Chuyên đề Phương trình lượng giác

I/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.
1. Phương trình: .
	+ Nếu	 (hay )
	thì phương trình vô nghiệm
	+ Nếu	 (hay )
	Khi đó:	
VD 01. Giải các phương trình lượng giác sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f) ;	g) ;
	h) ;	i) ;	j) ;
Lưu ý: 
	(1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm sin (arcsin) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
	(2). Các trường hợp đặc biệt:
2. Phương trình: .
	+ Nếu	 (hay )
	thì phương trình vô nghiệm
	+ Nếu	 (hay )
	Khi đó:	
VD 02. Giải các phương trình lượng giác sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f) ;	g) ;
	h) ;	i) ;	j) ;
Lưu ý:
	(1). Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm cos (arccos) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
	(2). Các trường hợp đặc biệt:
3. Phương trình: 	, 
VD 03. Giải các phương trình lượng giác sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
4. Phương trình: 	, 
VD 04. Giải các phương trình lượng giác sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
Lưu ý: Nếu a không phải là các giá trị đặc biệt thì ta sử dụng hàm ngược của hàm tan (arctan) trình bày các họ nghiệm của phương trình như sau:
5. Mở rộng:
Mở rộng 1. Sử dụng MTBT để giải phương trình lượng giác:
VD 05. Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
Mở rộng 2. (Cung chứa bội):
VD 06. Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
Mở rộng 3. (Cung chứa tổng):
VD 07. Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
Mở rộng 4. Phương trình tích (đơn giản):
	A.B = 0 
VD 08. Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
BÀI TẬP
1) Giải các phương trình:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) ;
	j) ;	k) ;	l) 
2) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm
	a) ;	b) ;	c) .
3) Giải các phương trình:
	a) ;	b) ;	c) 
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) ;
	j) ;	k) ;	l) .
4) Giải các phương trình:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) 	f) 
5) Giải các phương trình:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
j) 	k) 
	Đừng bi quan khi mình không lối thoát,
	Đừng chán nản khi dồn dập khó khăn,
	Đừng thờ ơ khi mình mang tủi nhục,
	Cố gắng kiên trì tất cả sẽ thành công.
 .
(KIỂM TRA PHẦN I)
II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
1. Phương trình đại số hóa đơn giản:
a) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: , 
Phương pháp: 
	+ Đặt .
	Khi đó ta được một phương trình bậc 2 theo t: .
	+ Giải phương trình bậc 2 theo t.
	+ Với mỗi giá trị của t ta tìm nghiệm x.
Lưu ý:	Điều kiện của t khi đặt là .
VD 10. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) .
b) Phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác:
Phương pháp:
	+ Biến đổi để đưa về dạng phương trình đại số đơn giản.
	+ Đặt ẩn t theo mỗi hàm số lượng giác.
	+ Giải và kiểm tra lại nghiệm.
VD 11. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) 1 + sin3x – sinx = cos2x;
	d) ;	e) ;	f)
2. Phương trình lượng giác cổ điển:
a) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos: .
Phương pháp:
	+ Thử xem phương trình có nghiệm hay không, bằng cách:
	Nếu	phương trình có nghiệm
	Nếu	phương trình vô nghiệm
	+ Chia 2 vế của phương trình cho , ta được:
	+ Đặt thì .
	Sau đó áp dụng công thức cộng để đưa về phương trình lượng giác cơ bản:
	 	(*)
	+ Giải phương trình (*).
VD 12. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) 	e) ;	f) 
b) Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng: .
Phương pháp:
	+ Đặt . Khi đó: , 
	+ Phương trình có dạng (dạng phương trình bậc 2 theo t)
	+ Giải phương trình được nghiệm t.
	+ Với mỗi giá trị của t ta đi tìm giá trị của x.
Lưu ý: , .
VD 13. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) 
c) Phương trình lượng giác đẳng cấp: .
Phương pháp:
	Cách 1:	+ Xét thì . Phương trình trở thành: (*)
	Nếu (*) đúng thì là nghiệm của phương trình.
	Nếu (*) sai thì không phải là nghiệm của phương trình.
	+ Xét , chia 2 vế của phương trình cho , ta được phương trình bậc 2 	theo .
	(Lưu ý: Ta có thể xét thay cho việc xét ).
	, .
	Cách 2:	+ Biến đổi với các công thức:
	, , .
	Khi đó phương trình trở thành dạng “phương trình bậc nhất đối với và ”.
	+ Giải phương trình mới ta được nghiệm cần tìm.
VD 14. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
BÀI TẬP
1) Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) 	i) ;
	j) ;	k) ;	l) ;
	m) ;	n) ;	o) 
2) Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
3) Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) ;
4) Giải các phương trình sau:
	a)	b) 	c) 
	d) ;	e) ;	f) 
5) Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) 	c)
	d) 	e) ;	f) 
	g) ;	h) 
6) Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) ;
	j) ;	k) ;	l) ;
	m) ;	n) ;	o) ;
	p) 	q) ;	r) 
	s) 	t) ;	u) ;
	v) ;	w) ;	x)
7) Cho phương trình: .
	a) Giải phương trình khi m = 1;	b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
8) Cho phương trình: .
	a) Giải phương trình khi m = 1;	b) Tìm m để phương trình vô nghiệm.
9) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
	a) ;	b) .
(KIỂM TRA PHẦN II)
III/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT.
Phương pháp: Dùng các phép biến đổi, các phương pháp giải phương trình đưa phương trình về các dạng phương trình lượng giác đơn giản, phương trình đại số hóa đơn giản, phương trình lượng giác cơ bản rồi giải. Có 2 hướng:
Hướng 1: Biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đơn giản.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đại số đơn giản.
VD 15. Giải phương trình: 
+ Phương pháp hạ bậc để đưa về phương trình có bậc thấp hơn.
VD 16. Giải phương trình: 
+ Phương pháp biến đổi về phương trình tích: 
VD 17. Giải phương trình: 
+ Phương pháp tổng các số hạng không âm: 
VD 18. Giải phương trình: 
+ Phương pháp đánh giá: Sử dụng điều kiện, pitago, các bất đẳng thức côsi, bunhiacốpski
VD 19. Giải phương trình: 
+ Phương pháp hàm số: Sử dụng các tính chất của hàm số để đánh giá phương trình.
VD 20. Giải phương trình: 
Hướng 2: Chứng minh phương trình vô nghiệm (khi không thể giải bằng các cách trên).
VD 21. Giải phương trình: 
1. Phương pháp đặt ẩn phụ.
	Bài toán này chúng ta đã được làm quen trong phần “Phương trình lượng giác thường gặp” với các phép đặt để đưa về một phương trình đại số đơn giản. Ngoài các phép đặt trên ra chúng ta còn một số phép đặt như:
	+ Áp dụng công thức lượng giác biểu diễn qua hàm tan của góc chia đôi:
	Đặt 	. Khi đó: .
	+ Đặt hoặc với điều kiện .
	+ Đặt với điều kiện .
	+ Dùng ẩn t để đổi biến.
VD 22. Giải các phương trình sau (phương trình thuàn nhất bậc cao đối với sinx và cosx):
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
VD 23. Giải các phương trình sau (Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx):
	a) ;	
	b) .
VD 24. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
VD 25. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
2. Phương pháp hạ bậc.
	Ta áp dụng các công thức sau:
	;	;	;
	;	;	;
VD 26. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
3. Phương pháp biến đổi về phương trình tích.
	Dùng các phép biến đổi, các công thức để đưa phương trình về dạng phương trình tích:
VD 27. Giải các phương trình sau:
	(Dùng phép biến đổi tổng hiệu thành tích)
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
VD 28. Giải các phương trình sau:
	(Dùng phép biến đổi tích thành tổng, công thức nhân đôi)
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f) .
VD 29. Giải các phương trình sau:
	(Luận hệ số, dùng phép nhân thêm hạng tử)
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) .
	e) ;	f) .
VD 30. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) .
4. Phương pháp biến đổi về phương trình tổng các số hạng không âm.
	Các đại lượng không âm bao gồm: , , , .
	Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình về dạng các đại lượng không âm:
	 với .
	Giải hệ ta được nghiệm cần tìm.
Lưu ý: Sử dụng vòng tròn lượng giác khi giao các nghiệm trên.
VD 31. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) .
5. Phương pháp đánh giá.
	Xét phương trình: có tập xác định D. Nếu với mọi mà , thì:
	.
	Ta có thể dùng bất đẳng thức. Với thì:
	.
VD 32. Giải các phương trình sau:
	(Sử dụng tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác)
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) .
VD 33. Giải các phương trình sau:
	(Phương trình lượng giác dạng pitago)
	a) ;	b) .
VD 34. Giải các phương trình sau:
	(Sử dụng bất đẳng thức Cauchy)
	a) ;	b) .
VD 35. Giải các phương trình sau:
	(Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski)
	a) ;	b) .
6. Phương pháp hàm số.
	(Yêu cầu học sinh đã học tính biến thiên của đồ thị hàm số – lớp 12)
7. Chứng minh phương trình vô nghiệm.
VD 36. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) .
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) ;	
	j) ;	k) ;	l) ;
	m) ;	n) ;	o) ;
2. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) 
	j) ;	k) ;	l) 
3. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) ;
	j) ;	k) ;	l) ;
	m) ;	n) ;	o) ;
	p) ;	q) ;
	r) ;	s)
	t) 
4. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;
	i) ;	j) .
5. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f) ;
	g) ;	h) .
6. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) .
7. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f) .
IV – Luyện Tập
Bài tập rèn luyện
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) .
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
	a) ;	b) ;	c) 
	d) .
3. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) .
4. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) 
	g) ;	h) ;	i) ;
	j) .
5. Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho
	a) với ;	b) với ;
	c) với ;	d) với .
6. Giải các phương trình sau:
	a) ;	b) ;
	c) ;	d) ;
	e) ;	f) ;
6.
7. 
3. 
4. 
5. 
6.
7.
Bài toán chọn lọc
1. Giải các phương trình sau:
a) 
 (ĐH tổng hợp Lômônốp 1982)
, với điều kiện (ĐH CSND 1999)
, (ĐH KTQD 1997)
 (ĐH Nha Trang 1998)
 (ĐH Y Hà nội 2000)
Đề thi ĐH CĐ
V – Ôn Tập
Phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình lượng giác thường gặp
Phương trình lượng giác tổng quát
Bài tập tự luyện
1. Giải các phương trình sau:
a) 
2.
3.
4.
. (ĐH QG Hà Nội – Khối B 1997)
5.
 (HV Ngân Hàng TPHCM 2000)
 (ĐH Y Hà Nội 1999)
, với 
, với 
BÀI KIỂM TRA PHẦN I
Giải các phương trình sau:
1)	(1,0 điểm)
2)	(2,0 điểm)
3)	(2,0 điểm)
4)	
5)	(2,0 điểm)
6)	(1,0 điểm)
BÀI KIỂM TRA PHẦN II
Giải các phương trình sau:
1)	1,0 đ
2)	1,5 đ
3)	 (ĐH NN 2000)	1,5 đ
4)	1,5 đ
5)	1,5 đ
6)	1,5 đ
7) 	Cho phương trình: .
	a) Giải phương trình với .	1,0 đ	
	b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc.	0,5 đ
	(ĐH Đà Nẵng 1996)
BÀI KIỂM TRA PHẦN III
Giải các phương trình sau: