Chuyên đề Phương trình bậc hai - Tương giao giữa parabol và đường thẳng

Chuyªn ®Ò 
ph-¬ng tr×nh bËc hai 
t-¬ng giao parabol vµ ®-êng th¼ng 
Tµi liÖu dïng cho häc sinh «n tËp thi vµo líp 10 THPT 
Biªn so¹n néi dung: ThÇy gi¸o NguyÔn Cao C-êng 
Email: nguyencaocuong.hanoi@gmail.com 
Hµ Néi, 2011 
Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 
>> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 
Địa tốt nhất! 
2 
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - TƯƠNG GIAO GIỮA 
PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG 
Bµi 1: Cho ph-¬ng tr×nh: x2 - ( 2m + 1) x + m2 + m – 6 = 0 (*) 
a).T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm ©m. 
b).T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n 
3 3
1 2x - x = 50 
Giải : 
a) §Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m th×: 
   









012
06
06412
21
2
21
22
mxx
mmxx
mmm
 3
2
1
0)3)(2(
025











 m
m
mm 
b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh:   50)3(2 33  mm 













2
51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m
mmmm
Bµi 2: 
Cho parabol (P) : y = -x2 vµ ®-êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . 
a)Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m th× (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A , B ph©n biÖt 
b). X¸c ®Þnh m ®Ó A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. 
Giải 
a). §-êng th¼ng (d) cã hÖ sè gãc m vµ ®i qua ®iÓm M(-1 ; -2) . Nªn ph-¬ng tr×nh ®-¬ng th¼ng (d) lµ : y 
= mx + m – 2. 
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: 
 - x2 = mx + m – 2 
  x2 + mx + m – 2 = 0 (*) 
 V× ph-¬ng tr×nh (*) cã   mmmm  04284 22 nªn ph-¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai 
nghiÖm ph©n biÖt , do ®ã (d) vµ (P) lu«n c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. 
b). A vµ B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung  pt : x2 + mx + m – 2 = 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu  m – 2 
< 0  m < 2. 
Bài 3) 
Cho ph-¬ng tr×nh (2m -1) x2- 2mx +1 = 0 
X¸c ®Þnh m ®Ó ph-¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm thuéc kho¶ng (-1,0) 
Giải : 
: Ph-¬ng tr×nh: ( 2m – 1 ) x2 – 2mx+1 = 0 
 XÐt 2m – 1 = 0 => m = 1/2 pt trë thµnh –x+1 = 0 => x = 1 
 XÐt 2m - 1  0 => m  1/2 khi ®ã ta cã 
, = m2 – 2 m + 1= (m-1)2  0 mäi m => pt cã nghiÖm víi mäi m 
ta thÊy nghiÖm x = 1 kh«ng thuéc (-1,0) 
víi m  1/2 pt cßn cã nghiÖm x = 
12
1


m
mm
 = 
12
1
m
Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 
>> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 
Địa tốt nhất! 
3 
pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) => -1 < 
12
1
m
 <0 







012
01
12
1
m
m =>







012
0
12
2
m
m
m
=> m <0 
VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1, 0) khi vµ chØ khi m < 0 
. 
Bµi 4: Cho ph-¬ng tr×nh x2 - 2(m -1 ) x + m - 3 = 0 (1) 
a. Chøng minh ph-¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt. 
b. T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) mµ kh«ng phô thuéc vµo m. 
c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P = x21 + x
2
2 (víi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh (1) ) 
Giải 
 a). 
' = m2 –3m + 4 = (m - 
2
3
)2 + 
4
7
>0  m. 
 VËy ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 
b). Theo ViÐt: 





3
)1(2
21
21
mxx
mxx
 => 





622
22
21
21
mxx
mxx
 x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 kh«ng phô thuéc vµo m 
c) P = x1
2 + x1
2 = (x1 + x2)
2 - 2x1x2 = 4(m - 1)
2 – 2 (m-3) 
 = (2m - 
2
5
)2 + m
4
15
4
15
VËyPmin = 
4
15
víi m = 
4
5
Bài 5) Cho phương trình x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số) 
 a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. 
 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 
2 2
1 2 1 2
x x x x 7   . 
Giải : x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số) 
a) Chứng minh phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt. 
Cách 1: Ta có: ' = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Cách 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có hai phân biệt. 
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để 
2 2
1 2 1 2
x x x x 7   . 
Theo a) ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 
Khi đó ta có S = 
1 2
x x 2m  và P = x1x2 = –1. 
Do đó 2 2
1 2 1 2
x x x x 7    S2 – 3P = 7  (2m)2 + 3 = 7  m2 = 1  m =  1. 
Vậy m thoả yêu cầu bài toán  m =  1. 
Bài 6) Cho phương trình ẩn x: x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0 
 a) Giải phương trình với m = 3 . 
 b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 
Giải: 
a) khi m = 3 ,phương trình : x4 – 2mx2 + m2 – 3 = 0 trở thành: 
x
4
 - 2 3 x = 0  x2 (x2 - 2 3 ) = 0  




32
0
2x
x
 






32
0
3,2
1
x
x
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : 
 x1 = 0 , x2 = 32 x3 = - 32 
Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 
>> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 
Địa tốt nhất! 
4 
b) Đặt t = x2 , điều kiện t  0 .Phương trình đã cho trở thành: 
t
2
 – 2mt + m2 – 3 = 0 (1) 
Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt  phương trình (1) có 2 nghiệm trong đó có một 
nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương 
*)Phương trình (1) nhận t = 0 là nghiệm  m2 – 3 = 0  m =  3 
+)Khi m = 3 , phương trình (1) trở thành: t2 - 3 t = 0 
 




32
0
2
1
t
t
 (thoả mãn) 
v ậy m = 3 ,là giá trị cần tìm 
+)Khi m = - 3 , phương trình (1) trở thành : t2 + 2 3 t = 0 
 




32
0
2
1
t
t
 (không thích hợp) 
Vậy m = - 3 không thoả mãn loaị 
Tãm l¹i ph-¬ng tr×nh ®· cho cã 3 nghiÖm ph©n biÖt m = 3 
Bài 7) 
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A(2;-3) 
 và parapol (P) có phương trình là y = - 2
2
1
x 
a) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc bằng k và đi qua điểm A(2; - 3) 
b) Chứng minh rằng bất cứ đường thẳng nào đi qua điểm A(2;-3) không song song với trục tung 
bao giờ cũng cắt parabol y = - 2
2
1
x tại 2 điểm phân biệt 
Giải : 
a) Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k lµ: 
y = k(x-2) – 3 
b) Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;-3) vµ kh«ng song song víi trôc tung cã d¹ng: 
y = k(x-2) – 3 ( k lµ mét sè bÊt kú) 
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña parabol (p) vµ ®-êng th¼ng (d) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: 
-
2
1
x2 = k(x-2) – 3  x2 + 2kx – 4k – 6 = 0 (*) 
§-êng th¼ng (d) vµ parabol (P) c¾t nhau t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt 
 ph-¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi k 
 / > 0 víi mäi k 
 k2 + 4k + 6 > 0 víi mäi k 
ThËt vËy 
/ = k2 + 4k + 6 = (k2 + 4k + 4) + 2 = (k + 2)2 + 2 > 0 víi mäi k 
 ®iÒu ph¶i chøng minh. 
Bài 8) Tìm giá trị của a để phương trình : 
 (a
2
 – a – 3)x2 + (a + 2)x – 3a2 = 0 
nhận x = 2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của phương trình? 
Giải : Đk : a2 – a – 3 0 (*) 
Phương trình đã cho nhận x1 = 2 là nghiệm 
 4(a2 – a – 3) + 2(a + 2) – 3a2 = 0 
 a2 – 2a – 8 = 0 
Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 
>> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 
Địa tốt nhất! 
5 
 




4
2
a
a
 (thỏa (*) ) 
Khi đó nghiệm còn lại của phương trình là: 
 x2
 = 
)3(2
3
2
2


aa
a
+) Nếu a = -2 , nghiệm còn lại của phương trình là 
 x2 = -2 
+) Nếu a = 4 , nghiệm còn lại của phương trình là 
 x2 = - 
3
8
Bài 9) 
Cho phöông trình : x
2
 – 2mx + m2 - 
2
1
 = 0 (1) 
a)Tìm m ñeå phöông trình (1) coù nghieäm vaø caùc nghieäm cuûa phöông trình coù giaù trò tuyeät ñoái baèng nhau 
b)Tìm m ñeå phöông trình (1) coù nghieäm vaø caùc nghieäm aáy laø soá ño cuûa hai caïnh goùc vuoâng cuûa moät 
tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn baèng 3 
Giải : 
Caâu a) Giaû söû phöông trình coù 2 nghieäm x1 , x2 thoaû maõn 21 xx  
=> x1 = x2 hoaëc x1 = - x2 
a) Neáu x1 = x2 =>  = 0 =>  = 
2
1
 = 0 (voâ lyù) 
b) Neáu x1 = - x2 => x1 + x2 = 0 => 2m = 0 => m = 0 
=> phöông trình ñaõ cho trôû thaønh : x
2
 - 
2
1
 = 0  x = 
2
1
 
=> phöông trình coù 2 nghieäm coù giaù trò tuyeät ñoái baèng nhau 
=> m = 0 laø giaù trò caàn tìm 
Caâu b) Giaû söû phöông trình coù 2 nghieäm x1 vaø x2 laø soá ño cuûa 2 caïnh goùc vuoâng cuûa moät tam giaùc 
vuoâng coù caïnh huyeàn baèng 3 
=> x1 > 0 ; x2 > 0 vaø x1
2
 + x2
2
 = 9 
Ta coù x1
2
 + x2
2
 = (x1 + x2 )
2 
 - 2x1x2 = 4m
2
 – 2(m2 -
2
1
) = 2m
2
 + 1 
=> vaø x1
2
 + x2
2
 = 9  2m2 + 1 = 9  m =  2 
+Vôùi m = 2 phöông trình ñaõ cho trôû thaønh : 
 x
2
 - 4x + 
2
7
 = 0 
Phöông trình naøy coù 2 nghieäm laø: 
x1 = 2 - 
2
1
 ; x2 = 2 +
2
1
 (thoaû maõn) 
=> m = 2 laø giaù trò caàn tìm 
+ Vôùi m = -2 phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: 
 x
2
 + 4x + 
2
7
 = 0 
Phöông trình naøy coù 2 nghieäm laø : 
 x1 = - 2 - 
2
1
 < 0 vaø x2 = - 2 + 
2
1
 < 0 (loaïi) 
=> m = -2 khoâng troaû maõn 
Toùm laïi: Phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm vaø 2 nghieäm naøy laø soá ño 2 caïnh 
Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 
>> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 
Địa tốt nhất! 
6 
cuûa goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn baèng 3  m = 2 
Bài 10) Treân heä truïc toaï ñoä Oxy cho parabol (P) coù phöông trình y = x2 (P) 
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng song song vôùi ñöôøng thaúng y = 3x + 12 vaø coù vôùi parabol (P) ñuùng moät 
ñieåm chung. 
Giải: +)Goïi (d) laø ñöôøng thaúng phaûi tìm.Vì ñöôøng thaúng (d) // ñöôøng thaúng 
 y = 3x + 12 => phöông trình ñöôøng thaúng (d) coù daïng; y = 3x + m 
+)Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol y = x
2
 laø nghieäm cuûa phöôøng trình: x
2
 = 3x + m 
 x2 – 3x – m = 0 (*) 
+)Ñöôøng thaúng (d) vaø parabol y = x
2
 coù ñuùng 1 ñieåm chung 
 phöông trình (*) coù nghieäm duy nhaát 
  = 0  9 + 4m = 0  m = - 
4
9
 phöông trình ñöôøng thaúng (d) laø y = 3x - 
4
9
Bài 11) Cho caùc haøm soá : 
 y = x
2
 (P) 
 y = 3x + m
2
 (d) 
 ( x laø bieán soá , m laø tham soá cho tröôùc) 
 a) Chöùng minh raèng vôùi baát kyø giaù trò naøo cuûa m , ñöôøng thaúng (d) luoân caét parabol (P) taïi 2 ñieåm 
phaân bieät. 
 b) Goïi y1 vaø y2 laø tung ñoä caùc giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø parabol (P).Tìm m ñeå coù ñaúng thöùc : 
y1 + y2 = 11y1.y2 
Giải : 
Caâu a) Hoaønh ñoï giao ñieåm cuûa parabol (P) vaø ñöôøng thaúng (d) laø nghieäm cuûa 
phöông trình : x
2
 = 3x + m
2
  x2 - 3x - m2 = 0 (*) 
Phöông trình (*) coù :  = 9 + 4m2 > 0 vôùi moïi m 
=> phöông trình (*) luoân coù hai nghieäm phaân bieät 
=> Ñöôøng thaúng (d) bao giôø cuõng caét parabol (P) taïi hai ñieåm phaân bieät 
Caâu b) 
Goïi A vaø B laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng (d) vaø para bol (P) vaø toaï ñoä giao ñieåm cuûa chuùng laø: 
 A(x1; y1) ; B(x2 ; y2) 
AÙp duïng heä thöùc viet cho phöông trình (*) ta coù : 





2
21
21
.
3
mxx
xx
Ta coù y1 + y2 = ( 3x1 + m
2
) + (3x2 + m
2
 ) = 3(x1 + x2) + 2m
2
 = 2m
2
 + 9 (1) 
vaø y1.y2 = x1
2
.x2
2
 = (x1.x2)
2
 = (-m
2
)
2
 = m
4
 (2) 
Töø (1) vaø (2) ta coù : 
 y1 + y2 = 11y1 .y2 
  2m2 + 9 = 11 m4 (3) 
  11m4 – 2m2 – 9 = 0 
Ñaët : t = m
2
 , ñieàu kieän t 0 ,phöôöng trình (3) trôû thaønh: 
 11t
2
 – 2t – 9 = 0 
Vì phöông trình coù a + b + c = 0, neân phöông trình coù 1 nghieäm laø t = 1 
Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 
>> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 
Địa tốt nhất! 
7 
ngieäm coøn laïi laø t = - 
11
9
 (loaïi) 
Vôùi t = 1 => m
2
 = 1 => m =  1 
Vì phöông trình (*) coù nghieäm vôùi moïi m neân m =  1 thoaû maõn 
=> ñöôøng thaúng (d) caét parabol (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät coù tung ñoä thoaû maõn 
 y1 + y2 = 11y1.y2  m =  1 
Bài 12) Cho ñöôøng thaúng (d) coù phöông trình y = ax + b . Bieát raèng ñöôøng thaúng (d) caét truïc hoaønh taïi 
ñieåm coù hoaønh ñoä baèng 1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng 
 y = - 2x + 2010 
a)Tìm a vaø b 
b) Tìm toaï ñoä caùc ñieåm chung (neáu coù ) cuûa (d) vaø parabol: y = - 
2
1
x
2
Giải : a)Ñöôøng thaúng y = ax + b song song vôùi ñöôøng thaúng y = - 2x + 2010 neân chuùng coù cuøng heä soá 
goùc => a = -2. 
Ñöôøng thaúng (d) caét truïc hoaønh taïi ñieåm coù hoaønh ñoä baèng 1 neân toaï ñoä ñieåm 
(1;0) thoaû maõn phöông trình cuûa (d): 
 0 = a.1 + b 
Giaûi ra ta ñöôïc : a = -2 vaø b = 2 
b)Toaï ñoä ñieåm chung cuûa (d) vaø parabol y = - 
2
1
x
2 
 laø nghieäm cuûa heä phöông trình: 






2
2
1
22
xy
xy
 => - 
2
1
x
2
 = - 2x + 2 
  x2 - 4x + 4 = 0 
Giaûi phöông trình ta ñöôïc x = 2 
=> y = - 2 
Vaäy ñöôøng thaúng (d) vaø parabol coù 1 ñieåm chung vôùi toaï ñoä ( 2; - 2 ) 
Bài 13) Cho parabol (P): y = 2
1
2
x 
 a) Gäi A, B lµ hai ®iÓm trªn ®å thÞ (P) cã hoµnh ®é lÇn l-ît lµ -2; 4. ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng 
th¼ng ®i qua A, B 
 b) Chøng minh r»ng ®-êng th¼ng (d): y = mx - 2m + 3 c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. Gäi x1, x2 lµ 
hoµnh ®é hai giao ®iÓm Êy. 
 T×m m tho¶ m·n x1
2 + x2
2 = 24 
Giải : 
a, V× A, B thuéc (P) nªn A(-2; 2) ; B(4; 8) 
Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng qua A, B cã d¹ng y = ax + b 
v× ®-êng th¼ng ®i qua A, B nªn ta cã hÖ pt 
2 2
4 8
a b
a b
  

 
  a = 1; b = 4 
®-êng th¼ng cÇn t×m lµ y = x + 4 
b, Hoµnh ®é giao ®iÓm lµ nghiÖm cña pt x2 - 2mx + 4m - 6 = 0 
∆ = (m - 2)2 +2 > 0 víi mäi m 
Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 
>> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 
Địa tốt nhất! 
8 
x1
2 + x2
2 = 24 
 (x1 + x2)
2 - 2x1x2 = 24 
m2 - 2m - 3 = 0  m = - 1 ; m = 3 
Bài 14) Cho ph-¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 
Kh«ng gi¶i ph-¬ng tr×nh, t×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 
tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11 
Giải : §Ó ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th×  > 0 
 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0 (1) 
MÆt kh¸c, theo ®Þnh lý ViÐt vµ gi¶ thiÕt ta cã: 















114x3x
2
1m
.xx 
2
12m
xx 
21
21
21















11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3
8m-26
77m
x 
7
4m-13
x 
1
1
 (Đ k: m
26
8
 ) 
Gi¶i ph-¬ng tr×nh 11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3 

 
ta ®-îc m = - 2 vµ m = 4,125 
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (1) vµ (2) ta cã: Víi m = - 2 hoÆc m = 4,125 th× ph-¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm 
ph©n biÖt. 
Bài 15) Cho ph-¬ng tr×nh : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m lµ tham sè. 
a/. T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm. 
b/. T×m m ®Ó ph-¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm sao cho nghiÖm nµy b»ng ba lÇn nghiÖm kia. 
Giải a/. Ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm khi vµ chØ khi  ’  0. 
 (m - 1)2 – m2 – 3  0 
 4 - 2m  0 
 m  2. 
 b/. Víi m  2 th× (1) cã 2 nghiÖm. 
 Gäi mét nghiÖm cña (1) lµ a th× nghiÖm kia lµ 3a . Theo Viet ,ta cã: 
2
3 2 2
.3 3
a a m
a a m
  

 
  a= 
1
2
m
 3(
1
2
m
)2 = m2 – 3 
  m2 + 6m – 15 = 0 
  m = –3 2 6 ( thâa m·n ®iÒu kiÖn). 
Bài 16) Cho phương trình bậc hai : 
 x
2
 - 2(m + 1) x + m - 4 = 0 (1) 
 a) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 1 
 b) Chứng minh rằng pt (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ? 
 c ) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1)đã cho . CMR b iểu thức : 
 K = x1(1- x2 )+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào giá trị của m . 
HD : a) khi m =1 thì pt có 2 nghiệm : x1 = 2 + 7 
 x2 = 2 - 7 
 b) ’ = (m + 1)2 + 17 > 0 m => pt luôn có 2 nghiệm với mọi m . 
Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 
>> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 
Địa tốt nhất! 
9 
 c) ’ > 0 , m . Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 và 
 K = x1 - x1x2 + x2 - x1x2 = ( x1 + x2 ) - 2x1x2 =10 ( hằng số) 
Bài 17) Cho parabol (P) có đỉnh ở gốc tọa độ O và đi qua điểm A (1 ; 
-1
4
 ) . 
 a) Viết phương trình của parabol (P) 
 b) Viết phương trình của đường thẳng d song song với đường thẳng x + 2y = 1 và đi qua điểm B(0; m ) 
 c)Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ x1 và x2 , 
 sao cho thỏa mãn : 3x1 + 5x2 = 5 . 
HD a) khi (P) đi qua O có dạng : y = a x2 và đi qua A(1; - 
1
4
 ) => có pt (P) là : y = - 
1
4
 x
2
 . 
 b ) Ta có (d) // đthẳng x + 2y = 1  y = - 
1
2
 x +b và đi qua B (0; m) 
  Pt (d) là : y = - 
1
2
x + m ( m≠ 
1
2
 ) 
 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt  pt hoành độ : - 
1
4
 x
2
 = - 
1
2
 x + m  x2 - 2x + 4m = 0 
 có hai nghiệm phân biệt  ’ = 1 - 4m > 0  m < 
1
4
 ; 
 Vậy : m < 
1
4
 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1 ,x2 thõa mãn : 3x1 + 5 x2 = 5 , 
 c) Theo vi ét ta có : x1 + x2 = 2 và x1x2 = 4m => 


x1+x2=2 
3x1+5x2=5
  


x1=
5
2
x2=-
1
2
  x1x2 = 4m  m = - 
5
16
 ( thỏa các đ k) 
Bài 18) 
Cho đường thẳng d có phương trình : y = ( m+1 ) x + m (d) 
 và Parabol (P) có phương trình : y = 2x2 . 
 a) Vẽ đồ thị hàm số (d) biết (d) đi qua điểm M ( 2;4 ) và đồ thị hàm số y = 2x2 trêncùng một hệ tọa độ . 
 b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B nằm về về 2 phía 
đối với trục tung Oy . 
HD : a) Pt đường thẳng (d) xác định là : y = x + 2 ; Hs tự vẽ , 
 b) (d) cắt (P) tại 2điểm phân biệt A và B nằm 2 phía đối với oy 
 Pt hoành độ có 2 nghiệm phân biệt   > 0 và P < 0 
Bài 20) Cho phương trình : 2x2 - 6x + m = 0 (1) 
 a) Giải Pt (1) khi m = 4 . 
 b) Tìm m để pt (1) có 2 nghệm dương ? 
 c) Tìm m để pt (1) có 2 nghiện x1 , x2 sao cho : 
x1
x2
 + 
x2
x1
 = 3 . 
HD: a) Với m =4 => pt có nghiệm : x1 =1 ; x2 =2 ; 
 b) Pt có 2 nghiệm dương  (0 < x  
9
2
 ) 
 c)  > 0  pt có 2 nghiện phân biệt thõa mãn : x1
x2
 + 
x2
x1
 = 3 
  ( x1 + x2 )
2
 - 5x1x2 = 0 , kết hợp vi ét giải ra ta có m = 
18
5
  đk 
Chuyên đề pt bậc hai - tương giao Parabol và đường thẳng 
>> Truy cập trang  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - 
Địa tốt nhất! 
10 
Bài 20) Cho phương trình ẩn x : x2- 2 (m+1)x + n + 2 = 0 (1) . 
 a) Giải Pt (1) khi : m = - 2 và n = - 1 . 
 b) Tìm giá trị của m và n để Pt(1) có hai nghiệm phân biệt là 3 và - 2 . 
 c ) Cho m = 0 , tìm các giá trị nguyên của n để Pt(1) có hai 
 Nghiệm x1 và x2 thỏa mãn : 
x1
x2
 = 
x2
x1
 là số nguyên . 
HD:: a) Tự giải 
 b) m = 
-1
2
 ; n = - 8 . 
 c) ’  0 và x1
x2
 = 
x2
x1
  Z  x 1 = x2  n = 1  Z . 
Bài 21) Cho Parabol (P) : y = x
2
 và đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx + 10. 
 a/ Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 
 b/ Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x1
2
 + x2
2
 + x1x2 khi m thay đổi. 
Giải : a/ Hoành độ giao điểm của Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số của 
phương trình: x2 = 4mx + 10  x2  4mx  10 = 0 (1) 
Phương trình (1) có ’ = 4m2 + 10 > 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó 
Parabol (P): y = x
2
 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 =  10 
F = x1
2
 + x2
2
 + x1x2 = [(x1 + x2)
2
  2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)
2
  x1x2 = 16m
2
 + 10  10 
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 16m2 = 0  m = 0. 
Vậy GTNN của F = 10 khi m = 0. 
Bài 22)*Cho ph-¬ng tr×nh (Èn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 0 
1/ Gi¶i ph-¬ng tr×nh ®· cho khi m = 1. 
2/ T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 
tho¶ m·n hÖ thøc x1
2 + x2
2 = 10. 
Giải : 
Khi m 1 ta có phương trình:   x x2 4 3 0 
Tổng hệ số   a b c 0  Phương trình có 2 nghiệm   ;
c
x x
a
1 21 3 
 Biệt thức          'x m m m
2 21 2 2 1 
Phương trình có 2 nghiệm x x1 2      'x m m
1
2 1 0
2
 * Khi đó, theo định lý viét 
 

   

   

b
x x m
a
c
x x m
a
1 2
2
1 2
2 1
2
 
   
   
   
 
Ta cã x x x x x x
m m
m m
22 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2
2
4 1 2 2
2 8
 
*Theoyªu cÇu:
lo¹i
x x m m
m
m m
m
    

     
 
2 2 2
1 2
2
10 2 8 10
1