Chuyên đề Số phức - Lương Văn Huy

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung 
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai 
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 
Face: Lương Văn Huy 
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 1 
A. ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC 
I. LÝ THUYẾT: 
1.Khái niệm số phức: 
 Là biểu thức có dạng a + b i , trong đó a, b là những số thực và số i thoả 2i = –1. 
Kí hiệu là z = a + b i với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. 
 Tập hợp các số phức kí hiệu là C = {a + b i / a, b R và 2i = –1}. Ta có R  C . 
 Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0. i = a   
 Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + b i = b i . Đặc biệt i = 0 + 1. i 
 Số 0 = 0 + 0. i vừa là số thực vừa là số ảo. 
2.Số phức bằng nhau: 
 Cho hai số phức z = a + b i và z’ = a’ + b’ i . Ta có z = z  
'
'
a a
b b



 VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) 
(1)  
2 3 2 1 2 2
3 1 3 7 2 0
x y x y x
y x x y y
       
   
        
3.Biểu diễn hình học của số phức: 
 Mỗi số phức z = a + b i được xác định bởi cặp số thực (a; b). 
 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại. 
 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành 
Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo. 
 VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là: 
Az = 1 + 4 i , Bz = –3 + 0. i , Cz = 0 –2 i , Dz = 4 – i 
4.Môđun của số phức: 
 Số phức z = a + b i được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng 
Oxy. Độ dài của véctơ OM

 được gọi là môđun của số phức z. Kí 
hiệu 2 2z = a + bi = a + b 
 Tính chất 
  2 2z a b zz OM   

  0, , 0 0     z z z z 
  . ' . 'z z z z  
' '
z z
z z
  ' ' 'z z z z z z     
 VD: z = 3 – 4 i có 2 23 4 3 ( 4)z i     = 5 
 Chú ý: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) 4z a b abi a b a b a b z         
5.Số phức liên hợp: 
 Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp của z là z a bi  . 
 z = a + bi z = a - bi ; z z , z = z 
Tính chất 
 
 
      
 
1 1
2 2
; ' ' ; . ' . '; 
z z
z z z z z z z z z z
z z
;   
2 2 2.z z z a b 
  z là số thực  z z ; z là số ảo  z z  
 * Chú ý n n(z ) (z) ;i i; i i     
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung 
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai 
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 
Face: Lương Văn Huy 
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 2 
 z là số thực  z z 
 z là số ảo  z z  
 * Môđun số phức z = a + b.i (a; b  R) 2 2z OM a b z.z   

 Chú ý: z z z  C 
 Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy. 
6. Cộng, trừ số phức: 
 Số đối của số phức z = a + b i là –z = –a – b i 
 Cho z a bi  và ' ' 'z a b i  . Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i 
 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực. 
7. Phép nhân số phức: 
 Cho hai số phức z a bi  và ' ' 'z a b i  . Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2i = –1 và rút 
gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i 
 k.z = k(a + b i ) = ka + kb i . Đặc biệt 0.z = 0 z  
 z. z = (a + b i )(a – b i ) hay 22 2z.z = a + b = z 
 (a +bi)2 = a2 – b2 + 2abi . (1 +i)2 = 2i 
 (a – bi)2 = a2 – b2 -2abi . (1 – i)2 = -2i 
 VD: Phân tích 2z + 4 thành nhân tử. 2z + 4 = 2z – 2(2 )i = (z – 2 i )(z + 2 i ). 
 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực. 
8. Phép chia số phức: 
 Số nghịch đảo của số phức z a bi   0 là -1 2
1 zz = =
z z
 hay 2 2
1 a - bi=
a + bi a + b
 Cho hai số phức z a bi   0 và ' ' 'z a b i  thì 2
' '.z z z
z z
 hay 2 2
a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)=
a + bi a + b
 VD: Tìm z thoả (1 + 2 i )z = 3z – i . 
Ta có (3 – 1 – 2 i )z = i  z = 
2 2
i
i
  (2 2 ) 2 2 1 1
4 4 8 4 4
i i iz z z i        

9. Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k  N 
 4k 4k+1 4k+2 4k+3i = 1; i = i; i = -1; i = -i 
 VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = 13(2 2 )i 
62 6 6 6 19 19(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 .2 8 .2 2 2z i i i i i i             
Phần thực a = 192 , phần ảo b = 192 
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
1) Tìm các số thực x, y biết: 
a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i; 
b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 
 ĐS: a) x = 3
2
, y = 4
3
 b) x = 0, y = 1 c) x = 1 5
2
 , y = 1 3
3
 
2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: 
a) Phần thực của z bằng –2; 
b) Phần ảo của z bằng 3; 
c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2); 
d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]; 
e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2]. 
 Hướng dẫn: 
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung 
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai 
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 
Face: Lương Văn Huy 
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 3 
a) Là đường thẳng x = –2; 
b) Là đường thẳng y = 3; 
c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên; 
d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên; 
e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả 
biên. 
3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa: 
a) |z| = 1; b) |z|  1 c) 1 < |z|  2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1. 
 Hướng dẫn: 
a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b  , là đường tròn tâm O, bán kính R = 1; 
b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 2 1a b  , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; 
c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 2 21 2a b   , là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, 
bán kính lớn R = 2 tính biên; 
4) Thực hiện các phép tính sau: 
a) 2i(3 + i)(2 + 4i) b) 
2 3(1 ) (2 )
2
i i
i

 
5) Giải phương trình sau: 
b) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) (2 3 ) 5 2
4 3
z i i
i
   

 Hướng dẫn: a) z = 1 b) z = 8 9
5 5
i c) z = 15 – 5i. 
6) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt 
phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. 
 Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i. cos ;sin
6 6
F    
 
 nên F biểu diễn số 
3 1
2 2
i . C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số 3 1
2 2
i  . E đối xứng F qua Ox nên E biểu diễn số 
3 1
2 2
i . B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số 3 1
2 2
i  
7) Cho 1 3
2 2
z i   . Hãy tính: 2 3 21 ; ; ; ( ) ;1z z z z z
z
  . 
 Hướng dẫn: Ta có 1z  nên 
1 1 3
2 2
i z
z
    ; 2 1 3
2 2
z i   ; 3 2. 1z z z  ; 21 0z z   
8) Chứng minh rằng: 
a) Phần thực của số phức z bằng  1
2
z z , phần ảo của số phức z bằng  1
2
z z
i
 
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z  . 
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z . 
d) Với mọi số phức z, z, ta có ' ', ' . 'z z z z zz z z    và nếu z  0 thì ' 'z z
z z
   
 
 Hướng dẫn: ,z a bi z a bi    (1) 
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung 
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai 
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 
Face: Lương Văn Huy 
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 4 
a) Lấy vế cộng vế  Phần thực của số phức z bằng  1
2
z z . Lấy vế trừ vế  phần ảo của số phức z bằng 
 1
2
z z
i
 . 
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0  0z z z z     . 
c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0  0z z z z    . 
d) 2 2; ' ' ' ;z a bi z a b i z z a b      là số thực 
' ( ') ( ') ( ') ( ') ( ) ( ' ' ) 'z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z               
' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) . 'zz aa bb ab a b i aa bb ab a b i a bi a b i z z            
' '. '. '. '
. . .
z z z z z z z z
z z z z z z z z
         
   
9) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 4 1 4 2 4 31; ; 1;m m m mi i i i i i        
 Hướng dẫn: Ta có 4 2 2. 1i i i  
 4 4 4 4 1 4 1 4 2 4 2 4 31 1 . 1. . . 1 . 1.m m m m m m m m mi i i i i i i i i i i i i i i i i                      
10) Chứng minh rằng: 
e) Nếu u

 của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |u z

 và từ đó nếu hai điểm 1 2,A A theo thứ tự 
biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1A A z z 

. 
f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z  0 thì 
'' zz
z z
 
g) Với mọi số phức z, z, ta có ' 'z z z z   
 Hướng dẫn: 
a) z a bi  thì 2 2z a b  , u

 biểu diễn số phức z thì u

= (a; b)  2 2u a b 

 do đó | | | |u z

1 2,A A theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1A A OA OA z z A A z z      
   
b) z a bi  , ' ' 'z a b i  ,    . ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b i    , 2 2 2 2, ' ' 'z a b z a b    
Ta có   2 2 2 2 2 2. ' ' 'z z a b a b   
Ta có               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'z z aa bb ab a b aa bb ab a b a b a b           
Vậy |z.z| = |z|.|z| 
Khi z  0 ta có 2 2
' . ' . '' '.
.
z z z z zz z z
z z z zz z
    
c) u

 biểu diễn z, 'u

 biểu diễn z thì 'u u
 
 biểu diễn z + z và ' 'z z u u  
 
Khi , ' 0u u 
  
, ta có    22 2 22 2' ' 2 ' cos , ' ' 2 ' 'u u u u u u u u u u u u u u        
             
 ' 'u u u u  
   
 do đó ' 'z z z z   
11) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: 
h) 1z i  b) 1z i
z i



 c) 3 4z z i   
 Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức. 
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung 
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai 
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 
Face: Lương Văn Huy 
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 5 
a) Với z x yi    22 2 21 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1z i x y i x y x y              
Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1. 
b) Với z x yi      2 22 21 ( 1) ( 1) 1 1 0z i x y i x y i x y x y y
z i

              

Tập hợp các điểm M là trục thực Ox. 
c) Với z x yi   2 2 2 23 4 ( 3) (4 ) ( 3) (4 )z z i x yi x y i x y x y               
6 8 25 0x y    . Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6 8 25 0x y   
12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất. 
13) Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có 
10
2 9 11 ...
1
zz z z
z

    

 Hướng dẫn: 
Với z  1,     2 9 2 9 10 2 9 101 ... 1 ... 1 ... 1z z z z z z z z z z z z                 
Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân) 
14) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)? 
 a) 2 2( )z z b) 3 3( )
z z
z z


 c) 
2 2( )
1
z z
zz


 Hướng dẫn: Ta có ,z a bi z a bi    , 2 2 2 2 2 2( ) 2 , ( ) 2 ,z a b abi z a b abi      
Và 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3( 3 ) (3 ) , ( 3 ) (3 )z a ab a b b i z a ab a b b i        
Vậy 2 2 2 2( ) 2( )z z a b   là số thực; 3 3 3 2( ) 3
z z b i
z z a ab


 
 là số ảo; 
2 2
2 2
( ) 4
1 . 1
z z ab i
z z a b


  
 là số ảo. 
15) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: 
i) 2z là số thực âm; b) 2z là số ảo ; c) 2 2( )z z d) 1
z i
 là số ảo. 
 Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì 2 2 2 2 2 22 ; 2z x yi z x y xyi z x y xyi         
a) 2z là số thực âm khi xy = 0 và 2 2 0x y   x = 0 và y  0. Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O 
b) 2z là số ảo khi 2 2 0x y   y =  x. Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ. 
c) 2 2( )z z khi xy = 0  x = 0 hoặc y = 0. Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ. 
d) 1
z i
= 2 2
1 ( 1)
( 1) ( 1)
x y i
x y i x y
 

   
 là số ảo khi x = 0, y  1. Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0; 
16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau: 
j) 2 0iz i   c)  2 4 0i z   e) 2 4 0z   
k)  2 3 1i z z   d)     1 3 2 3 0iz z i z i     
 Hướng dẫn: 
a) 1 2z i  b) 1 3
10 10
z i   c) 8 4
5 5
z i  d) ; 3 ; 2 3i i i   e) 2z i  
2) Tìm : 
17) a) Cho số phức z x yi  (x, yR). Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i
z i


b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z i
z i


 là số 
thực dương. 
 Hướng dẫn: 
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung 
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai 
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 
Face: Lương Văn Huy 
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 6 
a) Phần thực là 
2 2
2 2
1
( 1)
x y
x y
 
 
, phần ảo 2 2
2
( 1)
x
x y 
b) Là số thực dương khi 0x  và 2 2 1 0x y    Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn 
hai số phức ,i i . 
18) a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức 
1 2 3, ,z z z . Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào? 
b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2 3, ,z z z thỏa 
1 2 3z z z  . Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 
1 2 3 0z z z   
 Hướng dẫn: 
a) Gọi G là trọng tâm ABC, ta có    1 2 31 13 3OG OA OB OC z z z     
   
 vậy G biểu diễn số phức 
 1 2 3
1
3
z z z z   
b) Vì OA OB OC 
  
 nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O. Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng 
O hay 1 2 3 0z z z   . 
B. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
I. LÝ THUYẾT 
1. Căn bậc hai của số phức: 
Cho số phức w, mỗi số phức z = a + b i thoả 2z = w được gọi là căn bậc hai của w. 
 w là số thực: w = a  
 a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0 
 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a 
 a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là .a i và – .a i 
 w là số phức: w = a + b i (a, b  , b  0) và z = x + y. i là 1 căn bậc hai của w khi 
2z w

   

2 2
2 x - y = a(x + yi) = a + bi
2xy = b
 Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau. 
 VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4 i . 
 ĐS: có 2 căn bậc hai của w là 1z = 1 + 2 i , 2z = –1 – 2 i . 
2. Phương trình bậc hai: 
a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực: 2 20 ( 0), 4ax bx c a b ac       . 
   0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 2
bx
a
  
 
  < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2
| |.
2
b ix
a
  
 
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung 
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai 
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 
Face: Lương Văn Huy 
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 7 
 VD: Giải phương trình 3 8 0x   
ĐS: Phương trình có 3 nghiệm 1 2 31 3. , 1 3. , 2x i x i x      
b) Phương trình bậc hai với hệ số phức: 2 20 ( 0), 4Ax Bx C A B AC       , a bi   
  = 0: Phương trình có nghiệm kép 
2
Bx
A

 
   0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2 2
Bx
A
 
 với  là 1 căn bậc hai của . 
 VD: Giải phương trình: a) 2 1 02z iz   ; b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i     
a) 2 1 02z iz   có  = –1 – 8 = – 9 = 2(3 )i . 
Phương trình có 2 nghiệm phức 1
3
4
i iz i  , 2
3 1
4 2
i iz i   
b) 2 (3 2 ) 5 5 0z i z i     có  = 2 2(3 2 ) 4(5 5 ) 9 12 4 20 20 15 8i i i i i i           = 2(1 4 )i Phương 
trình có 2 nghiệm phức 1
3 2 1 4 1 3
2
i iz i       ; 2
3 2 1 4 2
2
i iz i       
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
1) Giải các phương trình sau trên tập phức: 
a) 23 2 1 0z z    b) 27 3 2 0z z   ; c) 25 7 11 0z z   
 Hướng dẫn: 
a) 1 2
3
i b) 3 47
14
i  c) 7 171
10
i 
2) Giải các phương trình sau trên tập phức: 
a) 4 2 6 0z z   b) 4 27 10 0z z   
 Hướng dẫn: 
a) 2; 3i  b) 2; 5i i  
3) Cho a, b, c  R, a  0, 1 2,z z là hai nghiệm phương trình 
2 0az bz c   . Hãy tính 1 2z z và 1 2z z theo 
các hệ số a, b, c. 
 Hướng dẫn: 1 2z z = 
b
a
 , 1 2z z = 
c
a
4) Cho z = a + bi là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm. 
 Hướng dẫn: 
Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0  2 ( ) 0x z z x zz    . 
Với z + z = 2a, z z = 2 2a b . Vậy phương trình đó là 2 2 22 0x ax a b    
5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z w 
 Hướng dẫn: z a bi  là một căn bậc hai của w  22 2z w z w z w z w       
VD:  23 4 2i i   tức 2z i  là một căn bậc hai của 3 4w i  thì z w 
6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau: 
a) 2 1z z  b) 2 2 5 0z z   c) 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i     
 Hướng dẫn: 
a) 
2
2 1 1 5 1 5 1 52. .
2 4 4 2 4 2 2
z z z z          
 
b)      2 2 22 2 5 0 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i                  
Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – THPT Hà Trung 
Tài liệu dành cho lớp học tại Ngọc Hồi – Hoàng Mai – Huỳnh Thúc Kháng – Bạch Mai 
Liên hệ ôn thi : Gv – Lương Văn Huy – 0969141404 
Face: Lương Văn Huy 
Gv : Lương Văn Huy - LTĐH – Vinastudy.vn – Dạy bằng tất cả đam mê -Trang 8 
c)      2 21 3 8 1 2 1i i i i        Phương trình có hai nghiệm phức là 1 22 ; 1z i z i    . 
7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ số 
phức không? Vì sao? 
b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). 
c) Có phải mọi phương trình bậc hai 2 0z Bz C   (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức 
liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không? 
 Hướng dẫn: 
a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là  2 21,2 42
Bz B AC
A


 
     nên 
1 2 1 2;
B Cz z z z
A A
    . 
b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình    2 4 5 1 0z i z i     
Có  25 12 2 3i i      nên hai số cần tìm là 1 23 ; 1 2z i z i    . 
c) Phương trình 2 0z Bz C   có hai nghiệm là ;z a bi z a bi    thì   2B z z a     là số thực và 
2 2.C z z a b   là số thực. Điều ngược lại không đúng. 
8) a) Giải phương trình sau:    2 2 2 1 0z i z iz    
b) Tìm số phức B để phương trình 2 3 0z Bz i   có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. 
 Hướng dẫn: 
a)   22 0z i z i   có 3 nghiệm là 2 2 2 2; ;
2 2 2 2
i i i   . 
b) Ta có 1 2 1 2; . 3z z B z z i    nên 
     2 22 2 2 21 2 1 2 1 28 2 8 6 8 3 3z z z z z z B i B i B i                
9) Tìm nghiệm của phương trình 1z k
z
  trong các trường hợp sau: 
a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i. 
 Hướng dẫn: 21 1 0z k z kz
z
      có 2 nghiệm  2 21,2 42
kz k      
a) k = 1 thì 1,2
1 3
2 2
z i  b) k = 2 thì 1,2
2 2
2 2
z i  c)  1,22 1 2k i z i    
10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau: 
a) 3 1 0z   ; b) 4 1 0z   ; c) 4 4 0z   ; d) 4 38 8 1z z z   
 Hướng dẫn: 
a)    3 2 1 3 1 31 0 1 1 0 1, ,
2 2 2 2
z z z z z z i z i              . 
b) 4 4 21 0 1 1 1,z z z z z i            
c)    4 4 24 0 4 2 1 , 1z z z i z i z i               
d