Chuyên đề Phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi tuyển sinh ĐH

1 
Chuyên đề luyện thi đại học 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH 
KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH 
Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học 
sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập để lựa 
chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết 
những vướng mắc đó. 
Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán 
- Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: 
b=ctanB, c=btanC; 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
  
- Trong tam giác thường ABC ta có: 
2 2 2
2 2 2 2 cos ;cos 
2
b c aa b c bc A A 
bc
 
    . Tương 
tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: 
- 1 1 1sin sin sin
2 2 2ABC 
S ab C bc A ac B    
- V(khối chóp)= 1 .
3 
B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) 
- V(khối lăng trụ)=B.h 
- V(chóp S(ABCD)= 1
3 
(S(ABCD).dt(ABCD)) 
- S=p.r (Trong đó p là nữa chu vi, r là bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) 
Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: 
- Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. 
- Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ 
mặt bên đến giao tuyến. 
- Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là 
giao 
tuyến của 2 mặt kề nhau đó. 
- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc 
bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. 
CB 
H 
A 
2- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao 
chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy. 
Sử dụng các giả thiết mở: 
- Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy góc  thì chân đường cao hạ từ đỉnh
sẽ rơi vào đường phân giác góc tạo bởi 2 cạnh nằm trên mặt đáy của 2 mặt bên (Ví dụ: 
Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy góc  thì chân 
đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC) 
- Hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc hai cạnh bên đều tạo với đáy một góc  thì 
chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm còn lại 
của cạnh bên thuộc mặt đáy. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB và SC cùng 
tạo với đáy một góc  thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC) 
Việc xác định được chân đường cao cũng là yếu tố quan trọng để tìm góc tạo bởi đường 
thẳng và mặt phẳng hoặc góc tạo bởi 2 mặt phẳng. 
Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo bởi SC và (ABCD) 
là 600, góc tạo bởi (SCD) và (ABCD) là 450, đáy là hình thang cân có 2 cạnh đáy là a, 2a; cạnh
bên bằng a. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của SD,BC.Tìm góc tạo bởi PQ và mặt phẳng 
(ABCD).Tính V khối chóp? 
Rõ ràng đây là khối chóp thuộc dạng 2. Từ đó ta dễ dàng tìm được đường cao và xác định các 
góc như sau: 
- Kẻ SH vuông góc với AD thì SH là đường
cao(SC,(ABCD))= ˆ ˆ; ( , ( )) )SCH SM ABCD HMS , với M là chân đường cao kẻ từ H lên 
CD 
- Từ P hạ PK vuông góc với AD ta có ˆ( , ( ))PQ ABCD PQK 
Phần 3: Các bài toán về tính thể tích 
A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: 
Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D., 
có AB=AD=2a; CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm 
D A 
B C 
M 
H 
S 
P 
Q 
 K 
3AD biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp 
SABCD? 
HD giải: Vì 2 mặt phẳng (SBC) và (SBI) cùng vuông góc với (ABCD) mà (SBI) và (SCI) có 
giao tuyến là SI nên SI là đường cao. Kẻ IH vuông góc với BC ta có góc tạo bởi mặt phẳng 
(SBC) và (ABCD) là 0ˆ 60SHI  . Từ đó ta tính được: 
212; 5; ( ) ( ) 3
2
IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a      
2 2
2 21 3. ( ) ( ) ( ) ( ) 3
2 2 2
a aIH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a        nên 
2 ( )S IBCIH
BC
 
3 3 
5
a . Từ đó V(SABCD)= 33 15 
5
a . 
Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 
AB=a; AA’=2a; A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A’C’, I là trung điểm của AM và A’C’. 
Tính V chóp IABC theo a? 
HD giải: 
- ABC A’B’C’ là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. 
Vì I(ACC’) (ABC), từ I ta kẻ IHAC thì IH là đường cao và I chính là trọng tâm tam giác 
AA’C’ 2 4
3 3
IH CI aIH
AA CA
    
 
Có 
22 2 2 2 2AA 9 4 5 2AC A C a a a BC AC AB a         
V(IABC)= 31 1 4 1 4. ( ) . . .2 .
3 3 3 2 9
aIH dt ABC a a a  ( đvtt) 
S
I A 
B 
H 
D 
C 
4B. Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích hoặc phân chia khối đa diện 
thành các khối đa diện đơn giản hơn 
Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện
đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công 
thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian 
đơn giản hơn. 
Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau: 
( ) . .
( ) . .
V SA B C SA SB SC 
V SABC SA SB SC
     
 (1) 
( A ABC) A A 
( ) SA
V S
V SABC
 
 (2). Công thức (2) có thể mở rộng cho khối chóp bất kỳ. 
C
B
A
C'
B'
A'
S
B’ C’ M 
A’ 
B 
A 
I 
H 
C 
5Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0ˆ 60BAD  , SA vuông góc 
với đáy(ABCD), SA=a. Gọi C là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC song song với BD cắt
các cạnh SB, SD của hình chóp tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp 
HD giải: 
 Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra AC’ và SO cắt nhau tại trọng tâm I của tam giác SAC. Từ
I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD tại B’, D’ là 2 giao 
điểm cần tìm. 
Ta có: 1 2;
2 3
SC SD SB SI
SC SD SB SO
  
   
Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( )2 ; 2SAB C D SAB C SAB C SABCV V V V       
( ) ( ) . . 1
( ) ( ) . . 3
V SAB C D V SAB C SA SB SC
V ABCD V SABC SA SB SC
      
   
 Ta có 3( )
1 1 1 3 3ˆ. ( ) . . . . . .
3 3 3 2 6SABCD 
V SA dt ABCD SA AD AB sinDAB a a a a    
3
( )
3 
18SAB C D
V a    (đvtt) 
Ví dụ 4) (Dự bị A 2007) 
Cho hình chóp SABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vuông góc với đáy, cạnh SB 
hợp với đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy M sao cho AM= 3 
3
a . Mặt phẳng BCM cắt DS tại 
N. Tính thể tích khối chóp SBCMN. 
HD giải: 
Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB và 
(ABCD) là 0ˆ 60SBA  . Ta có SA=SBtan600=a 3 . 
S 
B’ 
C’ 
D’ 
O 
B C 
D A 
6Từ đó suy ra SM=SA-AM= 3 2 3 23
3 3 3
SM SNa a a
SA SD
    
Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2SABCD SABC SACD SABC SACDV V V V V    
 ( ) ( ) ( )SBCMN SMBC SMCNV V V  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. . . 1. . .
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2. . . 2. . .
1 2 5
3 9 9
V SMBCN V SMBC V SMCN V SMCN V SMCN SM SB SC SM SC SN
V SABCD V SABCD V SABC V SACD SA SB SC SA SC SD

     
  
Mà 3 3( ) ( )
1 1 2 3 10 3. ( ) 3 .2
3 3 3 27SABCD SMBCN
V SA dt ABCD a a a a V a     
Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian 
A. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng 
Để giải quyết nhanh gọn bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh 
cần nắm chắc bài toán cơ bản và các tính chất sau 
* Bài toán cơ bản: Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến 
(SBC) 
- Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy ra AH vuông góc với (SBC). Vậy 
khoảng cách từ A đến (SBC) là AH. 
Ta có 2 2 2
1 1 1 
ASAH AM
  
S 
M 
N 
A D 
C B 
7H
M
C
B
A
S
* Tính chất quan trọng cần nắm:
- Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) thì khoảng cách từ mọi điểm trên (d) 
đến mặt phẳng (P) là như nhau 
- Nếu AM kBM thì /( ) /( )A P B Pd kd trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M 
Trên cơ sở các tính chất trên ta luôn quy được khoảng cách từ một điểm bất kỳ về bài toán 
cơ bản. 
Tuy nhiên 1 số trường hợp việc tìm hình chiếu trở nên vô cùng khó khăn, khi đó việc sử 
dụng công thức tính thể tích trở nên rất hiệu quả. 
Ta có V(khối chóp)= 1 3.
3
VB h h
B
  
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu của S trùng với 
trọng tâm tam giác ABD. Mặt bên (SAB) tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể tích của khối 
chóp SABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD). 
Lời giải: 
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, 
E là hình chiếu của G lên AB 
Ta có:  ;SG AB GE AB AB SGE    
0ˆ 60 SAG  
ˆ. tan 3SG GE SEG GE   
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABD 
1
3 3
aGE BC  
31 3.
3 9SABCD ABCD
aV SG S   
8Hạ GN vuông góc với AD, GH vuông góc với SN. 
Ta có /( ) / ( ) 2 2 22
33 .3 . 33 33 3
23
3 3
B SAD G SAD
a a
GN GS ad d GH
GN GS a a
    
       
   
H
N
E G
D
C
A
B
S
Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng .ABCD A B C D    có đáy ABCD là hình thoi , 3AB a , 
0120BAD  . Biết góc giữa đường thẳng AC  và mặt phẳng ( )ADD A  bằng 030 .Tính thể tích 
khối lăng trụ trên theo a. và khoảng cách từ trung điểm N của BB’ đến mặt phẳng (C’MA).Biết 
M là trung điểm của A’D’ 
Ta có . ' ' ' ' '.ABCD A B C D ABCDV AA S (1). 
 Đáy ABCD là hình thoi gồm 2 tam giác đều ABC, ACD nên: 
 2 23 3 3 32 2.
4 2ABCD ABC
a aS S   (2) 
Gọi C’M là đường cao của tam giác đều C’A’D’ thì  ' ' 'C M ADA D nên 0ˆ' 30C AM  
Ta có 0 2 23 3 3' ' .cot 30 ' ' 6
2 2
a aC M AM C M A A AM A M a        (3) 
Thay (2),(3) vào (1) ta có:
2 3
. ' ' ' '
3 3 9 2. 6
2 2ABCD A B C D
a aV a  . 
9Ta có /( ' ) / ( ' )N C MA K C MAd d với K là trung điểm của DD’ (Vì K và N đối xứng nhau qua trung 
điểm O của AC’) 
Từ K hạ KH vuông góc với AM thì 
/( ' ) 
1( ' ) ; . ( ' ' ) ( ' ) ( ' ) ( )
2K C MA
KH AC M d KH KH AM dt AA D D dt AA M dt MD K dt AKD      
3 3 1 3 1 6 3 1 6 6. 6. 3 6. . . . . 3
4 2 2 2 2 2 2 2 2
a a a a aKH a a a a KH a       
Vậy /( ' )
6 
2N C MA
d a 
H K
M
B'
C'
A'
D'
D
C
B A
N
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600, ABC,SBC là 
các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).(Đề dự bị khối A 2007) 
HD: 
Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS=BA=BC=a. Gọi O là chân 
đường cao hạ từ B xuống mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC. Gọi M là 
trung điểm BC ta có ;SM BC AM BC  . Nên góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là 
0 a 3ˆ 60 AS=
2
SMA SM AM    . 
Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC. 
Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA và CN (N là 
trung diểm của SA). Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm 
2 2
2 2 3
2 1316cos
4
SA aSC aNCSNC
SC SC a
   
     
10
2
2 2 22 4 32 ;ˆ 13cos 13 13
SC
a a aOC BO BC OC a
SCN
        . 
Cách 2: 0( ) ( ) 
1 22 2 . ( ) . .sin 60
3 3.2SABCD SABM 
aV V BM dt SAM AM MS   3 3 ( )
16
a dt SAC
=
21 1 13 3 39 3 ( ) 3.AS= . . ( , ( )
2 2 4 2 16 ( ) 13
a V SABC aCN a a d B SAC 
dt SAC
    
Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang 0ˆˆ 90ABC BAD  , BA=BC=a, 
AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= 2a , gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007) 
HD giải: Ta có 2 2 2 22; 6; 2AC a SD SA AD a SC SA AC a       . Ta cũng dễ dàng 
tính được 2CD a . Ta có 2 2 2SD SC CD  nên tam giác SCD vuông tại C. 
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 .AS . 2 2
AS 3AB AS 2
2
2 23
33 3
AB a aAH a
AH AB a a
a
SHSH SA AH a 
SB a
     
 
      
O 
S 
P 
C 
M 
B 
A 
N 
11
21. .( ) 1( ) ( ) ( ) . ;
2 2 2
AB BC AD adt BCD dt ABCD dt ABD AB AD    
2
2
3
1( ) . 2
2
( ) . . 2 1 1. 2. 2; ( ) . ( )
( ) . . 3 3 3.2 6
dt SCD SC CD a
V SHCD SH SC SD a aV SBCD SA dt BCD a
V SBCD SB SC SD
 
    
32( )
9
V SHCD a .Ta có 3
2
3 ( ) 2 1( /( )) .3
( ) 9 32
V SHCD ad H SCD a
dt SCD a
  
B. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian 
Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo 
trình tự sau: 
- Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 
điểm bất kỳ trên b đến mp(P) 
- Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã 
trình bày ở mục A. 
Ví dụ 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên 
2AA a  . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA B C   và 
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C.(TSĐH D2008) 
HD giải: 3 2( ) .
2
V ABCA B C S h a     . Gọi N là trung điểm của BB’ ta có B’C song song với 
mp(AMN). Từ đó ta có: ( , ) ( , ( )) ( , ( ))d B C AM d B AMN d B AMN   vì N là trung điểm của BB’. 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (AMN), vì tứ diện BAMN là tứ diện vuông tại B nên ta 
có 2 2 2 2
1 1 1 1
7
aBH
BH BA BN BM
     chính là khoảng cách giữa AM và B’C. 
B 
C
D A 
H 
S 
12
Chú ý 1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều
kiện B’C song song với (AMN). Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy 
nghĩ điều này 
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P) 
cũng bằng khoảng cách từ B đến (P)) 
Ví dụ 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng
minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.(TSĐH B 
2007) 
HD giải: Gọi P là trung điểm của SA, ta có tứ giác MPNC là hình bình hành. 
Nên MN// PC. Từ đó suy ra MN//(SAC). Mặt khác BDmp(SAC) nên BD PC BD MN  . 
Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= 1 1 1( , ( )) 2
2 4 2
d B SAC BD a  
S 
M P 
E 
A 
N 
C
D 
B 
B’ 
C’ 
A’ 
N 
B H 
M 
C A 
K
13
( Chú ý việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) 
giúp ta đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này 
để vận dụng) 
Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, 2 ,AB BC a  hai mặt 
phẳng (SAC) và (SBC) cùng vuông góc với đáy (ABC). Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua 
SM song song với BC cắt AC tại N. Biết góc tạo bởi (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích 
khối chóp SBCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN (TSĐH A 2011) 
Giải: 
- Ta có 0 0ˆ ˆ( ); 90 60 2 3SA ABC ABC SBA SA a      
Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N suy ra N là trung điểm AC 
Từ đó tính được 33V a 
- Kẻ đường thẳng (d) qua N song song với AB thì AB song song với mặt phẳng (P) chứa SN và 
(d) nên khoảng cách từ AB đến SN cũng bằng khoảng cách từ A đến (P).
Dựng AD vuông góc với (d) thì / /( )AB SND , dựng AH vuông góc với SD thì 
/ /( ) 2 2
. 2 39( )
13AB SN A SND 
SA AD aAH SND d d AH
SA AD
     

M
N
D
H
C
B
A
S
Phần 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian. 
Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường 
thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc 
tạo bởi b và c. Hoặc ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a 
và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin hoặc theo hệ thức lượng trong 
tam giác vuông. 
Ví dụ 1) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại 
A. AB = a , AC = a và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp (ABC) là trung điểm của cạnh BC , 
Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và tính côsin góc tạo bởi AA’ và B’C’ . (TSĐH A 2008) 
HD giải :Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra A’H (ABC) và 
2 21 1 3
2 2
AH BC a a a    Do đó A’H = 2 2' 3.A A AH a  
14
V(A’ABC) = 1 
3
A’H.dt (ABC) =
3
2
a Trong tam giác vuông A’B’H ta có 
HB’= 2 2' ' 2A B A H a  nên tam giác B’BH cân tại B’. Đặt  là góc tạo bởi AA’ và B’C’ thì 
 1' cos
2.2 4
aB BH
a
    
Tel 0988844088 
Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a 3 mp 
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB,BC. Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN. 
Hd giải: Từ S hạ SH vuông góc AB thì SH vuông góc với mp (ABCD). SH cũng chính là 
đường cao khối chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2SAB  vuông tại 
S
2
ABSM a SAM     là tam giác đều 3 
2
a
 ABCH  
Dễ thấy đường thẳng(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 . Do đó V(SBMDN)=
31 3. ( )
3 3
aSH dt BMDN  
Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra AE =
2
a giả sử 
(SM,DN)= ( , ).SM ME   Ta có SA vuông góc với AD (Định lý 3 đường vuông góc ) suy 
B 
H 
C 
A 
B’ 
C’ 
A’ 
15
ra 2 2 2 25 5,
2 2
a aSA AE SE SA AE ME AM ME        Tam giác SME cân tại E 
nên cos 52
5
SM
ME
   
PHẦN 4) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN 
Để giải quyết tốt dạng bài tập này học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản sau: 
** Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 1 2.. nSA A A thì tâm I cách đều các đỉnh 
1 2; ; ..... nS A A A
- Vì vậy tâm I thuộc trục đường tròn đáy là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và 
vuông góc với đáy 1 2... nA A A (đường thẳng này song song với đường cao khối chóp) (Phải chú ý 
việc chọn mặt đáy cần linh hoạt sao cho khi xác định trục đường tròn đáy là đơn giản nhất) 
- Tâm I phải cách đều đỉnh S và các đỉnh 1 2; ..... nA A A nên I thuộc mặt phẳng trung trực của iSA
đây là vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên sao cho trục đường tròn đã xác 
định và cạnh bên đồng phẳng với nhau để việc tìm I được dễ dàng 
** Trong một số trường hợp đặc biệt khi khối chóp có các mặt bên là tam giác cân, vuông, đều ta 
có thể xác định 2 trục đường tròn của mặt bên và đáy . Khi đó tâm I là giao điểm của 2 trục 
đường tròn. Nếu hình chóp có các đỉnh đều nhìn cạnh a dưới một góc vuông thì tâm mặt cầu là 
trung điểm của cạnh a. 
** Khi tính toán cần lưu ý các công thức: 
4 4
abc abcS R
R S
   ; 2 sin ,...a R A
Ta xét các ví dụ sau: 
S 
A E 
M 
B N 
C 
D 
16
Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B 
aADaBCAB 2;  .Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung điểm 
của AD.Tính thể tích khối chóp SCDE và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó. 
HD giải: 
6
3aV  
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực 
của SE. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE là giao điểm của mặt phẳng 
(ABMN) và trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE. Gọi  là đường thẳng qua I là trung điểm của 
CD và song song với SA.Gọi K là trung điểm của AB thì KN //AM. KN và  đồng phẳng suy ra 
OKN  là điểm cần tìm 
Tam giác OIK vuông cân nên OI=IK=
2
3
2
aADBC 

 ; 
 Ta có 
2
11
4
11
4
2
4
9 222222 a OCRaaaICOIOC  (0,25 điểm) 
j
O
C
E
I
M
N
K
A
B
S
Trong ví dụ này ta dựng mặt phẳng trung trực của SE để tận dụng điều kiện tam giác SAE 
vuông cân ở A 
Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh ; 2AB a AD a  góc 
giữa hai mặt phẳng (SAC) và ABCD bằng 600. Gọi H là trung điểm của AB. Biết mặt bên SAB 
là tam giác cân tại đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp 
SABCD và xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC 
17
- Ta có ( )SH AB SH ABCD   .Kẻ HM vuông góc với AC thì góc tạo bởi (SAC) và 
(ABCD) là 0ˆ 60SMH  
Có 02 6 2ˆsin ; tan 60
2 6 23
BC a a a aHM AH HAM AH SH HM
AC a
      
31 ( )
3 3SABCD 
aV SHdt ABCD  
Q
P
E
M NK
I
D
OH
C
B
A
S
- Gọi E, K lần lượt là trung điểm của SA, HA . Kẻ đương thẳng qua K song song với AD cắt CD 
ở F thì KF ( )SAH . Dựng Ex song song với KF thì Ex là trục đường tròn