Chuyên đề Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số

MỤC LỤC 
 Trang 
PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH --------------------------------------- 1 
 A – Phương trình & Bất phương trình cơ bản --------------------------------------------- 1 
 I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 1 
 II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 2 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 12 
 B – Đưa về tích số (biến đổi đẳng thức, liên hợp) ----------------------------------------- 23 
 I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 23 
 II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 24 
 Sử biến đổi đẳng thức ------------------------------------------------------------- 24 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 31 
 Tổng hai số không âm ------------------------------------------------------------- 33 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 34 
 Nhân liên hợp ---------------------------------------------------------------------- 35 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 47 
 Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn -------------------------------------------------- 56 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 57 
 C – Đặt ẩn số phụ ------------------------------------------------------------------------------ 59 
 I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 59 
 II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 60 
 Đặt một ẩn phụ --------------------------------------------------------------------- 60 
 Đặt hai ẩn phụ ---------------------------------------------------------------------- 70 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 77 
 D – Sử dụng bất đẳng thức và hình học ----------------------------------------------------- 91 
 I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 91 
 II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 93 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 101 
 E – Lượng giác hóa ---------------------------------------------------------------------------- 105 
 I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 105 
 II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 106 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 114 
 F – Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ------------------------------------------------------ 118 
 I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 118 
 II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 119 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 127 
 G – Bài toán chứa tham số -------------------------------------------------------------------- 131 
 I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 131 
 II – Các thí dụ ---------------------------------------------------------------------------- 133 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 142 
PHẦN 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ----------------------------------------------------------------------- 149 
 A – Hệ phương trình cơ bản ------------------------------------------------------------------ 149 
 I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 149 
 II – Các thí dụ ---------------------------------------------------------------------------- 151 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 166 
 B – Biến đổi 1 phương trình thành tích số và kết hợp phương trình còn lại ----------- 176 
 I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 176 
 II – Các thí dụ ---------------------------------------------------------------------------- 176 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 181 
 C – Đặt ẩn phụ đưa về hệ cơ bản ------------------------------------------------------------- 185 
 Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 185 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 191 
 D – Dùng bất đẳng thức ----------------------------------------------------------------------- 203 
 Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 203 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 205 
 E – Lượng giác hóa và Số phức hóa --------------------------------------------------------- 208 
 Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 208 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 213 
 F – Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ------------------------------------------------------ 217 
 Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 217 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 222 
 G – Bài toán chứa tham số trong hệ phương trình ----------------------------------------- 227 
 Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 227 
 Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 239 
 Tài liệu tham khảo ----------------------------------------------------------------------------- 248 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 1 - dethithudaihoc.com 
PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
A – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 

 
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1/ Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản 
 2
B 0
A B
A B
 ≥= ⇔ 
 =
.  
B 0
A B
A B
 ≥= ⇔ 
 =
. 
 
2
A 0
B 0
A B
B 0
A B
 ≥
 ⇔  ≥
 >
.  
2
B 0
A B A 0
A B
 >< ⇔ ≥
 <
. 
 
B 0
A B
A B
 ≥> ⇔ 
 >
. 
 Lưu ý 
Đối với những phương trình, bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn như trên, ta thực 
hiện theo các bước: 
Bước 1. Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa. 
Bước 2. Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm. 
Bước 3. Bình phương cả hai vế để khử căn thức. 
2/ Phương trình – Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 
B 0
A BA B
A B
 ≥ == ⇔  = −
.  
A B
A B
A B
 == ⇔  = −
. 
 ( )( )A B A B A B 0> ⇔ − + > .  
B 0
A B A B
A B
 >< ⇔ <
 > −
. 
 
B 0
A
B 0A B
A B
A B
 <
 ≥> ⇔   
. 
 Lưu ý 
Đối với những phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối không có dạng chuẩn 
như trên, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc phương pháp chia khoảng để giải. 
3/ Một số phương trình – Bất phương trình cơ bản thường gặp khác 
có nghĩa 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
 - 2 - 
Dạng 1. ( ) 3 3 3A B C 1+ = 
● Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 
3
3 3 3 3 31 A B C A B 3 AB A B C 2⇔ + = ⇔ + + + = 
● Thay 3 3 3A B C+ = vào ( )2 ta được: 3A B 3 ABC C+ + = . 
Dạng 2. ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x k x+ = + với 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x k x
f x .h x g x .k x
 + = +
 =
. 
● Biến đổi về dạng: ( ) ( ) ( ) ( )f x h x g x k x− = − . 
● Bình phương, giải phương trình hệ quả. 
 Lưu ý 
Phương pháp biến đổi trong cả hai dạng là đưa về phương trình hệ quả. Do đó, để đảm bảo 
rằng không xuất hiện nghiệm ngoại lai của phương trình, ta nên thay thế kết quả vào phương 
trình đầu đề bài nhằm nhận, loại nghiệm chính xác. 
II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 
Thí dụ 1. Giải phương trình: ( ) 2x 4x 3 2x 5− + − = − ∗ 
Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TW1 năm 2004 
Bài giải tham khảo 
( )
( )
2
2
2
5
x
5 22x 5 0 x 14
x 2 x2
5x 4x 3 2x 5 5x 24x 28 0 14
x
5
 ≥  − ≥  ≥    =∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =    − + − = −  − + =    =
. 
Vậy nghiệm của phương trình là 14x
5
= . 
Thí dụ 2. Giải phương trình: ( ) 2 27 x x x 5 3 2x x− + + = − − ∗ 
Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Thuận Thành – Bắc Ninh 
Bài giải tham khảo 
( )
2
2 2
3 x 13 2x x 0
x 2
7 x x x 5 3 2x x x 5
x
− ≤ ≤ − − ≥ ∗ ⇔ ⇔  + − + + = − − + = −  
( ) ( )
3 22
2
3 x 1
2 x 03 x 1
x 2
x 10 2 x 0 x 1
x
x 4x x 16x 16 0
x x 5 x 2
− ≤ ≤   − ≤ <− ≤ ≤    +    = −⇔ − ≥ ⇔ − ≤ < ⇔ ⇔ = −       = ±  + − − =   + = + 
. 
Vậy nghiệm của phương trình là x 1= − . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 3 - 
Thí dụ 3. Giải phương trình: ( ) 3x 2 x 7 1− − + = ∗ 
Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Ninh Bình khối M năm 2004 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 
3x 2 0 2
x
x 7 0 3
 − ≥ ⇔ ≥
 + ≥
. 
( ) 3x 2 x 7 1 3x 2 x 8 x 7 x 7 x 5∗ ⇔ − = + + ⇔ − = + + + ⇔ + = − 
2
x 5 0 x 5
x 9
x 9 x 2x 7 x 10x 25
  − ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ = 
  = ∨ =+ = − + 
. 
● Kết hợp điều kiện, nghiệm của phương trình là x 9= . 
Thí dụ 4. Giải phương trình: ( ) x 8 x x 3+ − = + ∗ 
Trích đề thi Cao đẳng Hóa chất năm 2004 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: x 0≥ . 
( ) ( )x 8 x 3 x x 8 2x 3 2 x x 3∗ ⇔ + = + + ⇔ + = + + + 
( )
( ) ( )
 2
x 5
x 15 x 0 x 1
2 x x 3 5 x 25
x4x x 3 5 x 25
x 3
3
 ≤  = − ≥   = ⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ 
  = −+ = −    = − 
● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 1= . 
Thí dụ 5. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 22 x 1 x 1− ≤ + ∗ 
Trích đề thi Cao đẳng Kinh tế Kỹ Thuật Thái Bình năm 2004 
Bài giải tham khảo 
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 x 1 0 x 1 x 1
x 1x 1 x 1
x 1 0 x 1
1 x 3 x 1;3
x 2x 3 02 x 1 x 1
  − ≥ ≤− ∨ ≥   = −= − ∨ ≥   ∗ ⇔ + ≥ ⇔ ≥− ⇔ ⇔       − ≤ ≤ ∈         − − ≤− ≤ + 
. 
● Vậy tập nghiệm của phương trình là x 1;3 ∈    và x 1= − . 
Thí dụ 6. Giải bất phương trình: ( ) 2x 4x x 3− > − ∗ 
Trích đề thi Cao đẳng bán công Hoa Sen khối D năm 2006 (Đại học Hoa Sen) 
Bài giải tham khảo 
( )
( )
2
2
2
x 3 x 0x 3 0 x 0 x 4x 4x 0
9 9x 3x 3 0 x xx 4x x 3
2 2
  ≥ ≤  − ≥  ≤ ∨ ≥ − ≥   ∗ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔   
    >− > −      
. 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Ths. Lê Văn Đoàn 
 - 4 - 
● Vậy tập nghiệm của hệ là ( 9S ;0 ;
2
  = −∞ ∪ +∞    
. 
Thí dụ 7. Giải bất phương trình: ( ) 2x 4x 5 2x 3− + + ≥ ∗ 
Trích đề thi Cao đẳng Kỹ thuật Y tế I năm 2006 
Bài giải tham khảo 
( )
( )
2
2
2
2
3 2x 0x 4x 5 0
x 4x 5 3 2x
3 2x 0 x 4x 5 3 2x
  − ≥ − + ≥  ∗ ⇔ − + ≥ − ⇔ ∨ 
 − < − + ≥ −  
2
33x xx 3 22x x23 22 3x 3x 8x 4 0 x 22 3
   ∈ ≤  ≤ ⇔ ∨ ⇔ > ∨ ⇔ ≥  
  >  − + ≤ ≤ ≤    
ℝ
. 
● Vậy tập nghiệm của hệ là 2S ;
3
  = +∞ 
. 
Thí dụ 8. Giải bất phương trình: ( ) 2x 4x 3 x 1− + < + ∗ 
Trích đề thi Cao đẳng Kinh tế công nghệ Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2006 
Bài giải tham khảo 
( )
( )
2
2
2
x 4x 3 0 x 1 x 3 1
x 1
x 1 0 x 1 3
x 31x 4x 3 x 1 x
3
   − + ≥ ≤ ∨ ≥−    ⇔ >− ⇔ 
   ≥  − +   
. 
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là )1S ;1 3;
3
 
 = ∪ +∞   
. 
Thí dụ 9. Giải bất phương trình: ( ) x 11 x 4 2x 1+ ≥ − + − ∗ 
Trích đề thi Cao đẳng Điều dưỡng chính qui (Đại học điều dưỡng) năm 2004 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 
x 11 0 x 11
x 4 0 x 4 x 4
2x 1 0 x 0,5
  + ≥ ≥−   − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 
  − ≥ ≥   
. 
( ) ( )( ) ( )( )x 11 3x 5 2 x 4 2x 1 x 4 2x 1 8 x∗ ⇔ + ≥ − + − − ⇔ − − ≤ − 
( )( ) ( )
 2 2
x 8 0 x 8
12 x 5
x 7x 60 0x 4 2x 1 8 x
  − ≥  ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ 
  + − ≤− − ≤ − 
. 
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: S 4;5 =    . 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 5 - 
Thí dụ 10. Giải bất phương trình: ( ) x 2 x 1 2x 3+ − − ≥ − ∗ 
Trích đề thi Đại học Thủy sản năm 1999 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 3x
2
≥ . 
( ) ( )( )x 2 2x 3 x 1 x 2 3x 4 2 x 1 2x 3∗ ⇔ + ≥ − + − ⇔ + ≥ − + − − 
( )
2
2
2
2
3
x 32 x 3
2x 5x 3 3 x 3 x 0 2
x x 6
2x 5x 3 3 x
 ≥   ≤ ≤⇔ − + ≤ − ⇔ − ≥ ⇔ 
   + − − + = −
3
3x 3
x 22
23 x 2
 ≤ ≤ ⇔ ⇔ ≤ ≤ 
  − ≤ ≤
. 
● Tập nghiệm của bất phương trình là 3x ;2
2
 
 ∈
 
 
. 
Thí dụ 11. Giải bất phương trình: ( ) 5x 1 4x 1 3 x+ − − ≤ ∗ 
Trích đề thi Đại học An Ninh Hà Nội khối D năm 1999 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 
5x 1 0
1
4x 1 0 x
4
x 0
 + ≥ − ≥ ⇔ ≥
 ≥
. 
( ) 25x 1 4x 1 3 x 5x 1 9x 4x 1 6 4x x∗ ⇔ + ≤ − + ⇔ + ≤ + − + − 
( ) 26 4x x 2 8x⇔ − ≥ − ∗ ∗ 
● Do ( )1x 2 8x 0
4
≥ ⇒ − ≤ ⇒ ∗ ∗
 luôn thỏa. 
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1x ;
4
  ∈ +∞ 
. 
Thí dụ 12. Giải bất phương trình: ( ) x 2 3 x 5 2x+ − − < − ∗ 
Trích đề thi Đại học Thủy Lợi Hà Nội hệ chưa phân ban năm 2000 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 
x 2 0
3 x 0 2 x 3
5 2x 0
 + ≥ − ≥ ⇔ − ≤ ≤
 − ≥
. 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 6 - dethithudaihoc.com 
( ) ( )( )x 2 5 2x 3 x x 2 8 3x 2 5 2x 3 x∗ ⇔ + < − + − ⇔ + < − + − − 
( )( )
( )( )
( )( ) ( )
2
2x 3 0
5 2x 3 x 0
5 2x 3 x 2x 3
2x 3 0
5 2x 3 x 2x 3
 − <
 − − ≥⇔ − − > − ⇔  − ≥ − − > −
2
3 33x xx 32 2x x 22
5 322x x 6 0x x 3 x 2
2 2
   < ≥ ≥ ⇔ ∨ ⇔ < ∨ ⇔ <  
    − − <≤ ∨ ≥ − < <     
. 
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là )x 2;2∈ − . 
Thí dụ 13. Giải bất phương trình: ( ) 
2 212 x x 12 x x
x 11 2x 9
+ − + −
≥ ∗
− −
Đại học Huế khối D – R – T năm 1999 – Hệ chuyên ban 
Bài giải tham khảo 
( )
2
22
12 x x 0
1 1 12 x x 012 x x 0
x 11 2x 9 1 1
0
x 11 2x 9

+ − =
   + − >∗ ⇔ + − − ≥ ⇔   − −  
 − ≥ − −
x 3 x 4
x 3
3 x 4
2 x 4
x 2
 = − ∨ =  = − − < <⇔ ⇔ − ≤ ≤  ≥−
. 
 Lưu ý: Thông thường thì ta quên đi trường hợp 212 x x 0,+ − = và đây là sai lầm thường gặp 
của học sinh. 
Thí dụ 14. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2x x 1 x x 2 2 x− + + = ∗ 
Đại học sư phạm Hà Nội khối D năm 2000 – Cao đẳng sư phạm Hà Nội năm 2005 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 
( )
( )
x x 1 0 x 0 x 1
x 0
x x 2 0 x 2 x 0
x 1
x 0 x 0
  − ≥ ≤ ∨ ≥    =  + ≥ ⇔ ≤− ∨ ≥ ⇔    ≥  ≥ ≥  
. 
● Với x 0= thì ( ) 0 0∗ ⇔ = ⇒ x 0= là một nghiệm của ( )∗ 
● Với x 1≥ thì ( ) ( ) 2x x 1 x 2 2 x x 1 x 2 2 x∗ ⇔ − + + = ⇔ − + + = 
( )( ) ( )( ) 1x 1 x 2 2 x 1 x 2 4x x 1 x 2 x
2
⇔ − + + + − + = ⇔ − + = −
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 7 - dethithudaihoc.com 
( ) 
2 2
1 1
x x 92 2 x N
1 9 8
x x 2 x x x
4 8
   ≥ ≥  ⇔ ⇔ ⇔ = 
  + − = − + =    
. 
● Vậy phương trình có hai nghiệm là 9x 0 x
8
= ∨ = . 
Thí dụ 15. Giải bất phương trình: ( ) 2 2 2x 8x 15 x 2x 15 4x 18x 18− + + + − ≤ − + ∗ 
Đại học Dược Hà Nội năm 2000 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: 
2
2
2
x 8x 15 0 x 5 x 3 x 5
x 2x 15 0 x 3 x 5 x 5
3 x 34x 18x 18 0
x 3 x
2
  − + ≥ ≥ ∨ ≤ ≥     + − ≥ ⇔ ≥ ∨ ≤− ⇔ ≤−      = − + ≥   ≥ ∨ ≤ 
. 
● Với x 3= thì ( )∗ được thỏa ⇒ x 3= là một nghiệm của bất phương trình ( ) 1 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) x 5 x 3 x 5 x 3 x 3 4x 6 2∗ ⇔ − − + + − ≤ − − 
● Với x 5 x 3 2 0 hay x 3 0≥ ⇒ − ≥ > − > thì 
( ) 22 x 5 x 5 4x 6 2x 2 x 25 4x 6⇔ − + + ≤ − ⇔ + − ≤ − 
2 2 2 17x 25 x 3 x 25 x 6x 9 x
3
⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − + ⇔ ≤ . 
( ) 175 x 3
3
⇒ ≤ ≤
● Với x 5 x 5 3 x 8 0 hay 3 x 0≤− ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ > − > thì 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 5 x 3 x x 5 3 x 3 x 6 4x⇔ − − + − − − ≤ − − 
( )( ) 5 x x 5 6 4x 2x 2 5 x x 5 6 4x⇔ − + − − ≤ − ⇔ − + − − − ≤ − 
2 2 2 17x 25 3 x x 25 x 6x 9 x
3
⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − + ⇔ ≤ . 
( ) x 5 4⇒ ≤− 
● Từ ( ) ( ) ( )1 , 3 , 4 ⇒ tập nghiệm của bất phương trình là ( { } 17x ; 5 3 5;
3
 
  ∈ −∞ − ∪ ∪  
 
. 
Thí dụ 16. Giải phương trình: ( ) 2x x 2x 4 3− + − = ∗ 
Trích đề thi Cao đẳng Hải quan – Hệ không phân ban năm 1999 
Bài giải tham khảo 
● Bảng xét dấu 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 8 - 
x −∞ 0 1 2 +∞ 
2x x− + 0 − 0 + + 
2x 4− − − − 0 + 
● Trường hợp 1. ( (x ;0 1;2 ∈ −∞ ∪   . 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
3 5
x L
2x x 2x 4 3 x 3x 1 0
3 5
x L
2
 − =
∗ ⇔ − − − = ⇔ − + = ⇔
 + =

. 
● Trường hợp 2. (x 0; 1∈ −  . 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
1 5
x L
2x x 2x 4 3 x x 1 0
1 5
x N
2
 − − =
∗ ⇔ − − − − = ⇔ + − = ⇔
 − + =

. 
● Trường hợp 3. ( )x 2;∈ +∞ 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
1 29
x L
2x x 2x 4 3 x x 7 0
1 29
x N
2
 − − =
∗ ⇔ − + − = ⇔ + − = ⇔
 − + =

. 
● Vậy phương trình có hai nghiệm: 1 5 1 29x x
2 2
− + − +
= ∨ = . 
Thí dụ 17. Giải phương trình: ( ) x 3x 2 x 1 x 2 x 1
2
+
+ − + − − = ∗
Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2004 
Bài giải tham khảo 
● Điều kiện: x 1≥ . 
( ) ( ) ( )
2 2 x 3
x 1 2 x 1 1 x 1 2. x 1 1
2
+
∗ ⇔ − + − + + − − − + = 
( ) ( ) 
2 2 x 3
x 1 1 x 1 1
2
+
⇔ − + + − − = 
( ) x 3x 1 1 x 1 1 1
2
+
⇔ − + + − − =
● Với 1 x 2,≤ ≤ ta có: ( ) x 31 x 1 1 1 x 1 x 1
2
+
⇔ − + + − − = ⇔ = . 
● Với x 2,> ta có: ( ) x 31 x 1 1 x 1 1 4 x 1 x 3
2
+
⇔ − + + − − = ⇔ − = +
 2 2
x 3 x 3 x 3
x 5
x 516x 16 x 6x 9 x 10x 25
    ≥− ≥− ≥−  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =  
   =− = + + − +    
. 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Ths. Lê Văn Đoàn 
www.mathvn.com Page - 9 - 
● Vậy nghiệm của phương trình là: x 1 x 5= ∨ = . 
Lưu ý: 
Với điều kiện x 1,≥ có thể bình phương hai vế của ( ) :∗ 
( )
2x 6x 9
2x 2 x 2
4
+ +
∗ ⇔ + − = . 
Xét hai trường hợp: x 1;2 ∈    và ( )x 2;∈ +∞ ta vẫn có kết quả như trên. 
Thí dụ 18. Giải phương trình: ( ) x 1 2 x 2 x 1 2 x 2 1− + − − − − − = ∗ 
Trích đề thi Đại học sư phạm Vinh khối D – G – M năm 2000 
Bài giải tham khảo 
● Đặt 2 2t x 2 0 t x 2 x 1 t 1= − ≥ ⇒ = − ⇔ − = + . 
( ) ( ) ( )
2 2
2 2t 1 2t t 1 2t 1 t 1 t 1 1∗ ⇔ + + − + − = ⇔ + − − = 
 t 1 t 1 1 t 1 t 1 1 t 1 t⇔ + − − = ⇔ + − − = ⇔ − = 
t 1 t 1 1 9
t x 2 x
t 1 t 2 2 4
 − =⇔ ⇔ = ⇔ − = ⇔ = − = −
. 
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 9x
4
= . 
 Nhận xét: Dạng tổng quát của bài toán: 
( ) 2 2x 2a x b a b x 2a x b a b cx m , a 0+ − + − + − − + − = + > . 
Ta có thể làm theo các bước sau: 
Đặt ( ) t x b, t 0= − ≥ thì 2x t b= + nên phương trình có dạng: 
( )2 2 2 2 2t 2at a t 2at a c t b m+ + + − + = + + 
Hay ( ) ( )2 2t a t a c t b m t a t a c t b m+ + − = + + ⇔ + + − = + + . 
Sau đó, sử dụng định nghĩa trị tuyệt đối: 
A A 0
A
A A 0
 ⇔ ≥= 
− ⇔ <
 hoặc sử dụng phương 
pháp chia khoảng để giải. 
Thí dụ 19. Giải phương trình: ( ) x 2 x 1 x 2 x 1 2+ − − − − = ∗ 
Trích đề thi Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 2000 
Bài giải tham khảo 
● Đặt 2 2t x 1 0 t x 1 x t 1= − ≥ ⇒ = − ⇒ = + . 
( ) ( ) ( )
2 2
2 2t 1 2t t 1 2t 2 t 1 t 1 2∗ ⇔ + + − + − = ⇔ + − − = 
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số Ths. Lê Văn Đoàn 
Page - 10 - 
 t 1 t 1 2 t 1 t 1 t 1 0 t 1 x 1 1 x 2⇔ + − − = ⇔ − = − ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ . 
● Vậy nghiệm của