Chuyên đề Phương trình với nghiệm nguyên

Phöông trình vôùi nghieäm nguyeân 
Lôøi daãn : Daïng toaùn naøy laø moät trong nhöõng daïng toaùn khoù trong boä moân Toaùn Soá , nhöõng phaàn maø toâi neâu ra döôùi ñaây chæ laø nhöõng daïng cô baûn nhaát . Tuy nhieân, ñeå hieåu ñöôïc noù tröôùc heát caàn naém ñöôïc Lyù thuyeát soá .
Daïng 
Phöông trình moät aån - heä soá nguyeân
Daïng toång quaùt : anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + ao = 0 (1)
Caùch giaûi : vaän duïng caùc tính chaát sau
Neáu x = b laø nghieäm cuûa phöông trình (1) thì b laø öôùc cuûa ao
Neáu an = 1 thì nghieäm höõu tæ neáu coù cuûa (1) laø soá nguyeân 
Qui taéc tìm nghieäm :
È Tìm caùc öôùc cuûa ao
È Thöû laàn löôït caùc öôùc cuûa ao vaøo veá traùi cuûa (1)
Phöông trình baäc nhaát hai aån ( Phöông trình Diophante - Giaûi tích Diophante)
{Diophante - Ngöôøi ñaàu tieân nghieân cöùu coù heä thoáng veà Phöông trình voâ ñònh , soáng ôû theá kyû thöù III.Taäp saùch “Soá hoïc “ cuûa oâng coù aûnh höôûng raát lôùn ñeán söï phaùt trieån cuûa Lyù thuyeát Soá}
Daïng toång quaùt : ax + by = c (2)
Caùch giaûi : vaän duïng caùc tính chaát sau
Giaû söû a, b, c Î Z ; a, b ¹ 0 vaø d = (a , b) . Khi ñoù :
Phöông trình (2) coù nghieäm khi vaø chæ khi d ÎÖ( c )
Neáu (xo , yo) laø moät nghieäm cuûa ax + by = 1 vôùi (a , b) = 1 thì (cxo , cyo) laø moät nghieäm cuûa phöông trình (2)
Neáu (xo , yo) laø moät nghieäm nguyeân cuûa (2) vôùi (a , b) = 1 thì moïi nghieäm nguyeân cuûa noù ñöôïc xaùc ñònh bôûi heä thöùc :
x = xo + bt
y = yo - at ; vôùi t Î Z
Thaät vaäy , vì (xo , yo) laø moät nghieäm nguyeân cuûa (2) Þ axo + byo = 1 Þ axo + byo = ax + by
Þ x = = xo + Þ { (a , b) = 1 Þ Î Z Þ y = yo - at }
Phöông trình voâ ñònh daïng x2 + y2 = z2 ( Phöông trình Pithago )
Caùch giaûi :
È Phöông trình voâ ñònh daïng x2 + y2 = z2 coù voâ soá nghieäm nguyeân xaùc ñònh bôûi coâng thöùc 
( Ñònh lyù tìm nghieäm naøy ñaõ ñöôïc bieát töø Euclide ) :
x = u.v ; y = ; z = 
vôùi u , v Î Z ; u , v leû ; u > v ; (u, v) = 1
	È Ví duï 
* Khi u = 3 ; v = 1 Þ x = 3 ; y = 4 ; z = 5
* Khi u = 5 ; v = 3 Þ x = 15 ; y = 8 ; z = 17
Phöông trình voâ ñònh daïng x2 - Py2 = 1 ( Phöông trình Pell ) ( P ÎZ+ , khoâng laø soá chính phöông )
{ Ñaây laø moät daïng phöông trình Diophante baäc 2, xuaát phaùt töø moät baøi toaùn do Archimeøde ñaët ra, baøi toaùn coù 8 aån soá thoûa maõn 7 phöông trình, ñöa ñeán vieäc tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x2 - 4729494y2 = 1 (1). Naêm 1880 ngöôøi ta ñaõ tìm ra nghieäm nguyeân döông nhoû nhaát cuûa (1) vôùi x laø soá coù 45 chöõ soá , y coù 38 chöõ soá }
Caùch giaûi :
È Phöông trình Pell coù nghieäm x = ± 1 , y = 0 ñöôïc goïi laø nghieäm taàm thöôøng .
È Phöông trình Pell luoân coù voâ soá nghieäm khoâng taàm thöôøng.
È Giaû söû xo , yo laø caùc soá nguyeân döông nghieäm ñuùng phöông trình Pell, theá thì caùc caëp soá (xo , -yo) ; (-xo , yo) ; (-xo , yo) cuõng laø nghieäm. Do ñoù ñeå tìm nghieäm khoâng taàm thöôøng cuûa phöông trình Pell, ta chæ caàn tìm caùc nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình ñoù. Taát caû caùc nghieäm nguyeân döông (xk ; yk ) cuûa phöông trình ñöôïc xaùc ñònh töø ñaúng thöùc :
vôùiù k = 1, 2, 3,...trong ñoù (x1 , y1) laø nghieäm nguyeân döông nhoû nhaát .
È Vôùi P nhoû , vieäc tìm (x1 , y1) khoâng khoù khaên laém - chuùng ta chæ vieäc thöû laàn löôït y = 1, 2, 3, 4, 5... ñeå tìm x2 = Py2 + 1 laø moät soá chính phöông .
Taïi sao P laø soá nguyeân döông khoâng chính phöông ? . Ta haõy xeùt phöông trình toång quaùt hôn, ñoù laø phöông trình : x2 - Py2 = 1 (*) trong ñoù P laø soá nguyeân döông cho tröôùc .
Vì x, y coù maët ôû veá traùi cuûa (*) döôùi daïng bình phöông neân ta coù theå haïn cheá ôû vieäc tìm caùc nghieäm nguyeân khoâng aâm .
Hieån nhieân raèng x = 1 ; y = 0 laø moät nghieäm - goïi laø nghieäm taàm thöôøng cuûa (*). Ta coøn phaûi tìm caùc nghieäm khoâng taàm thöôøng (x, y > 0)
Neáu trong phöông trình P laø moät soá chính phöông P = k2 (kÎZ+) thì (*) chæ coù nghieäm taàm thöôøng, thaät vaäy khi ñoù (*) coù daïng x2 - (ky)2 = 1 vaø chuù yù raèng hieäu cuûa hai soá chính phöông baèng 1 khi hai soá chính phöông aáy laø 1 hoaëc 0 Þ x2 = 1 ; (ky)2 = 0 Þ x = 1 ; y = 0 .
Nhö vaäy : Ñieàu kieän caàn ñeå phöông trình (*) coù nghieäm khoâng taàm thöôøng laø P khoâng phaûi laø moät soá chính phöông .
 @ Ñeå tìm söï thuù vò khi nghieân cöùu phöông trình nghieäm nguyeân , môøi caùc Baïn nghieân cöùu kyõ daõy caùc minh hoïa sau : 
Minh hoïa
Tìm nghieäm nguyeân cuûa x2 - 5x + 6 = 0
Nghieäm nguyeân neáu coù phaûi laø öôùc cuûa 6, bao goàm caùc soá : ± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6
Ñaët f( x ) = x2 - 5x + 6 Þ f( 2 ) = f( 3 ) = 0 Þ Phöông trình coù 2 nghieäm nguyeân x = 2 ; 3
Tìm nghieäm höõu tæ cuûa 3x2 - 5x + 2 = 0 (1)
Ta coù (1) Û 9x2 - 5.3x - 6 = 0 ; ñaët 3x = t Þ t2 - 5t - 6 = 0 (2)
Nghieäm nguyeân neáu coù cuûa (2) phaûi laø öôùc cuûa 6 ; deã thaáy (2) coù hai nghieäm t = -1 , t = 6
Khi t = -1 Û 3x = -1 Û x = -
Khi t = 6 Û 3x = 6 Û x = 2
{Phöông phaùp ñaët lieân tieáp caùc aån phuï }
Tìm caùc nghieäm nguyeân cuûa phöông trình 8x + 11y = 73
Vì (8 , 11) = 1 neân phöông trình coù nghieäm nguyeân 8x = 73 - 11y Þ x = 9 - y + .
Ñaët = t Î Z Þ Ta coù : 3y + 8t = 1 Þ 3y = 1 - 8t Þ y = -3t + 
Ñaët = u Î Z Þ Ta coù : t = 3u - 1
Vaäy : x = 9 - y + t ; y = -3t + u ; t = 3u - 1 Þ x = 11u + 5 ; y = -8u + 3 vôùi u Î Z
Tìm nghieäm nguyeân döông , nhoû nhaát ( x , y ) cuûa phöông trình 17x - 29y = 100 (1)
Vì (17 , 29) = 1 Þ phöông trình coù nghieäm nguyeân 
(1) Þ x = 6 + 2y - . Ñaët = t Î Z Þ y = 3t + 2. ; ñaët = u Î Z Þ t = 5u + 1
Vaäy : x = 29u + 11 ; y = 17u + 3
Vì x , y > 0 Þ 29u + 11 > 0 vaø 17u + 3 > 0 Þ u > vaø u Î Z Þ u = 0 , 1 , 2 , ...
Nghieäm nguyeân döông nhoû nhaát laø x = 11 ; y = 3 khi u = 0
{Söû duïng tính chia heát cuûa ña thöùc }
Tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình : 
Ta coù yz = x - 1 + Þ 1 + 2y - x = 0 hoaëc 1 + 2y - x ³ xy + 1
Neáu 1 + 2y - x = 0 thì yz = x - 1 neân yz = 2y Þ z = 2 ; y = t Î N* ; x = 1 + 2t
Neáu 1 + 2y - x ³ xy + 1 thì 2y ³ x(y + 1) hay x £ Þ x = 1 ; y = 1 ; z = 2
Tìm nghieäm (x , y) nguyeân cuûa phöông trình : y2 = x5 + 2x4 - 3x3 - 4x2 + 4x
Ta coù y2 = x.(x - 1)2(x + 2)2 Þ x = t2 vôùi t Î Z Þ y = ± t.(t2 - 1)(t2 + 2) hoaëc khi x = -2 thì y = 0
Vôùi moïi x nguyeân döông, chöùng minh raèng caùc ña thöùc sau ñaây chia heát cho ña thöùc x2 + x + 1
x11 + x28 + x1953
x7 + x11 + x1995
Ta coù 	x3 = x3 + x2 + x - x2 - x - 1 + 1 = (x2 + x + 1)(x - 1) + 1 º 1 (mod x2 + x + 1 )
Þ vôùi k Î N : x3k º 1k º 1 ; x3k + 1 º x ; x3k + 2 º x2 (mod x2 + x + 1 )
Þ vôùi 3 soá a, b, c chia cho 3 cho caùc soá dö khaùc nhau ñoâi moät thì xa + xb + xc º 0 (mod x2 + x + 1 )
{ Töông töï : Chöùng minh raèng x7 + x11 + x1995 chia heát cho ña thöùc x2 - x + 1 }
Cho p laø moät soá nguyeân toá , haõy giaûi phöông trình trong taäp Z
Ta coù 	y = x + 1 + p + Þ x - 1 = ± 1 ; ± p
Toàn taïi hay khoâng nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 2x - 3y = - 5xy + 39
Ta coù 2x - 3y = - 5xy + 39 Û 2x = y.(3 - 5x) + 39 Þ y = 
Ñeå y nguyeân thì ñieàu kieän caàn ( chöa laø ñk ñuû ) laø ô2x - 39ô³ ô3 - 5xô Þ (2x - 39)2 ³ (3 - 5x)2
Û (2x - 39)2 - (3 - 5x)2 ³ 0 Û ( -3x - 36)(7x - 42) ³ 0 Û -12 £ x £ 6
Tìm ngieäm nguyeân cuûa phöông trình 5x - 3y = 2xy - 11
Ta coù y = Þ ñeå yÎ Z , ta caàn coù ô5x + 11ô ³ ô2x + 3ôÛ (5x + 11)2 ³ (2x + 3)2 
Û . Nhöng y = Þ y nguyeân khi x = -5 Þ (x , y) = (-5 , 2) laø moät nghieäm
Vôùi x ¹ -5, ta thaáy ñkc ñeå y nguyeân laø ôx + 5ô ³ ô2x+ 3ô Û Û x = -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 . 
 Chöùng minh raèng phöông trình : 4x2 + 231y2 = 1613 voâ nghieäm trong taäp soá nguyeân
Ñaët X = x2 ³ 0 ; Y = y2 ³ 0 Þ 4X + 231Y = 1613 Þ X = 
Þ 1 + Y = 4t ( tÎZ ) Þ Y = 4t - 1 ; X = 403 - 58(4t - 1) + t = 461 - 231t
Ta thaáy Y ³ 0 khi t ³ ; X ³ 0 khi t £ < 2 Þ ñeå X , Y cuøng khoâng aâm thì t = 1.
Nhöng t = 1 thì Y = 3 = y2 Þ y Ï Z Þ ñpcm !
 Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x2 - 81y2 = 1
 Ta coù y = 0 Þ x = ± 1. Ta tìm caùc nghieäm nguyeân döông ñeå suy ra caùc nghieäm coøm laïi .
Phöông trình ñaõ cho coù theå vieát laïi thaønh 1 = (x + 9y)(x - 9y)
Do x , y > 0 neân x + 9y > 0 Þ x - 9y > 0 Þ x + 9y = 1 Þ ; x - 9y = 1 Þ x = ; y = 0 : giaù trò khoâng thoûa. 
Þ phöông trình ñaõ cho chæ coù nghieäm : (x , y) = (1 , 0) ; (-1 , 0)
Þ Toång quaùt : 
Phöông trình x2 - k2y2 = 1 vôùi kÎ N chæ coù nghieäm taàm thöôøng x = ±1 ; y = 0
Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình x2 + 3y2 = 6xy - 6 (1)
(1) vieát laïi nhö sau : x2 - 6xy + 3y2 + 6 = 0
Ñeå phöông trình coù nghieäm x nguyeân thì ñieàu kieän caàn vaø ñuû (do heä soá x2 laø 1) laø D = 6y2 - 6 = m2 : laø moät soá chính phöông .
Roõ raøng m2 laø boäi 6 Þ m laø boäi 6 Þ xem m = 6t vôùi t ÎZ Þ y2 - 6t2 = 1 : Phöông trình Pell
Þ Nghieäm taàm thöôøng laø (y , t) = (1 , 0) ; (-1 , 0) vaø nghieäm nguyeân döông nhoû nhaát laø y1 = 5 ; t1 = 2
Þ Caùc nghieäm nguyeân döông (yk , tk) ñöôïc xaùc ñònh töø ñaúng thöùc : 
Giaûi phöông trình trong taäp soá nguyeân : 3x2 + 48y2 = 1003 + 30xy (1) 
Xem (1) laø moät phöông trình baäc II theo x : 3x2 - 30xy + 48y2 - 1003 = 0
Þ D‘ = 81y2 + 3009 = k2 : laø soá chính phöông ñeå coù x nguyeân ( kÎZ+)
Þ k2 - 81y2 = 3009 Þ (k + 9y)(k - 9y) = 3.17.59 . Vì k + 9y > k - 9y
Þ Xaûy ra 4 khaû naêng sau ñaây :
Trong tröôøng hôïp naøo ta cuõng thaáy y khoâng nguyeân Þ Baøi toaùn voâ nghieäm !
{ Chuù yù , deã daøng keát luaän ngay baøi toaùn voâ nghieäm vì 1003 khoâng chia heát cho 3 }
Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình sau ñaây : 9x2 - 15xy + 4y2 + 38 = 0 (1)
Xem (1) laø phöông trình coù aån x vaø tham soá laø y .
Ñeå x nguyeân , ñieàu kieän caàn laø D = 81y2 - 1368 = k2 : chính phöông (k ³ 0) (2)
Nhaän thaáy 81y2 - k2 = 1368 chæ chöùa luõy thöøa baäc chaün neân chæ vieäc tìm caùc nghieäm nguyeân döông seõ suy ra caùc nghieän coøn laïi .Töø ñoù (2) coù theå vieát laïi laø : (9y + k)(9y - k) = 23.32.19 . Vì y, k > 0 Þ 9y + k > 0 Þ 9y - k > 0 vaø do (9y + k) + (9y - k) = 18y Þ Ta chæ xeùt 2 tröôøng hôïp toång hai soá laø boäi cuûa 18 .
Þ x = 
Þ caùc nghieäm laø (x , y) = (3 , 7) ; (-3 , -7)
Þ x = 
Þ caùc nghieäm laø (x , y) = (17 , 13) ; (-17 , -13)
Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 2x2 + 3y2 - 5xy + 3x - 2y - 3 = 0 (1)
Xem phöông trình laø baäc II ñoái vôùi x . Khi ñoù (1) Û 2x2 + (3 - 5y)x + 3y2 - 2y - 3 = 0
Ñeå coù x nguyeân thì ñieàu kieän caàn laø D = y2 - 14y + 33 = k2 ( k nguyeân khoâng aâm) (2)
Xem (2) laø phöông trình baäc II ñoái vôùi y Þ { (2) Û y2 - 14y + 33 - k2 = 0 } vaø d‘(2) = 16 + k2 = m2 
( m ÎZ+)
Vì m > k ³ 0 ; 16 = (m + k)(m - k) maø m + k > 0 Þ m - k > 0 . Ñeå yù (m + k) + (m - k) = 2m neân chuùng ñoàng thôøi chaün hay leû . Ta coù baûng :
Þ m = 5 ; k = 3
Þ ( x , y ) = (15 , 12) ; (1 , 2)
Þ ( x , y ) = (13 , 11) ; (3 , 3)
( Söû duïng tính chaát cuûa soá nguyeân toá )
Tìm 3 soá nguyeân toá khaùc nhau bieát tích cuûa 3 soá ñoù gaáp 3 laàn toång cuûa chuùng .
Goïi 3 soá nguyeân toá ñoù laø a , b , c Þ abc = 3( a + b + c ) Þ abc 3 Þ coù moät soá chia heát cho 3, giaû söû laø soá a3 . Vì a nguyeân toá neân a = 3 Þ b + c = 3 + b + c Þ b( c - 1 ) = 3 + c Þ = 1 + Þ c - 1ô4
Töø ñoù tính ñöôïc c = 2 Þ b = 5 ; c = 5 Þ b = 2
Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x53 + y53 = 53z (1)
Vì z ÎZ Þ x53 + y53 53. Vì 53 laø soá nguyeân toá neân theo ñònh lyù Fermat : x53 - x 53 vaø y53 - y 53
Khi ñoù (1) Û 53z = (x53 - x) + (y53 - y) + (x + y) coù nghieäm Û x + y = 53t ( t Î Z )
Þ Nghieäm baøi toaùn : x = u (u ÎZ) ; y = 53t - u ; z = 
Giaûi phöông trình 1 + p + p2 + p3 + p4 = x2 (1) ( p nguyeân toá , x nguyeân )
Ta coù (1) Û 4x2 = 4 + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 (2)
Maët khaùc : (2x)2 = 4x2 > 4p4 + 4p3 + p2 = ( 2p2 + p)2 vaø (2x)2 = 4x2 < 4p4 + p2 + 4 + 4p3 + 8p2 + 4p = ( 2p2 + p + 2)2 Þ (2x)2 = ( 2p2 + p + 1)2 (3) . Töø (2) & (3) Þ p2 - 2p - 3 = 0 Þ p = -1 (loaïi) hoaëc p = 3 .
Vôùi p = 3 Þ x = 121 Þ nghieäm phöông trình ( p , x ) = ( 3 , 11 ) ; ( 3 , -11)
Coù hay khoâng caùc soá nguyeân toá x , y , z thoûa maõn phöông trình : x2 + y3 = z4 (1) ( Voâ ñòch LX laàn thöù 14 - 1980 )
Töø (1) , ta thaáy 3 soá x, y, z khoâng cuøng leû Þ coù ít nhaát moät soá baèng 2 .
Neáu z = 2 thì x2 + y3 = 16 Þ y < 3 Þ x2 = 8 (voâ lyù !).
Neáu y = 2 thì 8 = (z2 + x)(z2 - x) , maø z2 + x > 0 Þ z2 - x > 0 vaø (z2 + x) + (z2 - x) = 2z2 Þ phaân tích 8 = 2.4 , nhöng khi ñoù 2 + 4 = 2z2 Þ z khoâng nguyeân (loaïi)
Neáu x = 2 thì y3 = (z2 + 2)(z2 - 2) vaø do(z2 + 2) - (z2 - 2) = 4 Þ y = 2 hoaëc z2 - 2 = 1(loaïi). x = 2 Þ y = 2 Þ z chaün Þ z = 2 : khoâng nghieäm ñuùng phöông trình Þ Baøi toaùn voâ nghieäm !
Tìm hai soá x, y nguyeân vaø soá nguyeân toá p sao cho : x4 + 4y4 = p (1)
Ta thaáy ñeå p nguyeân toá thì x ¹ 0 hay y ¹ 0 ; (1) chæ chöùa luõy thöøa baäc chaün cuûa x, y neân tröôùc heát ta xeùt caùc x, y nguyeân döông. Ta coù p = (x2 + 2y2)2 - 4x2y2 = [(x - y)2 + y2][(x + y)2 + y2]
Vì (x + y)2 + y2 > 0 Þ (x - y)2 + y2 = 1 Þ x = y = 1 ; z = 5 Þ coù 4 boä nghieäm !
Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : 1 + x + x2 + x3 = y3 ( Thi Toaøn quoác lôùp 9 - 1982 )
Nhaän thaáy : 1 + x + x2 = (x + )2 + > 0 Þ y3 > x3 Þ y > x Þ y ³ x + 1
Neáu y = x + 1 thì 1 + x + x2 + x3 = (x + 1)3 Þ 2x (x + 1) = 0 Þ (x , y) = (0 , 1) ; (-1 , 0)
Neáu y > x + 1 thì 2x2 + 2x < 0 Þ -1 < x < 0 : loaïi !
Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x2 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3)
Ñaët a = y2 + 3y Þ x2 = (y2 + 3y)( y2 + 3y + 2) = a2 + 2a .
Neáu a > 0 thì a2 < x2 = a2 + 2a < a2 + 2a + 1 = (a + 1)2 Þ x2 : khoâng chính phöông ( Voâ lyù ! )
Vaäy a £ 0 Þ y2 + 3y £ 0 Û -3 £ y £ 0 Þ (x , y) = (0 , 0) ; (0 , -1) ; (0 , -2) ; (0 , -3)
Tìm boä soá (x , y , u , v) nguyeân thoûa maõn ñaúng thöùc :
 (1)
Deã thaáy raèng : Þ Veá traùi (1) £ 1
Vaäy daáu ‘=‘ xaûy ra khi ôxô=ôyô=ôuô=ôvô= 2 Þ x , y , u , v nhaän caùc giaù trò tuøy yù 2 hoaëc -2 .
Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : ô12x2 - 3x - 2ô= 5y - 8x - 2x2 (1)
Töø (1) Þ 
Xeùt x = 0, 1, 2 Þ 5y = 2, 13, 24 Þ y khoâng nguyeân
Xeùt 5y = 4x2 + 5x - 2 Þ 4x2 - 2 5 vaø do 4x2 - 2 2 Þ 2x2 º 1 (mod 10) Þ x Ï Z Þ Baøi toaùn voâ nghieäm !
Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình : x3 = y3 + 2y2 + 3y + 1 (1)
Töø (1) Þ x3 + y2 = (y + 1)3 Þ x £ y + 1. Vì x3 - y3 = 2y2 + 3y + 1 ³ 0 vôùi moïi y nguyeân Þ x ³ y.
Þ x = y hoaëc x = y + 1 Þ nghieäm cuûa phöông trình : ( x , y ) = (-1 , -1) ; (1 , 0 )
Tìm nghieäm (x , y , z) nguyeân thoûa maõn ñaúng thöùc : 4xy - x - y = z2 (1)
Ta coù : (1) Û (4x - 1)(4y - 1) = 4z2 + 1. Goïi p laø öôùc nguyeân toá baát kyø cuûa 4x - 1 (hieån nhieân p cuõng laø öôùc cuûa 4z2 + 1) Þ 4z2 º -1 (mod p) Þ (2z)p - 1 º 1 (mod p) {ñònh lyù nhoû Fermat } Þ (mod p)
Töø ñoù : 1 º (mod p) Þ p - 1 = 4k (kÎZ+) Þ p = 4k + 1 . Vaäy moïi öôùc nguyeân toá cuûa 4x - 1 ñeàu coù daïng 4k + 1 Þ 4x - 1 cuõng coù daïng 4k + 1 hay 4x - 1 = 4k + 1 Þ 4(x - k) = 2 Þ 2 4 ( voâ lyù ! ) Þ Vno !
Tìm nghieäm x , y nguyeân döông cuûa phöông trình : y2 = x2 + 12x + 1995 (1)
Töø phöông trình (1), ta coù y2 = (x + 6)2 + 1959 ³ 1959 Þ y ³ 45 .
Maët khaùc -1959 = (x + 6)2 - y2 = (x + y + 6)(x - y + 6) vôùi x + y + 6 ³ 52 vaø 1959 = 3 . 653
Þ x + y + 6 = 653 ; x - y + 6 = -3 hoaëc x + y + 6 = 1959 ; x + 6 - y = -1
Þ nghieäm phöông trình : ( x , y ) = ( 319 , 328) ; (937 , 944)
Tìm caùc soá töï nhieân n sao cho : k2 = n2 + 6n + 1989 (1) laø moät soá chính phöông
Töø (1) Þ k ³ 45 vaø (n + k + 3)(n - k + 3) = -22.32.5.11
Maët khaùc n + k + 3 > n - k + 3 vaø (n + k + 3) + (n - k + 3) laø soá chaün Þ (n + k + 3 , n - k + 3) = (990 , -2) ; (330 , -6) ; (198 , -10) ; (110 , -18) ; (90 , -22) ; (66 , -30) .
Þ n Î { 491 , 159 , 91 , 43 , 31 , 15 }
Giaûi phöông trình trong taäp Z :
xy.(y + 4) = 4.(289y - x) (1)
Neáu x = 0 thì y = 0
Neáu y ¹ 0 thì (1) Û (y + 2)2 = 1156 = 22.172
Þ x y vaø (y + 2)2 laø öôùc chính phöông cuûa 1156
Þ (y + 2)2 = 1 , 4 , 172 Þ coù 6 nghieäm !
4x + 1 = y3 + 8y (2)
Ta coù (2) Û 4(x - 2y) = y3 - 1 
Þ { x - 2y nguyeân Û y - 1 = 4t , tÎZ}
Þ y = 4t + 1
vaø x = 16t3 + 12t2 + 11t + 2 ; tÎZ
Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân sau : x2 + y2 + z2 = x2y2 (1)
{ Theo mod 4, neáu x2 º y2 º 1 Þ x2 . y2 º 1 Þ x2 + y2 + z2 º 1 Þ z2 º 1 ( voâ lyù ! ) } Þ x, y khoâng theå ñeàu laø soá leû Þ x chaün hoaëc y chaün Þ x2 . y2 4 Þ x2 + y2 + z2 4 Þ x = 2x1 ; y = 2y1 ; z = 2z1 Þ x12 + y12 + z12 = 4x12y12 (2).
Nhö vaäy, neáu (x, y, z) laø nghieäm (1) thì x1 ; y1 ; z1 laø nghieäm cuûa (2). Tieáp tuïc nhö vaäy, ta coù : laø nghieäm cuûa x22 + y22 + z22 = 16x22y22 (2). Quaù trình naøy coù theå tieáp tuïc maõi vaø khi ñoù caùc soá chaün vôùi moïi k Þ (x, y, z) chæ coù theå laø (0, 0, 0) .
Giaûi caùc phöông trình nghieäm nguyeân sau :
x6 + 3x3 + 1 = y4
Neáu x > 0 thì (x3 + 1)2 < x6 + 3x3 + 1 = y4 < x6 + 4x3 + 4 = ( x3 + 2)2 Þ $ y2 : (x3 + 1)2 <y2< ( x3 +2)2 Þ $ y4 !
Neáu x £ - 2thì ( x3 + 2)2 < x6 + 3x3 + 1 = y4 < x6 + 2x3 + 1 = (x3 + 1)2 : voâ lyù !
Neáu x = -1 thì y4 = -1 ( loaïi )
Vaäy x = 0 ; y = ± 1 : hai nghieäm duy nhaát !
(x + 2)4 - x4 = y3 (1)
Ta coù (1) Û y3 = 8(x3 + 3x2 + 4x + 2) = (2z)2 vôùi z2 = x3 + 3x2 + 4x + 2
vôùi x £ 0 Þ (x + 1)3 < z3 < (x + 2)3 Þ x + 1 < z < x + 2 Þ voâ lyù !
vôùi x ³ -2 Þ ñaët x1 = -x -2 ³ 0 , y1 = -y Þ x1 vaø y1 thoûa maõn (x1 + 2)4 - x14 = x4 - (x + 2)4 = -y3 : ñieàu naøy khoâng theå coù vôùi x1 ³ 0 .
Vaäy -2 < x < 0 Þ x = -1 ; y = 0 : nghieäm duy nhaát !
{ Söû duïng Phöông phaùp xuoáng thang }
Chöùng minh raèng phöông trình sau ñaây khoâng coù nghieäm nguyeân : 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4 (1)
Giaû söû raèng (1) coù nguyeäm nguyeân (x, y, z, t) vôùi x laø giaù trò nhoû nhaát trong caùc giaù trò coù theå coù .
Töø (1), ta nhaän thaáy t chaün - xem t = 2t1 ; theá vaøo (1) vaø chia cho 2 ta coù : 4x4 + 2y4 + z4 = 8t14 (2)
Þ z chaün - xem z = 2z1 ; thay vaøo (2) Þ 2x4 + y4 + 8z14 = t14 . 
Töông töï ,ta coù : y = 2y1 Þ x4 + 8y14 + 4z14 = 2t14 vaø cuoái cuøng x = 2x1 Þ 8x14 + 4y14 + 2z14 = t14 Þ (x1 , y1 , z1 , t1) cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho , nhöng ôû nghieäm naøy ta thaáy x1 < x : maâu thuaãn caùch choïn nghieäm ñaàu coù x beù nhaát ! Þ (1) voâ nghieäm !
Tìm ñieàu kieän caàn vaø ñuû cho soá k ñeå phöông trình : x2 - y2 = k coù ít nhaát moät nghieäm nguyeân .
x2 - y2 = k coù nghieäm nguyeân Þ k ¹ 4t + 2 (*) (soáø dö soá chính phöông trong pheùp chia cho 4) 
 k ¹ 4t + 2 :
k chaün 	Þ { (*) Þ k = 4m } 	Þ x = m + 1 ; y = m - 1 	laø nghieäm phöông trình .
k leû 	Þ { (*) Þ k = 2n + 1 } 	Þ x = n + 1 ; y = n 	laø nghieäm phöông trình .
Vaäy : Phöông trình x2 - y2 = k coù ít nhaát moät nghieäm nguyeân Û k ¹ 4t + 2 ( tÎZ )
Chöùng minh raèng phöông trình x2 + y2 + z2 + t2 = 2xyzt (1) khoâng coù nghieäm nguyeân
 (khaùc taàm thöôøng )
Giaû söû raèng phöông trình coù nghieäm nguyeân (x, y, z, t) . Vì x2 + y2 + z2 + t2 chaün Þ trong caùc soá x, y, z, t coù moät soá chaün caùc soá leû ( hoaëc 0 hoaëc 2 hoaëc 4 ).
Neáu taát caû ñeàu leû thì x2 + y2 + z2 + t2 4 trong khi 2xyzt khoâng chia heát cho 4
Neáu chæ coù hai soá leû thì x2 + y2 + z2 + t2 khoâng chia heát cho 4 trong khi 2xyzt 4. Vaäy x, y, z, t cuøng chaün Þ xem x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1, t = 2t1 ; thay vaøo phöông trình ñaõ cho ta ñöôïc : x12 + y12 + z12 + t12 = 8x1y1z1t1 . Laäp luaän töông töï nhö treân cho phöông trình naøy, ta ñöôïc caùc nghieäm phaûi chaün Þ x1 = 2x2 , y1 = 2y2 , z1 = 2z2 , t1 = 2t2 Þ ta ñöôïc : x22 + y22 + z22 + t22 = 32.x2y2z2t2 .
Moät caùch toång quaùt, xuaát phaùt töø nghieäm (x, y, z, t) baèng phöông phaùp “xuoáng thang” ta ñi ñeán phöông trình : xs2 + ys2 + zs2 + ts2 = 22s + 1.xsyszsts trong ñoù : [x , y , z , t]k = 2[x , y , z , t]k + 1 ( k ³ 1 )
Þ vôùi moïi soá töï nhieân s : laø caùc soá nguyeân - ñoù laø ñieàu khoâng theå coù ñöôïc khi x,y,z,t nguyeân. 
Giaûi phöông trình nghieäm nguyeân sau : x14 + x24 + x34 + ... + x144 = 1599
Chuù yù raèng , vôùi n = 2k Þ n 4 = 16k4 16 vaø vôùi n = 2k + 1 Þ n4 - 1 = (n2 - 1)(n2 + 1) 16
Nhö vaäy khi chia x14 + x24 + x34 + ... + x144 cho 16 thì soá dö coù ñöôïc baèng soá caùc soá leû trong caùc soá xi , töùc laø khoâng vöôït quaù 14 ; trong khi ñoù 1599 = 1600 - 1 chia cho 16 coù soá dö laø -1 hay 15 Þ Phöông trình voâ nghieäm !