hàm hữu tỷ: ( )( )
b
a
f x
dx
g x∫
 - Nếu bậc ( )f x ≥ bậc ( )g x → Chia đa thức. 
 - Nếu bậc ( )f x < bậc ( )g x : Ta sử dụng hệ số bất định. 
  ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2
ax b A B
x x x x x x x x
+
= +
− − − −
  ( ) ( ) ( )2 200 0
ax b A B
x xx x x x
+
= +
−
− −
3.3. Phương phỏp đổi biến số: ( ) ( ). '
b
a
A f u x u x dx =  ∫ . 
Dạng 1: 
Đặt ( ) ( )' .t u x dt u x dx= ⇒ = ; đổi cận: 
Ta được: ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
.
u b
u b
u a
u a
A f t dt F t= =∫ 
* Một số thủ thuật đặt t . 
Dạng ( )( )b
a
f u x dx∫ 
( )
( )
b
n
a
u x
dx
v x∫
 ( )
sin .
cos
b
a
x dx
f x∫ 
( ) ( ).
b
u x
a
e v x dx∫ 
( )lnb
a
f x
dx
x∫
( )
2
t an
cos
b
a
f x
dx
x∫
t ( )u x ( )t v x= ( )cost f x= ( )t u x= ( )lnt f x= t ant x= 
m lẻ 
cost x=
m chẳn 
m = 0 
n chẳn õm 
t ant x= 
Dạng sin .cos
b
m n
a
x x dx∫
 n chẳn sint x= 
n chẳn 
Hạ bậc 
2 1 cos2sin
2
a
a
−
=
2 1 cos2cos
2
a
a
+
=
 n = 0 
m chẳn õm 
cott x= 
Dạng 2: 
Dạng  2 2a x+  2 2a x−  2 2x a− 
Đặt t an , ;
2 2
t a t t
pi pi 
= ∈ − 
 
 sin , ;
2 2
x a t t
pi pi 
= ∈ − 
 
 { }, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t
pi pi 
= ∈ − 
 
( ) ( ) ( ) ( ).
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫ 
x a b 
t ( )u a ( )u b 
 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 3 
3.4. Phương phỏp từng phần : . . .
b b
b
a
a a
B u dv u v v du= = −∫ ∫ 
Cỏch đặt u và dv : 
Dạng ( ) sin. .
cos
b
a
xf x dx
x
 
 
 
∫ ( ).
b
x
a
f x e dx∫ ( ) ln. .log
b
aa
xf x dx
x
 
 
 
∫ 2
2
cos
sin
b
a
x dx
x
x
 
 
 
∫ 
u ( )f x ( )f x lnlog
a
x
x
 
 
 
 x 
dv 
sin
.
cos
x
dx
x
 
 
 
xe dx ( ).f x dx 2
2
1
sin
cos
dx
x
x
 
 
 
C. BÀI TẬP 
Bài 1 : Tớnh cỏc tớch phõn sau : 
Sử dụng bảng nguyờn hàm cơ 
bản. 
1. ( )2 3 2
1
2 3x x dx+ +∫ 
2. 
4
3 2
1
1 1
.x x dx
x x
 
+ + 
 
∫ 
3. 
4 3
2
1
.
.
x x x x dx
x
+ +
∫ 
4. 
2
3
1
2
x dx
x
 
+ 
 
∫ 
5. 
2
2
1
1 2x x dx
x
 
+ 
 
∫ 
6. ( )2
0
3sin 3cos 2x x dx
pi
− +∫ 
7. 
2
1
3
2 1
x dx
x
 
+ 
− 
∫ 
8. 
2
0
cos 2
4
x dx
pi
pi 
− 
 
∫ 
9. ( )2
0
2 sin 3x dx
pi
−∫ 
10. ( )1
0
2 1xe dx+∫ 
11. ( )ln 2 2
0
1xe dx+∫ 
12. ( )ln 2 2
0
1xe dx+∫ 
13. ( )1
0
2 1x xe e dx−∫ 
14. 
ln 3 2
0
x x
x
e e dx
e
+
∫ 
15. 
2
1
2x
e dx
x
 
+ 
 
∫ 
16. ( )
1
22
0
3x x dx−∫ 
17. ( )
2
3
1
2 1x dx−∫ 
18. ( )1
0
3 1x dx+∫ 
19. 
4
2
0
2 1
cos
dx
x
pi
 
− 
 
∫ 
20. 
2 3 2
2
1
2x x x dx
x
+ +
∫ 
21. 
1
0
2 1
1
x dx
x
−
+∫
22. 
1 3
0
3 2
3 1
x x dx
x
+ +
+∫
23. 
2
1
2 5 7x xdx
x
+ −
∫ 
24. 
1
0
( 1)( 1)x x x dx− + +∫ 
25. 
2
2
4
21
sin
dx
x
pi
pi
 
− 
 
∫ 
26. 
4
2
0
1
cos
x
x e
e dx
x
pi
− 
− 
 
∫ 
27. 
ln 2
0
2
x
x
x
e
e dx
e
− 
+ 
 
∫ 
28. 
2
1
22x dx
x
 
+ 
 
∫ 
29. ( )
1
22
0
1x x dx−∫ 
30. ( )
2
1
1
. 1
dx
x x +∫
31. ( )
22
1
2 1x
dx
x
−
∫ 
32. 
4
0
cos3 .cosx x dx
pi
∫ 
33. 
4
2
3
1
4
dx
x −∫
34. 
1
2
2
0
1
3 2
dx
x x− +∫
 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 4 
35. 
4 2
1
3x x x x dx
x
+ +
∫ 
36. ( )ln 2 2
0
1x xe e dx−∫ 
37. 
4
0
sin 3 .sinx x dx
pi
∫ 
38. 
( )21
0
1x
x
e
dx
e
−
∫ 
39. 
4
2 2
6
1
sin .cos
dx
x x
pi
pi
∫ 
40. 
2
0
1 x dx−∫ 
41. 
3
2
0
2x x dx−∫ 
42. 
4
2
2
6 9.x x dx− +∫ 
43. 
4
2
1
3 2x x dx
−
− +∫ 
44. 
0
1 cos2x dx
pi
+∫ 
45. 
3
0
2 4x dx−∫ 
46. 
2
2
0
x x dx−∫ 
47. 
3
2
0
1 cos2x dx
pi
−∫ 
48. 
2
2
0
sin .x dx
pi
∫ 
49. 
2
2
0
cos .x dx
pi
∫ 
50. 
2
4
0
sin .x dx
pi
∫ 
51. 
2
4
0
cos .x dx
pi
∫ 
52. 
2
0
sin 3 .cos .x x dx
pi
∫ 
53. ( )ln 2
0
2xe x dx+∫ 
54. 
1
0
2 1
1
x dx
x
−
+∫
55. 
8
2
0
cos 2x dx
pi
∫ 
56. 
24
2
0
2cos 1
1 sin
x dx
x
pi
+
−
∫ 
57.
24
2
1
x dx
x
 
+ 
 
∫ 
58.
1 2
0
3 3
1
x x dx
x
− +
+∫
59.
2
0
1 sin cos .
2 2
x x dx
pi
 
+ 
 
∫ 
60. ( )
1
7
0
2 1x dx− +∫ 
61. ( )
0
3
1
4
3 5
dx
x
−
−
∫ 
62. 
4
0
2 1x dx+∫ 
63. 
7
3
3
0
3 1x dx+∫ 
64. 
3
0
1
1 6
dx
x x+ − +∫
65. ( )( )
5
3
1
2 1
dx
x x− +∫
66.
1
2
0
5 13
5 6
x dx
x x
−
− +∫
67. 
1
42
2
0 1
x dx
x −∫
68. 
1
2
0
3 1
6 9
x dx
x x
−
+ +∫
69. ( )
2 2
2
1
3 2
2 1
x x dx
x x x
− +
+ +∫
70.
0
2
1
2 1
3 4
x dx
x x
−
+
+ −∫
Bài 2: Tớch cỏc tớch phõn sau: 
(Đổi biến số) 
DẠNG 1: 
( ) ( ). '
b
a
A f u x u x dx =  ∫ 
71. ( )1 34 3
0
1 x x dx+∫ 
72. 
1
2
0
2
4 7
x dx
x x
+
+ +∫
73. 
1 3
2
0 1
x dx
x+∫
74. ( )
1
3
0 1
x dx
x +
∫ 
75. ( )1 35 2
0
1x x dx+∫ 
76. ( )( )
41
6
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫ 
77. 
1
2 3
0
1 .x x dx−∫ 
78. 
4
0
4 1
2 1 2
x dx
x
−
+ +∫
79.
6
2
1
2 1 4 1
dx
x x+ + +∫
80.
2 3
2
5 4
x dx
x +
∫ 
81. 
64
3
1
1 dx
x x+∫
82. 
ln 3
ln 2
1
1x
dx
e −∫
83.
ln 2
0
1
1 x
dx
e
−+∫
 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 5 
84. 
ln 5 2
ln 2 1
x
x
e dx
e −
∫ 
85. 
1 2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e dx
e
+ +
+∫
86. ( )
ln 5
ln 2 10 1
x
x x
e dx
e e− −
∫ 
87. ( )1
ln
2 ln .
e
x dx
x x+∫
88. 
3
1
1 lne x dx
x
+
∫ 
89. ( )21
1
ln 3ln 2 .
e
dx
x x x− +∫
90. 
1
1 3ln .lne x x dx
x
+
∫ 
91. 
2
4
0
sin .cosx x dx
pi
∫ 
92. 
2
5
0
cos .sinx xdx
pi
∫ 
93. 
2
5
0
sin x dx
pi
∫ 
94. 
2
3
0
cos .x dx
pi
∫ 
95. 
2
0
1 3sin .cosx xdx
pi
+∫ 
96. 
2
3
0
1 7 cos .sinx xdx
pi
+∫ 
97. 
2
0
1 3sin .sin 2 .x x dx
pi
+∫ 
98. ( )
2
3
0
sin .
2 cos
x dx
x
pi
+
∫ 
99. 
2
0
cos
1 3sin
x dx
x
pi
+∫
100. 
2
0
sin .cos
1 3sin
x x dx
x
pi
+∫
101.
1 5
2
0 1
x dx
x+∫
102.
32
0
4sin
1 cos
x dx
x
pi
+∫
103. 
3
1 1 ln .
e dx
x x+∫
104. 
32
2
0
sin .cos
1 cos
x x dx
x
pi
+∫
105. 
6
2
0
cos
sin 5sin 6
x dx
x x
pi
− +∫
106. ( )
4
1 1
dx
x x+
∫ 
107. ( )2220 1 sin sin 2x xdx
pi
+∫ 
108. 
4
1
x
e dx
x
∫ 
109. 
2ln 8
ln 3 1
x
x
e dx
e +
∫ 
110. 
2
2
sin
0
sin 2xe xdx
pi
∫
111. 
3
0
.
1 1
x dx
x + +
∫ 
112. 
1 3 2 3
0
(1 )x x dx−∫ 
113. 
3 5 2
0
1x x dx+∫ 
114. 
sin2
0
cosxe xdx
pi
∫ 
115. 
37
3 20 1
x dx
x+
∫ 
116. 
21
0
xe xdx−∫ 
117. 
3 53
30 1
x dx
x +
∫ 
118. 3
52
3 3
.
1
x dx
x+
∫
119. 
34
7 2 9
x dx
x +
∫
120. 
4
0 2 1
xdx
x +
∫ 
121. 
2
2
1
3I x x dx= +∫
122. 
2
1 2sin
0
.cosxe xdx
pi
+
∫
123. 
6
0
sin 2 .cos .x x dx
pi
∫
124. 
2
4 3
0
sin .cos .x x dx
pi
∫
125. 
3 2
0
sin .cos .I x x dx
pi
= ∫
126. 
4
4
6
1
.
sin
dx
x
pi
pi
∫
127. 
4
4
0
1
.
cos
dx
x
pi
∫ 
128. 
2
2
0
2
.
cos 3
sin x dx
x
pi
+∫ 
129. 
2
2
0
2
.
3 sin
sin x dx
x
pi
−
∫ 
130. 
2
1
.
1 1
x dx
x+ −
∫ 
 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 6 
131. 
2
2
2 sin
0
.sin 2 .xe x dx
pi
+
∫ 
132. 
ln 3
ln 2
.
2 1
x
x
e dx
e
−
− +∫ 
133. 
( )ln 5
ln 2
3
1
x x
x
e e
dx
e
+
−
∫ 
134. 
ln 5 2
ln 2
.
1
x
x
e dx
e +∫ 
135. 
ln 4
ln 3
1
.
3x
dx
e +∫ 
136. 
2
4
1
.
.ln
e
e
dx
x x∫ 
137. 
ln 4
ln 3
1
.
5x
dx
e +∫ 
138. 
( ) 2ln 5
0
4
2
x x
x
e e
dx
e
+
+∫ 
140. 
ln 4 2
ln 3
(1 ) .
.
1
x x
x
e e dx
e
+
−
∫ 
141. 
2
1
ln . 2 ln
.
e
x x dx
x
+
∫ 
142. 
2
sin
.
4cos 3
x dx
x
pi
pi −
∫
143. 
2
0
sin 2
.
cos2 3
x dx
x
pi
+∫ 
144. 
( )ln 5
ln 3
3
1
x x
x
e e
dx
e
+
−
∫ 
145. 
4
2
6
1
.
sin .cotx
dx
x
pi
pi
∫
146. 
32
3
6
cos .
sin
x dx
x
pi
pi
∫ 
147. 
4
2
0
t an .
cos
x dx
x
pi
∫ 
148. 
ln 2
0
dx 
x x
x x
e e
e e
−
−
−
+∫ 
149. 
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x dx
x x
pi
+
∫ 
150. 
ln 5
ln 3 2 3
x x
dx
e e
−+ −∫
151. 
2
2
0
sin 2
(2 sin )
x dx
x
pi
+∫
152. 
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x dx
x
pi
+
+∫
153. 
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x dx
x
pi
+∫
154. 
2
sin
0
( cos )cosxe x xdx
pi
+∫ 
155. 
24
0
1 2sin
1 sin 2
x dx
x
pi
−
+∫
156. 
ln 2
0 2
x
x
e dx
e +
∫ 
157. ( )
1 5 3
22
0 1
x x dx
x
+
+
∫ 
158. ( )
2 8 5
23
0 2
x x dx
x
+
+
∫ 
159. 
6
2 2
0
sin 2
2sin os
x dx
x c x
pi
+∫
160.
32
2
0
osxsin
1 sin
c x dx
x
pi
+∫
161. 
2
1
1 lne xdx
x
+
∫ 
162. 
2
2
0
sin 2
(2 sin )
x dx
x
pi
+∫
163. 
2 ln 1
1
e x
e dx
x
+
∫ 
164. 
2 21 ln
ln
e
e
x dx
x x
+
∫ 
165. 
1
1 3ln lne x x dx
x
+
∫ 
166. 
1
sin(ln )e x dx
x∫
167. 
4
2
0
1 sin 2
cos
xdx
x
pi
+
∫ 
168. 
2
0
sin
1 3cos
x dx
x
pi
+∫
169. 
1
2
2
1
xe dx
x∫ 
170.
2
0
sin
8cos 1
x dx
x
pi
+∫
171. ( )
3
2
1
1 ln
e
e
dx
x x−∫
172.
2
3
6
sin .cosx x dx
pi
pi
∫ 
173. ( )
1
7
0
1x x dx−∫ 
174. 2
2
sin 2
1 cos
x dx
x
pi
pi +
∫ 
175. ( )
1
3
0
2x x dx−∫ 
176. 
2
2
1
1
2 3
x dx
x x
−
− −
∫ 
177. ( )
2
2
6
cos .
1 sin
x dx
x
pi
pi
−
+
∫ 
178.
19
3 2
0
3
8
xdx
x +
∫ 
179. 
3
1 4 ln
e dx
x x−
∫ 
 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 7 
180. 
1
2
0
1x x dx+∫ 
181. 
0
sin 2
4
.cos2xe xdx
pi
−
∫ 
182. ( )
1
2
0
4
2 1
x dx
x +∫
183.
2
1
1
0
x
xe dx−∫ 
184. ( )
0 2
4
1 1
x dx
x
−
−
∫ 
185.
2
1
1 lne x dx
x
+
∫ 
186. ( )1
ln .
ln 3
e
e
x dx
x x +∫
187. 
7
3
0
1x x dx+∫ 
188. 
0
5
4x xdx
−
−∫ 
189.
ln 3
0 1
x
dx
e−+∫
190. 
2
0
4 1x dx+∫ 
Bài 3: Tớnh cỏc tớch phõn sau: 
(Đổi biến số) 
Dạng 2: 
2 2a x+ 2 2a x− 
t anx a t= sinx a t= 
191.
1
2
0
1
3
dx
x+∫
192. 
1
2
0
2 x dx−∫ 
193. 
2
22
2
0 1
x dx
x−
∫ 
194.
1
2
0
1
1
dx
x x+ +∫
195. 
1
2
0
2x x dx−∫ 
196. 
1
2
0
1
4
dx
x−
∫ 
197. 
1
2
0
1
1
dx
x x− +∫
198. 
2
22
2
0 1
x dx
x−
∫ 
199. 
2
2 2
1
4x x dx−∫ 
Bài 4: Tớnh cỏc tớch phõn sau 
(Tớch phõn từng phần) 
200. 
1
ln
e
x xdx∫ 
201. 
1
2
0
ln( 1)x x dx+∫ 
202. 
1
1( )ln
e
x xdx
x
+∫ 
203. 
2
0
( osx)s inxx c dx
pi
+∫ 
204. 
2
2
1
ln( )x x dx+∫ 
205. 
2
0
cosx x dx
pi
∫ 
206. 
1
0
x
xe dx∫ 
207. 
1
3
0
.
x
x e dx∫ 
208. 
2
0
( 1)cosx xdx
pi
−∫ 
209. 
6
0
(2 )sin 3x xdx
pi
−∫ 
210. 
2
0
.sin 2x x dx
pi
∫ 
211. 2
1
(1 ).ln .
e
x x dx−∫ 
212. 
3
1
4 .ln .x x dx∫ 
213. 
1
2
0
.ln(3 ).x x dx+∫ 
214. 
2
5
1
ln x dx
x∫
215. 
2
2
0
cosx x dx
pi
∫ 
216. 
3
2
0
sin
cos
x x dx
x
pi
+
∫ 
217. 
4
2
0
(2cos 1)x x dx
pi
−∫ 
218. 
2
2
1
ln(1 )x dx
x
+
∫ 
219. 
1
2
0
ln(1 )x x dx+∫ 
220. 
1
2
0
( 2) xx e dx−∫ 
221. 2
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x +∫
222. 
2
0
(2 7)ln( 1)x x dx+ +∫ 
223. 
1
lne x dx
x
∫ 
224. ( )
1
3 2 ln
e
x xdx+∫ 
225. 31
lne x dx
x∫
226. 
2
1
ln
e
x xdx∫ 
227. 
2
1
lne xdx
x
∫ 
228. ( )1 2
0
ln 1x x dx+∫ 
229. 2 21 logx xdx∫ 
230. 
1
3(2 )ln
e
x xdx
x
−∫ 
 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 8 
231. 
1 2
0
ln( 1)x x x dx+ +∫ 
232. ( )( )
1
3
0
ln 1
2
x
dx
x
+
+
∫ 
233. 
2
0
cosxe xdx
pi
∫ 
234. ( )
3
2
1
3 ln
1
x dx
x
+
+
∫ 
235. 
1
2
0
( 2) xx e dx−∫ 
236. ( )
1
0
1 xx e dx+∫ 
237. ( )1
0
2 1xx e dx−∫ 
238.
2
0
2 cosx x dx
pi
∫ 
239. ( )4
0
2 1 cosx xdx
pi
−∫ 
240. ( )
1
2 1 ln
e
x xdx+∫ 
241. ( )3 2 2
0
1 xx e dx+∫ 
242. ( )
1
0
2 1 xx e dx−∫ 
243. ( )
ln 2
0
1 xx e dx−−∫ 
244. 
2
0
2 .sinx xdx
pi
∫ 
245. ( )4
0
1 sin 2x xdx
pi
+∫ 
246. ( )
1
2 ln 1
e
x x dx−∫ 
247. ( )
2
1
ln 2x x dx−∫ 
248. 
0
sinxI e xdx
pi
= ∫ 
249. 
1
2 1
0
x
xe dx−∫ 
250. ( )2
0
1 xe xdx+∫ 
251.
4
0
sin 2 .x x dx
pi
∫ 
252. ( )
0
1 cosx xdx
pi−
−∫ 
253. 
1
ln .
e
x dx∫ 
254. ( )
3
2
2 ln 1x x dx−∫ 
255.
4
1
x
e dx∫ 
Bài 5: Tớnh cỏc tớch phõn sau: 
(TỔNG HỢP) 
256. ( )1
0
3. 5x xe e x dx− −∫ 
257.
2
1
lnx x dx
x
+
∫ 
258. ( )
1
ln 1
e
x x dx+∫ 
259. 
1
0
1
1
x
x
xe x dx
e
+ +
+∫
260. 
2 2
1
1xx e dx
x
+
∫ 
261. ( )
0
cosx x x dx
pi
+∫ 
262.
4
1
x
x e dx
x
+
∫ 
263. ( )4
0
cos sinx x xdx
pi
+∫ 
264.
2
0
1 sin
1 cos
x dx
x
pi
−
+∫
265.
2
1
1 lne x x dx
x
+
∫ 
266. ( )2 2
0
x
x x e dx+∫ 
267. 2
1
1 lne x x dx
x
+
∫ 
268. ( )2
1
1 2 xxe dx+∫ 
269.
34
2
0
1 sin
1 sin
x dx
x
pi
−
−
∫ 
270.
1
0
1
1
x
x
e
xe
−
+∫
271.
3
3
1
2
.
2 2
x dx
x
−
+∫
272. ( )2
0
ln 1 cos .sin 2x xdx
pi
+∫ 
273. 
2 3 2
2
0
2 3
1
x x x dx
x x
− +
− +
∫ 
274. ( )2 2 3
0
cos 1 sinx x dx
pi
−∫ 
275. 
1
0
3 2
1
x x
x
xe e dx
xe
+ +
+∫
276. 
1
2
0 1
x dx
x x+ −
∫ 
277. 
( ) ( )2 21
0
2 1 ln 1
1
x x x x
dx
x
+ + + +
+∫
278. ( )2
4
2 cos 2 sin
cos sin
x x x x
dx
x x x
pi
pi
+ −
−
∫ 
279. 
3
2
1
ln
1 3ln
e
xdx
x x+
∫ 
280. 
2 2 31 ln
.ln
e
e
x x dx
x x
+
∫ 
281.
32
2
0
2 sin
sin 3cos 1
x
x dx
x x
pi
 
− 
+ 
∫ 
 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 9 
282. ( )2 2
1
ln 1x x
dx
x
+ +
∫ 
283. 
20144
2
0
1 2 tan
cos
x x dx
x
pi
− +
∫ 
284. ( )3
0
t an ln cos
cos
x x
dx
x
pi
∫ 
285. 
24
0
t an 3tan 2
2 sin 2
x x dx
x
pi
+ +
+∫
286.
2
0
cos2 1
cos sin
x x dx
x x
pi
+
+∫
287. 
( )21
0
2 1
1
x x
x
x e x e
dx
xe
+ +
+∫
288.
4
2 1 2
0
x
e dx+ −∫ 
289.
2
2
4
3cot 1
sin
x x dx
x
pi
pi
+ +
∫ 
290. 
1 3
4
0
2
1
x x dx
x
−
+∫
291. 
ln 8 2
ln 3
2
1
x x
x
e e dx
e
−
+
∫ 
292. 
6
2
0
cos
4 sin
x dx
x
pi
−
∫ 
293. 2 2
0
sinxe xdx
pi
∫ 
294. 
8
3 ln 1 ln
e
e
dx
x x x+∫
295. 
2 2
2
3
1
1 x
x dx
x x
 
−
+ 
+ 
∫ 
296. ( )( )
1
2
0
3 2ln 3 1
1
x x
dx
x
+ +
+
∫ 
297. ( )4
1
lnx x x dx+∫ 
298. 
3
2
1
ln
1 3ln
e
xdx
x x+
∫ 
299.
1
0
2
1
x
x e sx
x
 
+ + 
∫ 
300.
2
0
cos2
sin sin
1 3cos
x
x x dx
x
pi
 
+ 
+ 
∫ 
D. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ 
THI TỐT NGHIỆP. 
NĂM ĐỀ THI 
2014 1. ( )1
0
1 xxe dx−∫ 
2013 2. ( )2
0
1 cos .x x dx
pi
+∫ 
2012 3. ( )ln 2 2
0
1x xe e dx−∫ 
2011 4. 
1
4 5lne x dx
x
+
∫ 
2010 5. ( )
1
22
0
1x x dx−∫ 
2009 6. ( )
0
1 cosx x dx
pi
+∫ 
2008 7. ( )
1
0
4 1 xx e dx+∫ 
E. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ 
THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG. 
Năm ĐỀ THI 
Kh 
B 2 2
2
1
3 1x x dx
x x
+ +
+∫
2014 
D ( )4
0
1 sin 2 .x x dx
pi
+∫ 
A 
2 2
2
1
1 lnx xdx
x
−
∫ 
Cđ 
5
1 1 2 1
dx
x+ −∫
B 
1
2
0
2x x dx−∫ 
2013 
D ( )
21
2
0
1
1
x
dx
x
+
+∫
A 
( )3
2
1
1 ln 1x
dx
x
+ +
∫ 
Cđ 
3
0 1
x dx
x +∫
B 
1 3
4 2
0 3 2
x dx
x x+ +∫
2012 
D ( )4
0
1 sin 2x x dx
pi
+∫ 
A ( )4
0
sin 1 cos
sin cos
x x x x
dx
x x x
pi
+ +
+∫
Cđ ( )
2
1
2 1
1
x dx
x x
+
+∫
B 
3
2
0
1 sin
cos
x x dx
x
pi
+
∫ 
2011 
D 
4
0
4 1
2 1 2
x dx
x
−
+ +∫
A 
1 2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e dx
e
+ +
+∫
Cđ 
1
0
2 1
1
x dx
x
−
+∫
B ( )21
ln
2 ln
e
x dx
x x+
∫ 
2010 
D 
1
32 ln
e
x xdx
x
 
− 
 
∫ 
A ( )2 3 2
0
cos 1 cosx xdx
pi
−∫
B ( )
3
2
1
3 ln
1
x dx
x
+
+
∫ 
2009 
D 
3
1 1
x
dx
e −∫
A 
46
0
t an
cos2
x dx
x
pi
∫ 
2008 
D 
2
3
1
ln x dx
x∫
 w
ww
.M
AT
HV
N.
co
m
www.MATHVN.com GV: Nguyễn Chớn Em 
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ www.DeThiThuDaiHoc.com Trang 10 
F. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN. 
1. ỨNG DỤNG 1: 
Diện tớch hỡnh phẳng. 
a) Hỡnh ( )H được giới hạn bởi: 
( ) =

 =

=


y f x
x a
x b
Truùc Ox
Diện tớch hỡnh ( )H 
( ) ( )
b
H
a
S f x dx= ∫ 
b) Hỡnh ( )H được giới hạn bởi: 
( )
( )
 =

=

=

=
y f x
y g x
x a
x b
Diện tớch hỡnh ( )H 
( ) ( ) ( )
b
H
a
S f x g x dx= −∫ 
2. ỨNG DỤNG 2: 
Thể tớch vật thể trũn xoay. 
a) Hỡnh ( )H được giới hạn bởi: 
( ) =

 =

=


y f x
x a
x b
Truùc Ox
Thể tớch vật thể do hỡnh ( )H xoay quanh trục Ox : 
( ) 2
b
Ox
a
V f x dxpi  =  ∫ 
b) Hỡnh ( )H được giới hạn bởi: 
( )
( )
 =

=

=

=
y f x
y g x
x a
x b
Thể tớch vật thể do hỡnh ( )H xoay quanh trục Ox : 
( ) ( )2 2
b
Ox
a
V f x g x dxpi    = −   ∫ 
BÀI TẬP 
Bài 1: Tớnh diện tớch của hỡnh ( )H được giới hạn 
bởi: 
1. 3 3 2y x x= − + ; 1; 3x x= − = và trục Ox 
2. 24y x= − − và 2 42y x x= − 
3. 3 2y x x= − và tiếp tuyến của nú tại điểm cú 
hoành độ bằng 1− 
4. 3y x x= − và 2y x x= − 
5. 3 21 2; 0; 2
3 3
y x x x