Chuyên đề Phương trình lượng giác - Chủ đề 7: Phương trình lượng giác biến đổi về phương trình tích - Nguyễn Quốc Tuấn

Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 144 
Chu ̉ đề 7: Phương trình lượng giác biến đô ̉i về 
phương trình ti ́ch. 
A. Phương pháp gia ̉i toa ́n 
Phương trình lượng giác biê ́n đổi vê ̀ phương trình ti ́ch là dạng toa ́n du ̀ng 
ca ́c quy tă ́c, công thức đê ̉ đưa phương trình vê ̀ da ̣ng tích cu ̉a hai biê ̉u 
thức đô ́i với hàm số lượng giác đê ̉ gia ̉i. Dạng toán na ̀y thường kê ́t hợp với 
những da ̣ng toa ́n kha ́c. Chă ̉ng ha ̣n: Phương trình bâ ̣c nhâ ́t đô ́i với sinx va ̀ 
cosx, phương trình cơ ba ̉n đô ̉i với 1 hàm số lượng giác, phương trình bâ ̣c 
hai đô ́i với mô ̣t hàm số lượng giác. Để gia ̉i tốt loa ̣i na ̀y, ca ́c em học sinh 
cu ̃ng câ ̀n co ́ được những ky ̃ năng phân ti ́ch đa thức tha ̀nh nhân tử 
Công thức chung: 
0
. 0
0
A
A B
B

   
BÀI TẬP TRẮC NGHIÊ ̣M CO ́ HƯỚNG DÂ ̃N GIA ̉I 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với: 
 1 sin 2 cos 2x x   
22sin cos 2sin 0 2sin cos sin 0x x x x x x      
Cho ̣n đáp án B. 
Bài tập 1: Cho phương trình 1 sin 2 cos 2x x  . Phương trình trên khi 
phân ti ́ch được phương trình tích ta được phương trình nào sau đây? 
a.  sin cos sin 0x x x  b.  sin cos sin 0x x x  
c.  cos cos2 sin 2 0x x x  d.  sin cos2 sin 2 0x x x  
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 145 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Pt đã cho tương đương với: 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0 
 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0  (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 
 




)(07sin2cos6
0sin1
VNxx
x
  

2
2
kx  
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: 

2
2
kx 
 k
Cho ̣n đáp án C. 
Ba ̀i tập 2: Giải phương trình 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 . 
Cho ̣n mệnh đề đúng? 
a. Phương trình trên được phân tích thành (1-sinx)(6cosx -2sinx + 7) = 0 
b. Phương trình có bộ nghiệm là: 
2
2
2
4
x k
x k





 

   

  k 
c. Phương trình đa ̃ cho tương đương với phương trình sin 1x  
d. Phương trình trên có ba bộ nghiệm. 
Bài tập 3: Cho phương trình lượng giác 2cos sin 3 2cos 2 1x x x  . 
Nghiê ̣m dương nhỏ nhất của phương trình là: 
a. 
6

 b. 
4

 c. 
3

 d. 
3
4

Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 146 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với:  sin 2 2cos 2 1 2cos 2 1x x x    
  sin 2 1 2cos 2 1 0x x     
sin 2 1 0 4
2cos 2 1 0
3
x k
x
k
x
x k





  
        

 
Cho ̣n đáp án B. 
 Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với: 2 3 sin x cos x 2sin x cos x 3 0    
   2sin x 1 cos x 3 0    
* cos x 3 0  : Vô nghiệm. * 2sin x 1 0 
x k2
6
5
x k2
6





 
 
  

Bài tập 4: Cho phương trình: 2 3sin x cos x sin 2x 3   . 
Cho ̣n phát biểu đúng. 
a. Phương trình có nghiệm là 
x arccos 3 k2
x k2
6
5
x k2
6





   

  


  

 k
b. Phương trình trên được phân ti ́ch tha ̀nh:   sin x 1 2cos x 3 0    
c. Phương trình đa ̃ cho vô nghiệm
d. Phương trình đa ̃ cho tương đương với phương tri ̀nh 2sin 1 0x   
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 147 
Vậy nghiệm của phương trình là x k2 ;
6

  , 
5
x k2
6

 
 k
Cho ̣n đáp án D. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với: 
 22 3sin cos 2sin 4sin 0 2sin 3 cos sin 2 0x x x x x x x       
 
sin 0
sin 0
, .
sin 1 23 cos sin 2
3 6
x x kx
k
x x kx x

 

                  

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là:  ,
2
6
x k
k
x k




 
  

 
Cho ̣n đáp án D. 
Bài tập 5: Giải phương trình: 3sin 2 cos2 4sin 1x x x   . Chọn 
phát biểu không đúng 
a. 0x  cũng là một nghiệm của phương trình đã cho 
b. Tồn tại điểm biểu diễn nghiệm của phương trình thuộc vào góc phần tư 
thứ nhất. 
c. Có ít nhất hai điểm biểu diễn nghiệm của phương trình nằm trên trục 
hoành của đường tròn lượng giác . 
d. Phương trình đã cho tương đương với phương trình 3 cos sin 2x x  
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 148 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với: 
      cos2 1 2sin 1 2sin 0 os2 1 1 2sin 0x x x c x x        
Cho ̣n đáp án A. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với: 2 4 2 4 cos x cos x cos x 
4 2 2 1 0  cos x( cos x )
4 0 4
8 42
1
2
2 22
3 6
  
      
   
             
cos x x kx k
cos x
x k x k
Bài tập 7: Số điểm biểu diễn nghiệm phương trình lượng giác: 
2 6 4 cos x cos x cos x la ̀: 
a. 2 b. 4 c. 8 d. 10 
Bài tập 6: Khi phân ti ́ch phương trình: 
cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0    vê ̀ daṇg phương trình tích, ta được phương 
trình nào sau đây? 
a.   os2 1 1 2sin 0c x x   b.   os2 1 1 2sin 0c x x   
c.    os 1 1 2sin 0c x x   d.   os2 1 1 sin 0c x x   
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 149 
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: 
8 4
6
 
 

    

x k
x k
 k
Cho ̣n đáp án D. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i
Phương trình đã cho tương đương với: 
   0)1sin(coscossin0)cos)(sincos21(2cos  xxxxxxxx 
sin cos 0
cos sin 1 0
x x
x x
 
     
 sin cos 0x x   2 sin 04
x
 
  
 

4
x k

  
 k
cos sin 1 0x x   v
2
2 sin 1
4 2
2
x k
x
x k
  
            

Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm: 
 , 2 , 2
4 2
x k x k x k k
 
         
Cho k=0 ta nhâ ̣n được đáp án B. 
Ba ̀i tâ ̣p 8: Cho phương trình: 0)cos)(sincos21(2cos  xxxx . Bô ̣ ba 
sô ́ na ̀o sau đây cu ̃ng la ̀ nghiê ̣m cu ̉a phương tri ̀nh đa ̃ cho 
a. ; ;
6 4 2
   
 
 
 b. ; ;
4 2
 

 
 
 
 c. 
5
; ;
4 4
 

 
 
 
 d. 
3 7
; ;
4 8 8
   
 
 
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 150 
 Hướng dẫn giải 
Phương trình đã cho tương đương với: sin 3 sin 2 sin 0x x x   (2) 
 2sin2xcosx – sin2x = 0  sin2x(2cosx – 1) = 0 
+ sin2x = 0 ( )
2
x k k

   + 
2
1 3
cos ( )
2
2
3
x k
x k
x k





 
  
   

 
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: 
2
2 ( )
3
2
3
x k
x k k
x k








   


   


Cho ̣n đáp án C. 
Bài tập 9: Nghiê ̣m của phương trình: sin 3 sin 2 sin 0x x x   ( x  R) 
a. 
2
2
2 ( )
3
2
3
x k
x k k
x k







 

   


   

 b. 
2
2 ( )
3
2
2
3
x k
x k k
x k








   


  

 
c. 
2
2 ( )
3
2
3
x k
x k k
x k








   


   


d. 
2
2 ( )
6
2
6
x k
x k k
x k








   


   

 
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 151 
 Hướng dâ ̃n gia ̉i
Phương trình đã cho tương đương với: 
2sin cos (1- cos 2 ) 2sin 2sin (cos sin -1) 0x x x x x x x    
 sin 0
2
4 42 sin( ) 1 2
4 23
2
4 4
x k
x x k
x k
x x k
x k


 
 

 


 
  
      
    
  
   

  k 
Chọn đa ́p a ́n D. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Bài tập 11: Cho pt: 2 1 4 2sin x cosx cos x.   Chọn pha ́t biê ̉u đúng. 
a. Phương trình vô nghiê ̣m 
b. Điê ̀u kiện xác định của phương trình là 
2

  x k .
 k
c. Phương trình đa ̃ cho tương đương với phương trình 2sin 1x  
d. 0x  cũng là một nghiệm của phương trình 
Bài tập 10 : Cho pt: sin2x – cos2x = 2 sinx – 1. Cho ̣n mệnh đề đúng 
a. Phương trình đã cho tương đương với phương trình sin cos 1x x  
b. 
4
x

 là một nghiệm của phương trình 
c. Nghiệm của phương trình giao với nghiệm của phương trình tan 0x  là tập Rỗng 
d. Nghiệm của phương trình sin 1x  cũng là nghiệm của phương trình đã cho. 
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 152 
Phương trình đã cho tương đương với: 2 1 2 4 0sin x cos x cosx     
 22 2 4 0 2 0       sin x cosx cos x cosx cosx(sin x cosx ) 
2 2 2
0
22 1 1 2
cosx
x k
sin x cosx (VN do )
  
    
    
 k
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
2
x k .

  
 k
Cho ̣n đáp án C. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình tương đương: 2sinx(2 –cosx) – (2 – cosx) = 0 
 (2 – cosx) ( 2sinx -1) = 0 
2 0( )
1
2
cosx VN
sinx
 

 

 )(
2
6
5
2
6
zk
kx
kx













Ba ̀i tập 12: Giải phương trình: 4sinx + cosx = 2 + sin2x. Nghiê ̣m 
của phương trình là 
a. 
2
6
5
2
6
x k
x k





 

  

  k b. 
2
3
2
2
3
x k
x k





 

  

  k 
c. 
2
6
7
2
6
x k
x k





  

  

 k d. 6
5
6
x k
x k





 

  

  k 
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 153 
Vậy pt đã cho có họ nghiệm là: )(
2
6
5
2
6
zk
kx
kx













 .Chọn đáp án A 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với: (sin cos )(1 sin cos ) 0x x x x    
sin cos 0
1 sin cos 0
x x
x x
 
    
 4 ( )
3
2 2
2
x k
k Z
x k x k

  
 
     
 
Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: 
4
( )
3
2 2
2
x k
k Z
x k x k

  

     
 
Cho ̣n đáp án A. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i
Bài tập 14: Giải phương trình sin 2 cos sin 1x x x   . Nghiê ̣m dương 
nhỏ nhất của phương trình là: 
a. 
6
x

 b. 
4
x

 c. 
2
x

 d. 
3
2
x

 
Bài tập 13: Gia ̉i phương tri ̀nh : sin 2 cos sin 1x x x   . Bộ ba số nào sau 
đây là nghiệm của phương trình 
a. 
3
0; ;
4 2
  
 
 
 b. 
3
; ;
6 4 2
   
 
 
 c. 
3
; ;
4 2 2
   
 
 
 d. 0; ;
6 4
  
 
 
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 154 
Phương trình đã cho tương đương với:  
2
cos sin cos sin 0x x x x    
  
cos sin 0
cos sin cos sin 1 0
cos sin 1
x x
x x x x
x x
 
         
 
cos 0 4
4
2
2
cos
24 2
2
x k
x
x k k
x
x k
 
 



      
                 
 
Vậy nghiệm của phương trình là  , 2 , 2
4 2
x k x k x k k
 
          
Cho ̣n đáp án A. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với: 
s inx 4 ( )
(s inx-4)(2cos 1) 0 1
cos
2
vn
x
x

  
 

1
cosx 2
2 3
x k

      k . 
Bài tập 15: Cho phương trình: sin 2 4 8 os s inxx c x   . Ti ̀m mệnh đề đúng 
a. Phương trình tích của phương trình trên là: (sin 4)(2cos 1) 0x x   
b. Nghiệm của phương trình là 2
3
x k

  
c. Sô ́ điểm biểu diễn nghiệm của phương trình lên đường tròn lượng giác là 4 
d. Phương trình vô nghiệm 
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 155 
Vậy phương trình có nghiệm: 2
3
x k

    k 
Chọn đa ́p a ́n B. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với : 
   4 sin cos 2 cos 2 sin 1 0 2 cos 1 2 sin 1 0x x x x x x        
Cho ̣n đáp án D. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho 2sin 3 cos 2 cos 2 0x x x   
Bài tập 17: Cho phương trình: 2sin 5 2sin sin 1x x x   . Sô ́ điểm biểu 
diễn nghiệm của phương trình lên đường tròn lượng giác là 
a. 4 b. 6 c. 16 d.20 
Bài tập 16: Giải phương trình  2sin 2 1 2 cos sinx x x   . Phương trình 
ti ́ch của phương trình trên là phương trình : 
a.   cos 1 sin 1 0x x   b.   2cos 1 2sin 1 0x x   
c.   cos 2 2sin 1 0x x   d.    2cos 1 2sin 1 0x x   
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 156 
 cos2 2sin3 1 0x x  
cos 2 0
1
sin3
2
x
x


 

 
4 2
2
18 3
5 2
18 3
x k
x k k Z
x k
 
 
 

 

   


  

Vậy pt có 3 họ nghiệm: 
4 2
x k
 
  ; 
2
18 3
x k
 
  ;  
5 2
18 3
x k k Z
 
  
Cho ̣n đáp án C . 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đa ̃ cho tương đương với: 
   
   
sin 2 osx 1 3 osx osx 1 0
cos 1 sin 2x 3 osx 0
x c c c
x c
   
   
   cos 1 osx 2sin x 3 0x c   
cos 1
osx=0
2sin x= 3
x
c
 

 

 
Bài tập 18 : Giải phương trình 
2sin 2x. osx sin 2x 3 os 3 cos 0.c c x x    Phương trình ti ́ch của phương trình 
trên là phương trình nào sau đây 
a.   cos cos 1 2sin 3 0x x x   b.    cos 1 cos 1 2sin 3 0x x x    
c.    cos cos 1 2sin 3 0x x x   d.   cos cos 3 2sin 3 0x x x   
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 157 
Hướng dâ ̃n gia ̉i
Phương trình đã cho tương đương với: 
22 sin 2 sin cos sin cosx x x x x   
(sin cos )(2 sin 1) 0x x x   







2
1
sin
0cossin
x
xx
)2(
)1(
(1) sin cos 0
4
x x x l

        l 
( 2)













2
6
5
2
6
kx
kx
 k 
Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là: 


















2
6
5
2
6
4
kx
kx
lx
 ,l k 
Cho ̣n đáp án B. 
Bài tập 19: Cho phương trình: 22sin sin 2 sin cosx x x x   . Cho ̣n phát biểu sai. 
a. Phương trình trên được phân tích thành    sin cos 2sin 1 0x x x   
b. Nghiệm của phương trình cosx=0 cũng là ngiệm của phương trình 
c. 
3
4
x

 cu ̃ng là nghiệm của phương trình 
d. Số điểm biểu diễn của phương trình là 4. 
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 158 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
   sin 3 sin cos 2 2 2sin 1 0PT x x x x     
 2cos 2 sin cos2 2 2sin 1 0x x x x     
   
cos2 2 0
2sin 1 . cos2 2 0
2sin 1 0
x
x x
x




 
    
 
 Cho ̣n đáp án C. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Ba ̀i tập 21: Nghiê ̣m của phương trình:   2(sinx cosx) 1 cosx là : 
a. 







 

 


 

x k
2
x= k2
6
5
x k2
6
 k
 b. 
 





 

 


 

x k
2 3
x= k2
6
5
x k2
6
 k
c. 







 

 


 

x k
2
x=- k2
6
7
x k2
6
 k d. 







 

 


 

x k
2
x= k
6
5
x k
6
 k 
Bài tập 20 : Giải phương trình sin 3 (2 2 1) sin os2 2x x c x    . 
Phương trình na ̀o sau đây là phương trình tích của phương trình đã cho. 
a.    2sin 1 cos 2 2 0x x   b.    2sin 1 2cos 2 2 0x x   
c.    2sin 1 cos 2 2 0x x   d.    2sin 1 cos 2 1 0x x   
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 159 
Phương trình đã cho tương đương với: 
   
2(s inx cosx) 1 cosx    1 2 sin xcosx 1 cosx 
 cosx(2sinx-1) 0 
 



cosx 0
1
s inx=
2







 

  


 

x k
2
x= k2 (k Z).
6
5
x k2
6
Cho ̣n đáp án A. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
(sin 2 6sin ) (1 cos 2 ) 0x x x       22sin cos 3 2sin 0x x x   
   2sin cos 3 sin 0x x x   
sin 0
sin cos 3( )
x
x x Vn

   
 x k . 
Bài tập 22 : Cho phương trình sin 2 1 6sin cos 2x x x   . Ti ̀m mệnh 
đề đúng 
a. phương trình vô nghiệm 
b. Phương trình tương đương với phương trình cot 0x  
c. Phương trình tương đương với phương trình sin 0x  
d. Phương trình có nghiệm 
2
x

 
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 160 
Vậy nghiệm của PT là ,x k k Z  . 
Cho ̣n đáp án C. 
Hướng dâ ̃n gia ̉i 
Phương trình đã cho tương đương với: 
2 sin 0sin3 sinx cos 2x 1 2cos 2 sin 2sin 0
cos 2 sin
x
x x x x
x x

        
+ sin 0 ,x x k k    ; 
+  
2
6 3
cos 2 sin cos 2 cos
2
2
2
x k
x x x x k
x k
 




  
      
     

 
c.  2
6
2
2
x k
x k k
x k






 

   


   

 d.  
2
4 3
2
2
x k
x k k
x k

 



 

   


  

 
Bài tập 23 : Nghiê ̣m phương trình sau: sin3 sinx cos2x 1x   la ̀ : 
a.  
2
2
6 3
2
2
x k
x k k
x k

 





   


   

 b.  
2
6 3
2
2
x k
x k k
x k

 



 

   


   

 
Chuyên đề: Phương trình lượng giác - Chương I: ĐS & GT 11 2017 
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232-quoctuansp@gmail.com 
Trang số 161 
Vậy pt đã cho có họ nghiệm là:  
2
6 3
2
2
x k
x k k
x k

 



 

   


   


.Chọn đáp án B. 
Bạn vừa xem xong phần miễn phí trong bộ sách cùng tên của thầy giáo 
Nguyễn Quốc Tuấn. Để học những phần còn lại vui lòng mua trọn bộ 
sách của chúng tôi để lĩnh hội được tất cả những kiến thức và Phương 
pháp mới nhất 
TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 11 MỚI NHẤT 
Bộ phận bán hàng: 
0918.972.605 
Đặt mua tại: 
https://goo.gl/FajWu1 
Xem thêm nhiều sách tại: 
Hổ trợ giải đáp: 
sach.toan.online@gmail.com