Chuyên đề Phương trình chứa căn thức

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai là rất quan trọng trong các cấp học, từ THCS đến THPT tuy nhiên ở cấp THPT không đơn thuần là cho sẵn phương trình bậc nhất, bậc hai để giải mà thường lồng ghép dưới nhiều hình thức của các bài toán khác nhau. Cụ thể nhất là trong chương trình toán lớp 10 của chương trình Cơ bản hay Nâng cao điều có phương trình chứa căn thức.
 Phương trình chứa căn thức là loại phương trình mà đa số học sinh khi tiếp cận giải thường mắc phải không ít những sai lầm trong quá trình giải đó là: Thiếu điều kiện để căn thức có nghĩa hoặc khi bình phương hai vế ta thường được phương trình hệ quả ( nên dễ xuất hiện nghiệm ngoại lai) nhưng học sinh vẫn nghĩ là phương trình tương đương, hoặc rất khó khăn khi nhận dạng cách giải trong các phương trình chứa nhiều căn thức.
 Vì thế muốn giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quan hơn về các bài toán phương trình chứa căn thức tôi viết chuyên đề này giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận các loại phương trình chứa căn thức trong chương trình lớp 10 và có thể dựa vào đó để tiếp cận và khai thác sâu hơn các bài toán chứa căn thức trong các kì thi cao đẳng và đại học. 
 Trong quá trình viết tôi đã cố gắng sắp xếp các dạng toán theo thứ tự của các cấp độ nhận thức: Biết- hiểu- thông hiểu và vận dụng để học sinh dễ tiếp cận. Sau mỗi ví dụ có hướng dẫn giải và có lời bình giúp học sinh khắc sâu được những kỹ năng quan trọng khi tiếp cận giải bài toán chứa căn thức, đồng thời có bài tập tương tự giúp học sinh tự rèn luyện để có được kỹ năng giải hợp lý các bài toán chứa căn thức.
 Tuy đã cố gắng nhưng cũng chỉ mang tính chủ quan nên không tránh khỏi sai sót và hạn chế. Mong quý đồng nghiệp góp ý tôi rất chân thành cám ơn !
 Hòa Bình, ngày 12 tháng 3 năm 2013 
 GV: Nguyễn Hữu Phúc.
 MỤC LỤC
ĐỀ MỤC
TRANG
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
VẤN ĐỀ 1
3
DẠNG 1: 
3
DẠNG 2: 
8
DẠNG 3: ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG TÍCH
9
DẠNG 4: ĐẶT ẨN PHỤ
11
DẠNG 5: ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG NÂNG CAO
13
PHƯƠNG TRÌNH CH ỨA CĂN DẠNG NÂNG CAO
VẤN ĐỀ 2:
DẠNG 1: ÁP DỤNG BĐT CÔ SI ĐỂ GIẢI PT
16
DẠNG 2: ĐƯA VỀ HỆ PT ĐỂ GIẢI
23
NHẬN XÉT SKKN 26
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Vấn đề 1: 
DẠNG 1: (1)
Cách giải 1: ( Sử dụng pt hệ quả)
ĐK: 
Bình phương hai vế pt(1) ta có pt hệ quả: f(x)=g2(x), ( giải tìm x= ?)
Thế vào pt(1) xem có thảo mãn hay không
Kết luận nghiệm của pt(1).
Cách giải 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương)
Lưu ý: Khi g(x)<0 pt(1) vô nghiệm.
VD 1: Giải phương trình :
HD: 
Cách 1: ( Sử dụng pt hệ quả)
ĐK: 2x-4
Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt: 2x-4=4
Thế x=4 vào pt đã cho thỏa mãn
Vậy pt có nghiệm x=4.
 Cách 2: Vì 2 hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần giải như sau:
Vậy pt có nghiệm x=4.
Cách 1: ( Sử dụng phương trình hệ quả)
ĐK: 
PT(b)3x-15=93x=24x=8
Ta thấy x=8 thỏa mãn điều kiện nhưng thế vào pt(b) không thỏa mãn
Vậy pt(b) vô nghiệm.
 Cách 2: ( Chỉ cần để ý -3<0) nên pt (b) vô nghiệm.
 Các câu c, d, e giải tương tự.
 f) Cách 1: ( Sử dụng pt hệ quả)
Ta có: 
Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt: 
Thế x=0 và x=-2 vào pt đã cho chỉ có x=0 thỏa mãn
Vậy pt có nghiệm x=0.
 Cách 2: ( Sử dụng pt trình tương đương)
Ta có:
Vậy pt có nghiệm x=0. 
Lời bình:
Qua các ví dụ trên cho ta thấy nhược điểm của phương pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải thử lại nghiệm ( tránh trường hợp xuất hiện nghiệm ngoại lai), còn phương pháp giải theo phương trình tương đương có phần ưu điểm là tiện lợi hơn, (không cần phải thử lai nghiệm).
Chúng ta cần phân biệt rằng tùy theo đặc thù của phương trình chứa căn mà ta có thể chọn cách giải 1 hoặc 2 cho phù hợp.
Vì vậy sau này chúng ta sẽ tiếp cận nhiều bài toán chứa căn thức thì ta mới cảm nhận được sự sâu sắc trong mọi khía cạnh của bài toán lúc đó ta mới thấy rõ mỗi phương pháp điều có những ý nghĩa đặc sắc riêng của nó.
 VD 2: Giải phương trình :
HD:
Ta có: 
Vậy pt có 2 nghiệm .
Ta có:
Ta có:
Ta có: 
Ta có:
Lời bình:
Qua ví dụ trên cho ta thấy giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương sẽ có nhiều lợi thế và tiện lợi, nếu giải bằng phương pháp biến đổi phương trình hệ quả, nghĩa là phải đặt điều kiện để căn có nghĩa sẽ khó khăn hơn.
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các pt
HD: a) x=1 b) x=3 c) x=0; x=1; x=(1-)/2
Các câu còn lại giải tương tự.
Chú ý: Dạng 
 ( sau đó đặt đk và bình phương 2 vế để giải)
DẠNG 2: 
VD 1: Giải các phương trình:
HD:
Ta có: 
Nhận xét: Qua cách giải trên cho ta thấy chọn ĐK: g(x)=4-x0 đã làm giảm bớt độ khó của bài toán và giúp ta giải quyết bài toán này nhẹ nhàng hơn mà vẫn không làm mất nghiệm của pt đã cho.
Các câu còn lại giải tương tự.
Chú ý: Dạng 
Hoặc: ( về dạng trên)
DẠNG 3: ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH
VD1: Giải các pt:
HD: 
a)Ta có 
Vậy pt có nghiệm x=4
b)Ta có 
Vậy pt có nghiệm x=4; x=-8.
Các câu c, d tương tự.
VD2: Giải pt 
Cách giải sai thường gặp là:
Cách giải đúng là:
 ĐK: 
Vì x= - 4 không thỏa đk nên pt vô nghiệm.
Lời bình: 
Nguyên nhân mắc sai lầm của bài toán trên là đôi lúc ta lại bỏ quên đk xác định của pt
Điều này cho ta thấy rằng điều kiện xác định của pt là rất quan trọng .
PT đưa về dạng tích thường có tính phức tạp cao hơn so với những pt chứa căn thông thường.
VD3: Giải pt 
HD
ĐK: 
Vậy pt có nghiệm x= - 4.
DẠNG 4: ĐẶT ẨN SỐ PHỤ ( cấp độ thấp)
VD1: Giải các pt
HD:
Ta biến đổi 
 Đặt : , (đk: t0)
 PT(a) trở thành pt: t2-5t+4=0
 + Với t=1
 + Với t=4
 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=0; x=15/2
Ta biến đổi 
 Đặt : , (đk: t0)
 PT(b) trở thành pt: t2-5t+4=0
 + Với t=1
 + Với t=4
 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=0; x=17/6.
 Các câu c, d tương tự
VD2: Giải các pt
HD:
Ta biến đổi 
 Đặt : , (đk: t0)
 PT(a) trở thành pt: t2-5t+4=0
 + Với t=1
 + Với t=4
 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x=0; x=
Ta biến đổi 
 Đặt : , (đk: t0)
 PT(b) trở thành pt: t2-5t+4=0
 + Với t=1
 + Với t=4
 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm 
 Các câu c, d tương tự
Lời bình: 
Qua ví dụ trên giúp cho ta thấy được việc đặt ẩn số phụ giúp chúng ta đưa các bài toán tương đối phức tạp về bài toán đơn giản hơn, quen thuộc và dễ giải hơn.
Điều đó giúp cho ta có ý tưởng có thể tiếp cận các bài toán phức tạp hơn các bài toán trên bằng cách đặt ẩn số phụ.
Cũng cần lưu ý rằng nếu đặt ẩn số phụ phải đưa về bài toán đơn giản hơn thì cách làm mới có ý nghĩa, còn ngược lại thì ..!!!.
 Bài tập tương tự: Giải các pt
 DẠNG 5: ĐẶT ẨN PHỤ ( cấp độ cao hơn)
 VD1: Giải pt: (1)
HD: Đặt t= (đk t0) 
PT(1) trở thành: 
Với t=3
Vậy pt có 2n x=0 và x=3
VD2: Giải pt: (1)
HD: Đặt t= (đk t0) 
 PT(1) trở thành: 
 Với t=3
 Vậy pt có 2n .
Lời bình: 
Qua ví dụ trên cho ta thấy dạng tổng căn thức và tích căn thức thì ta đặt t bằng tổng căn thức rồi biến đổi tích căn thức theo ẩn t để có pt ẩn t giải được.
Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ còn nhiều cách lựa chọn phù hợp khác nhau điều đó giúp ta tư duy linh hoạt hơn.
VD 3: Giải các pt :
HD:
Ta biến đổi: (1)
 Đặt: , (đk: t0)
 PT(1) trở thành pt: 
 + Với t=6
 Vậy pt có 2 nghiệm x=3; x= -9/2
Ta biến đổi: 
 Đặt t=, ( đk: t0)
 PT (b) trở thành pt: 
 + Với t=0 
 + Với t=2
 Vậy pt có 2 nghiệm 
Ta biến đổi: (1)
 Đặt: , (đk: t0)
 PT(1) trở thành pt: 
 Với t=1
Vậy pt có 2 nghiệm x=1; x= 1/2
Câu d) giải tương tự.
Lời bình: 
Qua ví dụ trên cho ta thấy dạng biểu thức trong căn và tích biểu thức bên ngoài căn nếu biến đổi thì chúng có liên hệ mật thiết với nhau nên ta đặt t bằng lượng chứa căn thức rồi biểu thức bên ngoài biểu diễn theo t. Ta được pt quen thuộc giải được.
Các bài toán trên giúp ta thấy được sự đa dạng của việc đặt ẩn phụ.
VẤN ĐỀ 2: KIẾN THỨC NÂNG CAO
DẠNG 1: ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI
Cần nhớ các BĐT sau:
 Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: a=b
 Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: a=b=c
 VD1: Giải pt 
DH: ĐK Áp dụng BĐT Cô si ta có: 
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: 
Vậy nghiệm của pt là (1; 2; 3)
VD2: Giải pt: , (với x, y, z >0) 
HD: Ta biến đổi về dạng; (x2+1)(y2+2)(z2+3)= 32xyz 
Áp dụng BĐT Cô si ta có: 
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: 
Vậy nghiệm cua pt là: (1; )
VD3: Giải pt 
HD: ĐK 
Theo BĐT Bunnhiacopski ta có:
Từ (1 ) và (2 ) ta có dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: 
Vậy nghiệm của pt là .
VD4: Giải pt 
HD: ĐK x>3, y>1, z>665. Ta viết pt lại dạng: 
Áp dụng BĐT Cô si cho từng cặp số ta có: 
Dấu “=” xãy ra khi: 
VD5: Giải pt 
HD: ĐK: x>0, y1
Dấu “=” xãy ra khi: x=1; y=2 hoặc x=1; y=0
Vậy nghiệm của pt là: (1; 2); (1; 0)
VD6: Giải pt 
HD: ĐK x1
Dấu “=” xãy ra khi:
VD7: Giải pt 
HD: Ta có:
ĐK : x
Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số không âm (2x+1) và (x2-x+1) ta có:
Dấu “=” xãy ra khi: 2x+1=x2-x+1 x(x-3)=0
Vậy pt có 2n x=0; x=3
VD8: Giải pt: (1)
HD: Áp dụng BĐT Cô si ta có:
Từ (1 ) và (2 ) ta có: x2-x+2x+1x2-2x+10(x-1)20x=1
Thử lại ta có x=1 là nghiệm duy nhất của pt.
VD 9: Giải pt (1)
HD: ĐK 
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
Từ (1 ) và (2 ) ta có: x2-3x+4xx2-4x+40(x-2)20x=2
Thử lại ta có x=2 là nghiệm duy nhất của pt.
VD 10: Giải pt (1)
HD: ĐK: 2x10
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
Mặt khác: VP=x2-12x+40=(x2-2.6.x+36)+4=(x-6)2+44 (2)
Từ (1 ) và (2 ) ta có dấu “=” xãy ra khi: x=6
Thử lại ta có x=6 là nghiệm duy nhất của pt.
Cách 2: Lưu ý đến bài toán phụ: 
Từ đó ta có VT=
( sau đó giải giống trên)
VD 11: Giải pt 
HD: ĐK xy0. Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số 
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: 
Cách 2: Đưa pt về dạng 
Ta có: 
VD 12: Giải pt 
HD: ĐK -1x1. Áp dụng BĐT Cô si ta có:
Cộng (1), (2), (3) ta được: 
Áp dụng BĐT Cô si thêm một lần nữa ta được:
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi: 
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=0.
Qua các ví dụ trên cho ta thấy BĐT có thể áp dụng để giải các phương trình chứa căn thức dạng phức tạp. Nhờ điều kiện dấu bằng xãy ra của BĐT ta tìm được nghệm của pt một cách dễ dàng hơn.
Ta cũng có thể gặp cách giải này ở hệ pt trình phức tạp sau này.
Lời bình: 
Bài tập tương tự:
 Giải các pt:
HD: c) Ta có VT=
DẠNG 2: GIẢI PT BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ HỆ PT
Loại 1: PT dạng (I) ( Với n=2; 3)
Cách giải: 
Đặt: , nếu pa’> 0
Đặt: , nếu pa’< 0
Đưa pt (I) về hệ pt đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng để giải.
VD1: Giải pt: (1)
HD: ĐK: 
PT(1) trở thành: (2)
Đặt: , (ĐK: ) 
Kết hợp với đề bài ta có hệ pt: 
Trừ (1’) và (2’) ta được: 
+ Thay x=y vào (1’) ta được: 
.
+ Thay vào (1’) ta được: 
.
Vậy pt đã cho có nghiệm là: .
VD2: Giải pt: (1)
HD: ĐK: 
PT(1) trở thành: (2)
Đặt: , (ĐK: ) 
Kết hợp với đề bài ta có hệ pt: 
Trừ (1’) và (2’) ta được: 
+ Thay x=y vào (1’) ta được: .
+ Thay vào (1’) ta được:
 .
Vậy pt đã cho có nghiệm là: .
Bài tập tương tự: Giải các pt: 
Lời bình: 
Qua các ví dụ trên cho ta thấy rằng đôi lúc giải pt chứa căn thức cũng phải đưa về hệ phương trình mới có thể giải được.
Điều này giúp cho chúng ta có cách nhìn rộng hơn về các khía cạnh của một bài toán.
Nó còn có nhiều cách nhìn tuyệt chiêu hơn nữa nhưng thời gian có hạn nên tôi tạm đưa ra một số cách tiếp cận lời giải của bài toán chứa căn thức thế thôi. Mong độc giả tự tìm hiểu thêm.
Ông bà ta thường nói: “ Lên non mới biết non cao, lội sông mới biết sông nào cạn sâu”.
NHẬN XÉT CỦA TỔ TRƯỞNG TỔ TOÁN
NHẬN XÉT CỦA HĐKH TRƯỜNG THPT LÊ THỊ RIÊNG
NHẬN XÉT CỦA HĐKH SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU: