Chuyên đề Thể tích khối đa diện

 2016ÔN TẬP: QUAN HỆ SONG SONG 
1. Hai đường thẳng song song
	a) Định nghĩa:	
	b) Tính chất
	· 	· 
	· 
2. Đường thẳng và mặt phẳng song song 
	a) Định nghĩa:	d // (P) Û d Ç (P) = Æ
	b) Tính chất
	· 	· 
	· 
3. Hai mặt phẳng song song
	a) Định nghĩa:	(P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Æ
	b) Tính chất
	· 	 · 	· 
4. Chứng minh quan hệ song song
	a) Chứng minh hai đường thẳng song song
	Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
	· Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, )
	· Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
	· Áp dụng các định lí về giao tuyến song song.
	b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 
	Để chứng minh , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d¢ nào đó nằm trong (P).	
	c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
	Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.
Bài tập
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
	a) Chứng minh (OMN) // (SBC).
	b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
	a) CMR: (OMN) // (SBC).
	b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB).
ÔN TẬP: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1. Hai đường thẳng vuông góc
	a) Định nghĩa:	a ^ b Û 
	b) Tính chất
	· 	Giả sử là VTCP của a, là VTCP của b. Khi đó . 	
	· 
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc 
	a) Định nghĩa:	d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P)
	b) Tính chất
	· Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng:	
	· 	· 
	· 	· 
	· 	· 
	· Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của nó.
	Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
	· Định lí ba đường vuông góc
	Cho , a¢ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ^ a Û b ^ a¢	
3. Hai mặt phẳng vuông góc	 	
	a) Định nghĩa:	(P) ^ (Q) Û 
	b) Tính chất
	· Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: 
	· 	· 
	· 
4. Chứng minh quan hệ vuông góc
	a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
	Để chứng minh , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
	· Chứng minh góc giữa a và d bằng 900.
	· Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.
	· Chứng minh mà .
	· Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
	· Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
	· Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, ).	
	b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
	 Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
	· Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
	· Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
	· Chứng minh d // a và a ^ (P).
	· Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
	· Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) và (R) ^ (P).
	c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
	 Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
	· Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ^ (Q).
	· Chứng minh 
IV. Bài tập: 
Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và . Chứng minh rằng SA ^ BC, SB ^ AC, SC ^ AB.
HD: Chứng minh = 0
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp DBCD.
	a) Chứng minh AO vuông góc với CD.
	b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
	HD:	b) .
 Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuơng tm O. SA ^ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A trn SB, SC, SD.
a) CMR: BC ^ (SAB), CD ^ (SAD), BD ^ (SAC).
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
c) CMR: HK ^ (SAC). Từ đó suy ra HK ^ AI.
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA ^ (ABC).
a) Chứng minh: BC ^ (SAB).	
b) Gọi AH là đường cao của DSAB. Chứng minh: AH ^ SC.
 ÔN TẬP : GÓC – KHOẢNG CÁCH
1. Góc
	a) Góc giữa hai đường thẳng:	a//a', b//b' Þ 
	Chú ý: 00 £ £ 900
	b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
	· Nếu d ^ (P) thì = 900.
	· Nếu thì = với d¢ là hình chiếu của d trên (P).
	Chú ý: 00 £ £ 900
	c) Góc giữa hai mặt phẳng 	
	· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Î c, dựng Þ 
	Chú ý: 	
	d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
	Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H) trên (Q), j = . Khi đó:	S¢ = S.cosj
2. Khoảng cách
	a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
	b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
	c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
	d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:
	· Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
	· Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất.
	· Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
. Nhắc lại một số công thức trong Hình học phẳng
1. Hệ thức lượng trong tam giác
	a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH.
	· 	· 	· 
	· 
	b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. 
	· Định lí hàm số cosin: 
	· Định lí hàm số sin: 	 
	· Công thức độ dài trung tuyến: 
2. Các công thức tính diện tích
 	a) Tam giác: 
	· 	· 
	· 	· 	· 
	· DABC vuông tại A: 	
	· DABC đều, cạnh a:	
	b) Hình vuông: 	S = a2	(a: cạnh hình vuông)
	c) Hình chữ nhật:	S = a.b	(a, b: hai kích thước)
	d) Hình bình hành:	S = đáy ´ cao = 
	e) Hình thoi:	
	f) Hình thang:	(a, b: hai đáy, h: chiều cao)	
	g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:	
Bài tập
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết .
	a) Tính MN và SO.
	b) Tính góc giữa MN và (SBD).
	HD:	a) MN = ; SO = 	b) sin.
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa:
	a) SC và (ABCD)	b) SC và (SAB) c) SB và (SAC)	d) AC và (SBC)
	HD:	a) 6000000008776540	b) arctan	c) arcsin	d) arcsin.
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a cạnh bên SA vuông góc với đáy, , M là trung điểm cạnh BC, . Tính d(D ; (SBC)) theo a.
 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính d(A; (SCD)) theo a.
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
	a) SB và AD.	b) BD và SC.
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:	
	với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:
	với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3. Thể tích của khối lăng trụ: 
	với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
	a) Tính thể tích bằng công thức
	· Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, 
	· Sử dụng công thức để tính thể tích.
	b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
	Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
	c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
	Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
	d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
	Ta có thể vận dụng tính chất sau:
	Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:
* Bổ sung
	· Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
	· Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy.
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
VẤN ĐỀ 1. KHỐI CHÓP CÓ MỘT CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
1.1 Phương pháp
Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là khối chóp có đường cao đã được xác định (chính là cạnh bên đó).
Giả thiết cạnh bên vuông góc với đáy có thể được cho trực tiếp hoặc cho gián tiếp (cho hai mặt phẳng có giao tuyến là một cạnh bên cùng vuông góc với đáy).
Để tính thể tích khối chóp ta dựa trên những giả thiết của bài toán: tính độ dài đường cao và diện tích đáy rồi lắp vào công thức tính thể tích.
Chú ý: Khi vẽ hình biểu diễn của hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy ta nên vẽ cạnh bên đó ở phương thẳng đứng để hình vẽ dễ tưởng tượng.
 1.2 Ví dụ minh họa 
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC = a và hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác có góc = 1200. Biết SA vuông góc với đáy, tam giác SBC là tam giác đều cạnh a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm của CD, H là hình chiếu của A trên BE. Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a.
Bài tập tương tự:
 Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình chóp . Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC . Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB = a, SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2. Tính thể tích hình chóp. 
Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình thoi có cạnh bằng ; và cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính theo thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và . 
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy.Góc tạo bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi E là trung điểm của BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC theo a.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 300 .Gọi M là trung điểm của BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SB.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Đường thẳng SC tạo với mặt đáy góc 600. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SD.
Bài 8: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh cạnh vuông góc với đáy và tạo với đáy một góc Tính theo thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và 
Bài 9: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , . Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và . Gọi lần lượt là trung điểm của cạnh . Tính theo thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng . 
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC = 2a, góc BAC = 1200. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
VẤN ĐỀ 2. KHỐI CHÓP CÓ MỘT MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐỈNH VÀ VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
2.1. Phương pháp
 - Xác định đường cao (đường cao của chóp là đường thẳng qua đỉnh vuông góc với đường giao tuyến giữa mp đó và mp đáy)
- Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp.
Chú ý : 
- Trước khi vẽ hình ta cần nhận xét về chân đường cao của chóp có trùng với điểm đặc biệt nào của đáy để vẽ hình cho chính xác và vẽ sao cho đường cao được dựng theo phương thẳng đứng.
- Sau khi xác định được chân đường cao ta sẽ xác định được các yếu tố (nếu cần) về góc giữa cạnh bên và mp đáy, góc giữa mặt bên và mp đáy và một số yếu tố về khoảng cách.
2.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: 
 Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN. 
Ví dụ 2: 
 Khối chóp S.ABC có BC = 2a,,. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác SAB cân tại S và tam giác SBC vuông. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và .
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a
 Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .Tính thể tích tứ diện ABCD.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có
 BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
Tính thể tích khối chóp SABC
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o. Tính thể tích của SABC. 
Bài 3: Cho hình chóp SABC có , SBC là tam giác đều cạnh a và
 (SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và (SBC) (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABC. 
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
 2) Tính thể tích khối chóp SABCD . 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD. 
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, (SAB)(ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD. 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD 
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC:đáy ABC là tam giác đều cạnh a ;Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC);Tam giác SAB đều;Gọi M là điểm thuộc cạnh bên SC sao cho .Gọi H là trung điểm của AB.Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và AM.
Bài 12: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và Tam giác vuông cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi là trung điểm của . Tính theo thể tích khối chóp và khoảng cách từ đến mặt phẳng .
VẤN ĐỀ 3. KHỐI CHÓP ĐỀU
3.1. Phương pháp.
- Khối chóp đều là khối chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
- Tính chất khối chóp đều: 
 + Đáy là đa giác đều.
 + Các cạnh bên bằng nhau và hợp với mặt đáy các góc bằng nhau.
 + Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau và hợp với mặt đáy các góc bằng nhau.
- Để tính thể tích khối chóp đều ta dựa trên những giả thiết của bài toán: tính độ dài đường cao và diện tích đáy rồi thay vào công thức tính thể tích.
Chú ý: 
Trong các bài tập của phổ thông ta thường xét hai loại khối chóp đều là khối chóp tam giác đều và khối chóp tứ giác đều.
- Khối chóp tam giác đều là khối chóp có đáy là tam giác đều, chân đường cao trùng với trọng tâm của tam giác đáy.
(Đặc biệt: Tứ diện đều là khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau).
- Khối chóp tứ giác đều là khối chóp có đáy là hình vuông, chân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo của hình vuông.
 Khối chóp tam giác đều
 Khối chóp tứ giác đều
3.2. Ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc và khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp.
Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a. Tính thể tích hình chóp đó nếu ta biết thêm một trong các yếu tố sau:
Cạnh bên bằng b.
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là .
Góc ở đáy của mặt bên là .
Góc giữa hai mặt bên là 
3. 3Bài tập tương tự: 
Bài 3. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(ABC). Suy ra thể tích khối chóp MABC.
Bài 4. Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.
CMR chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC.
Tính thể tích của khối chóp SABC. 	
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP.
Bài 4. Cho chóp tam giác đều có đường cao h, hợp với một mặt bên một góc 30o . Tính thể tích hình chóp.
Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. 
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và . 
a) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều. 
b) Tính thể tích hình chóp. 	
Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o. Tính thể tích hình chóp. 
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng nhau và bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
VẤN ĐỀ 4. KHỐI CHÓP CÓ CHÂN ĐƯỜNG CAO LÀ ĐIỂM CHO TRƯỚC HOẶC ĐIỂM ĐẶC BIỆT KHÁC
4.1. Phương pháp. Vận dụng kết quả các bài toán sau:
1. Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
2. Khối chóp có các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 
3. Khối chóp có các mặt bên nghiêng đều với đáy một góc thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy 
4.2. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên đều tạo với đáy góc , đáy ABCD là hình thoi, AB = a. 
a) Chứng minh rằng S.ABCD là hình chóp đều
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên ; hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là điểm thuộc đoạn , . Gọi là đường cao của tam giác . Chứng minh là trung điểm của và tính thể tích khối tứ diện theo .
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: , góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH).
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là