Chuyên đề Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC 
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH XUYÊN 
CHUYÊN ĐỀ 
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ 
Ngƣời thực hiện: Đỗ Đức Anh; SĐT: 0988865901 
Đơn vị cơng tác: GV Trƣờng THCS Lý Tự Trọng 
Đối tƣợng bồi dƣỡng: HSG Lớp 9 
Dự kiến số tiết bồi dƣỡng: 18 tiết 
 2 
CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ 
A.LÝ THUYẾT. 
I. Định nghĩa. 
 Phương trình vơ tỉ là phương trình cĩ chứa ẩn trong các dấu căn. 
II. Các bƣớc thƣờng dùng khi giải phƣơng trình vơ tỉ 
 Bước 1: Tìm ĐKXĐ 
 Bước 2: Lựa chọn phương pháp giải phù hợp và giải bài tốn. 
 Bước 3: Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm. 
 III. Các kiến thức liên quan. 
 1. Các phép biến đổi tương đương phương trình, các phép biến đổi hệ quả 
phương trình. 
2. Các phép biến đổi căn thức. 
3. Các dạng phương trình đã học 
-Phương trình bậc nhất 
-Phương trình tích. 
-Phương trình chứa ẩn ở mẫu. 
-Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
-Phương trình bậc 2, phương bậc cao. 
4. Các phương pháp giải hệ phương trình. 
 5. Các phương pháp đánh giá giá trị của biểu thức. 
B. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ 
I. Phƣơng pháp nâng lên lũy thừa 
1. Phƣơng pháp 
Phương pháp này áp dụng giải một số phương trình cơ bản sau 
Dạng 1: 
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x


  
 
Dạng 2: 
2
( ) 0
( ) 0( ) ( )
( ) ( )
 
   


f x
g xf x g x
f x g x
Dạng 3: 
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
f x
f x g x h x g x
f x g x f x g x h x
 

   

  
Dạng 4: 
 *2 2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0 ( )
( ) ( )
n n
f x
f x g x g x n N
f x g x


   
 
Dạng 5: 
 3 
*2
2
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )
n
n
g x
f x g x n N
f x g x

  

Dạng 6: 
 *2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x n N     
Dạng 7: 
 2 1 *2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x n N     
2. Các ví dụ 
Ví dụ 1. iải phương trình: x 1 x 1   (1) 
Giải 
 (1)  
2 2
x 1 0 x 1 x 1
x 3x 1 (x 1) x 3x 0
     
   
      
3x  
Ví dụ 2. iải phương trình: 21 2 1  x x 
Giải 
Ta cĩ: 21 2 1  x x 
2 2 2
1 0 1
ph­¬ng tr×nh v« nghiƯm
1 2 ( 1) 3 2 0
x x
x x x x
   
   
     
Ví dụ 3. iải phương trình: 1 7 12    x x x 
Giải 
 Ta cĩ: 1 7 12    x x x 1 12 7     x x x 
7 0
7 12
12 0
4 2 (12 )( 7) (§K míi TM §k cị)
1 12 7 2 (12 )( 7)
x
x
x
x x x
x x x x x
  
  
    
   
       
2 2
7 12 7 12 8
8,8( 4) 4( 7)(12 ) 5 84 352 0
      
              
x x x
xx x x x x
Ví dụ 4. iải phương trình: 22 3 4 0x x    (1) 
Giải 
ĐKXĐ:
2
2 0
2
4 0
x
x
x
 
 
 
 (2) 
Cách 1: 
  
 
(1) 2 3 ( 2)( 2) 0
2. 1 3 2 0
22 0
(3)17
1 3 2 0
9
     
    
  
  
    
 
x x x
x x
xx
xx
Kết hợp (2) và (3) ta được: x = 2 
Cách 2: 
 4 
 
2
2
2
2 3 4 0
2 3 4
2 9( 4)
2 9( 2)( 2) 0
2
( 2) 1 9( 2) 0 17
9
   
   
   
     

      
 

x x
x x
x x
x x x
x
x x
x
Từ đĩ cũng tìm được x=2 là nghiệm. 
Ví dụ 5. iải phương trình: 3 3x x x   
Giải 
ĐK: 0 3x  khi đĩ phương trình đã cho tương đương: 
3 23 3 0x x x   
3 31 10 10 1
3 3 3 3
x x
 
     
 
Ví dụ 6. iải phương trình sau: 22 3 9 4x x x    
Giải 
ĐKXĐ: 3x   phương trình tương đương: 
 
2
2
1
3 1 3
1 3 9 5 97
3 1 3
18
x
x x
x x
xx x

               
Ví dụ 7. iải phương trình sau:    
22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x     
Giải 
    
22 332 3 9 2 2 3 3 2x x x x x      
3
3 3 3 32 3 0 2 3 1        x x x x x 
Ví dụ 8. iải phương trình 2 23 2 1 6 3 1 2 2 2 1 ( )x x x x x x x            
Giải 
   
  
2 2
2
2 2
3 2 1 6 3 1 2 2 2 1
( 1)( 2) ( 1)( 1) 3 1 2 2 2 1 6
1 2 1 3 2 1 2 3
1 2 2 1 3 0
* 2 1 3 0 2 1 2 ( 2)( 1) 9
2 4
4
2
2 8 16
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x
x
x x x x
          
            
          
       
            
    

  
    
* 1 2 3x x    
Vậy phương trình đã cho cĩ tập nghiệm là S= 2;3 . 
Ví dụ 9: iải các phương trình sau: 3 32x 1 x 1   . 
Giải: 
3 32x 1 x 1   
3 3 3 33x 1 3 2x 1. x( 2x 1 x) 1       thay 3 32x 1 x 1   ta cĩ: 
 5 
3 3
3 3
3
2
1 2
3x 1 3 2x 1. x 1
2x 1. x x
(2x 1)x x
x(x 1) 0
x 0;x 1
   
   
   
  
   
Thử lại chỉ cĩ x = 0 thỏa mãn 
Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho. 
Nhận xét: Nếu dùng phép biến hệ quả thì sau khi tìm được x ta phải thử lại rồi 
mới kết luận nghiệm. 
Ví dụ 10. iải và biện luận phương trình: 2x 4 x a   
Giải 
 Ta cĩ: 2x 4 x a    
2 2 2 2
x a x a
x 4 x 2xa a 2ax (a 4) 0
  
 
       
 – Nếu a = 0: phương trình vơ nghiệm 
 – Nếu a ≠ 0: 
2a 4
x
2a

 . Điều kiện để cĩ nghiệm: x a  
2a 4
2a

 a 
 Nếu a > 0: a2 4 2a2  a2 ≤ 4  0 a 2  
 Nếu a < 0: a2 4 ≤ 2a2  a2 4  a ≤ –2 
Tĩm lại: 
 – Nếu a ≤ –2 ho c 0 < a ≤ 2: phương trình cĩ m t nghiệm 
2a 4
x
2a

 . 
 – Nếu –2 2: phương trình vơ nghiệm. 
3. Bài tập áp dụng: 
Bài 1: iải các phương trình sau: 
a) 1 13x x   b) 3 34 3 3 1x x    c) 2 5 3 5 2x x    
d) 21 4 1x x x    e) x 3 5 x 2    f) x 1 x 7 12 x     
g) x x 1 x 4 x 9 0       h) 2 5 0x    i) 
1
5 1 2 0
2
x    
Bài 2: iải phương trình: 
a) 2 1 1x x   d) 2 3 0x x   g) 
2 1 1x x   
b) 3 6 3x x    e) 3 2 1 3x x    h) 3 2 1x x    
c) 9 5 2 4x x    f) 3 4 2 1 3x x x     i) 4 3 2x x   
Bài 3: Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: 2 23 2 2x x m x x      
Bài 4: Cho phương trình: 2 5  x x m 
a) iải phương trình khi m = 5 
b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm. 
Bài 5: Cho phương trình: 22 3x mx x m    
a) iải phương trình khi m=3. 
b) Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ nghiệm. 
Bài 6: iải các phương trình sau: 
 a) 7 3 9 0x x    
d) 
1 9
1 1 3 1 17
2 2
x x x       g) 
2 6
4 7
x x
x x
 

 
 6 
 b) 2 1 1x   e) 
5 3
3 9 27 4 12 1
3 2
x x x       h) 5 5 1 0x x    
 c) 3 7 4 0x x   f) 2 2( 3) 10 12x x x x     i) 5 7 12 0x x    
II. Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. 
1. Phƣơng pháp 
Sử dụng hằng đẳng thức sau: 
2
( ) ( ) ( NÕu ( ) 0)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (NÕu ( ) 0)
f x g x f x
f x g x f x g x
f x g x f x
 
    
  
2. Các ví dụ 
Ví dụ 1. iải phương trình: 2x 6x 9 x 8    (1) 
Giải 
 (1)  2(x 3) 8 x   
  |x – 3| = 8 – x 
 – Nếu x < 3: (1)  3 – x = – x vơ nghiệm) 
 – Nếu x  3: (1)  x – 3 = 8 – x  x = 5,5 thoả mãn) Vậy: x = 5,5. 
Ví dụ 2. iải phương trình: 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x        
Giải 
ĐKXĐ:
5
2
x  
Phương trình 2 5 1 2 5 3 14x x       
 2 5 5x   
 15x  Thoả mãn) Vậy:x = 15 
Ví dụ 3. iải phương trình: 2 1 2 1 2x x x x      
Giải 
ĐKXĐ: 1x  
Phương trình 1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x           
 1 1 1 1 2x x       
Nếu 2x  phương trình 1 1 1 1 2x x       2x  Loại) 
Nếu 2x  phương trình 1 1 1 1 2x x       0 0x  Luơn đúng với x ) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là:  | 1 2S x R x    
Ví dụ 4. iải phương trình: x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1           (2) 
Giải 
 (2)  
x 1 0
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
 

             
  
x 1
x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1| (*)
 

       
 Đ t u = x 1 (u 0)  phương trình ) đã cho trở thành: 
u 1 | u 3| 2 | u 1|     
 – Nếu 0 ≤ u < 1: u + 1 + 3 – u = 2 – 2u  u = –1 loại) 
 – Nếu 1 ≤ u ≤ 3: u + 1 + 3 – u = 2u – 2  u = 3 
 – Nếu u > 3: u + 1 + u – 3 = 2u – 2 (vơ số nghiệm) 
 7 
Với u = 3  x + 1 = 9  x = thoả mãn). Vậy: x = 8 
 Với u>3 phương trình vơ số nghiệm: x -1 
Ví dụ 5. Cho phương trình 2 2 22 15 6 4 4x ax a x x      
a) Khi cho a=-2, hãy giải phương trình; 
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a phương trình cĩ đúng hai nghiệm 
khác nhau 
1 2
,x x 
Giải 
2 2 22 15 6 4 4
6 2 15 (1)
x ax a x x
x a x
     
    
a) Với a=-2 phương trình 1) cĩ dạng 
2 3 1
2 6 2 15 2 3
2 3 5
x x
x x x
x x
   
         
     
b) Trường hợp 1: 2x   , phương trình 1) trở thành 
2
6 27 6 27 0
6 27
9
9 2
2 27
9
6 27 7
2
9 9
6 27
2 2
6 27 27
5
x
x a x x
x a x
x
x
a
x
x a xx
x a x x x
x a x a
x
  

       
    

  
   
          
    
          
       

Suy ra 
1 1
27 9 27 9
 nÕu hoỈc nÕu 
7 2 5 2
a a
x a x a
 
       
Trường hợp 2: 2x   phương trình 1) trử thành 6 3x a a   
Tương tự TH1 cĩ 
2 2
3 1 3 1
 nÕu hoỈc nÕu 
5 2 7 2
a a
x a x a
 
    
Kiểm tra các khoảng thấy 
1 2
x x suy ra điều phải chứng minh. 
3. Bài tập áp dụng: 
 iải các phương trình sau: 
1) 2 2 1 5x x   12) 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x        
2) 2 6 9 2 1x x x    13) 45224252642  xxxx 
3) 2 22 1 4 4 4x x x x      14) 2 1 4 4 10x x x x      
4) 2 4 4 2x x x    15) 2 24 4 6 9 1x x x x      
5) 2 1 2 1 2x x x x      16) 3 2 4 4 4 1x x x x       
6) 4 4 3x x   17) 6 2 2 11 6 2 1x x x x        
7) 2 22 2 1 5 0x x x x      18) 
3
2 1 2 1
2
x
x x x x

      
8) 2 4 4 2 10x x x    19) 2 2 1 2 8x x x    
 8 
1 1
9) 2
2 4
    x x x
2120) 1 6 2 5 0
4
x x    
10) 4 4 5 2x x x    21) 
2 2 26 9 2 8 8 2 1x x x x x x        
 11) 8 6 1 4x x    22) ( 1) 4 4 1 1 6 1 9 1x x x x          
III.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ. 
1. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ thơng thƣờng 
1.1 Phƣơng pháp 
Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ, để giải chúng ta cĩ thể đ t t= f(x) trong đĩ 
f(x) là biểu thức dưới dấu căn ho c biểu thức chứa dấu căn và chú ý điều kiện của t 
nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chỉ chứa m t biến t mà ta cĩ thể 
giải được phương trình đĩ theo t, thì việc đ t phụ xem như “hồn tồn”. 
1.2 Các ví dụ 
Ví dụ 1. iải phương trình: 2 21 1 2x x x x      
Giải 
ĐKXĐ: 1x  
Nhận xét. 2 21. 1 1x x x x     
Đ t 2 1t x x   0, 1t x   thì phương trình cĩ dạng: 
1
2 1t t
t
    
Thay vào tìm được 1x  
Ví dụ 2. iải phương trình: 22 6 1 4 5x x x    
Giải 
ĐKXĐ: 
5
4
 x 
Đ t 4 5( 0)t x t   thì 
2 5
4
t
x

 . Thay vào ta cĩ phương trình sau: 
4 2
2 4 210 25 62. ( 5) 1 22 8 77 0
16 4
 
        
t t
t t t t t 
2 2( 2 7)( 2 11) 0t t t t      
Ta tìm được bốn nghiệm là: 1,2 3,41 2 2; 1 2 3t t     
Do 0t  nên chỉ nhận các giá trị 1 31 2 2, 1 2 3    t t 
Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: 1 2 vµ 2 3x x    
Cách khác: Ta cĩ thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 
22 6 1 0x x   
Ta được: 2 2 2( 3) ( 1) 0x x x    , từ đĩ ta tìm được nghiệm tương ứng. 
Đơn giản nhất là ta đ t: 2 3 4 5y x   và đưa về hệ đối xứng Xem phần đặt ẩn 
phụ đƣa về hệ) 
Ví dụ 3. iải phương trình: 2
1
2 3 1x x x x
x
    
Giải 
 9 
Điều kiện
11
0
1 0
x
x
x x

   
  
Ta thấy x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế của phương 
trình cho x ta được: 
1 1
2 3x x
x x
    
Đ t 
1
 (t 0)x t
x
   ta cĩ phương trình: 2
1
2 3 0
3 (Lo¹i)
t
t t
t

    
 
Với t=1 suy ra 2
1 1 5
1 1 0 ( Tháa m·n)
2
x x x x
x

        
Ví dụ 4. Giải phương trình 1 3 2 ( 1)( 3) 4 2x x x x x        
Giải 
Điều kiện: 1 2x  
Đ t 21 3 2 2 2 ( 1)( 3)t x x t x x x          
Phương trình cĩ dạng: 2
2
6 0
3 (lo¹i)
t
t t
t

    
 
Với t=2 ta cĩ 1 3 2 1x x x      
Với phương trình này ta cĩ thể giải như sau 
Vì 1 3 2x x    . Suy ra VT 2; VP= 4 - 2 2.x  Dấu “=” xảy ra khi x=1 
Tổng quát: Với phương trình dạng ( ) ( ) ( ). ( ) ( )f x h x a f x h x g x   a là hằng số 
cho trước) 
Ta xác định điều kiện rồi đ t 2( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) 2 ( ). ( )t f x h x t t f x h x f x h x       
sau đĩ tiếp tục giải. 
Nhận xét: Đối với cách đ t ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được m t lớp 
bài đơn giản, đơi khi phương trình đối với t lại quá khĩ giải. Do vậy ta cĩ thể đ t ẩn 
phụ theo cách khác. 
1.3 Bài tập áp dụng 
 iải các phương trình sau: 
1) 5 1 6x x    5) 
2 4 23 2 1x x x x    
2)   
2
2004 1 1x x x    6) 
2 23 21 18 2 7 7 2x x x x      
3) 2
1
2 3 1x x x x
x
    
7) 2 22 3 2 3 9 33x x x x     
4) 2 23 2 2 1x x x x x     8) 21 2 2 2 13 2x x x x x        
2. Đặt ẩn phụ đƣa về phƣơng trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến: 
2.1. Phƣơng pháp 
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: 2 2 0u uv v    1) bằng cách 
Xét 0v  phương trình trở thành: 
2
0
u u
v v
 
   
     
   
. 
0v  thử trực tiếp 
Các trường hợp sau cũng đưa về được 1) 
       . .a A x bB x c A x B x  
 10 
2 2u v mu nv    
Chúng ta hãy thay các biểu thức A x), B x) bởi các biểu thức vơ tỉ thì sẽ nhận 
được phương trình vơ tỉ theo dạng này. 
a) Phƣơng trình dạng:        . . .a A x b B x c A x B x  
Như vậy phương trình    Q x P x cĩ thể giải bằng phương pháp trên nếu: 
     
     
.P x A x B x
Q x aA x bB x
 

 
Xuất phát từ đẳng thức: 
   3 21 1 1x x x x     
    4 2 4 2 2 2 21 2 1 1 1x x x x x x x x x           
  4 2 21 2 1 2 1x x x x x      
  4 2 24 1 2 2 1 2 2 1x x x x x      
Hãy tạo ra những phương trình vơ tỉ dạng trên ví dụ như: 2 44 2 2 4 1x x x    
Để cĩ m t phương trình đẹp, chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình 
bậc hai 2 0at bt c   giải được. 
b) Phƣơng trình dạng: 2 2u v mu nv    
Phương trình cho ở dạng này thường khĩ “phát hiện” hơn dạng trên, nhưng nếu ta 
bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên. 
2.2. Các ví dụ 
Ví dụ 1. iải phương trình:  2 32 2 5 1x x   
Giải 
ĐKXĐ 1x   
 Đ t 2
3
1 ( 0) ; 1 ( )
2
u x u v x x v       
Phương trình trở thành:  2 2
2
2 5 1
2
u v
u v uv
u v

  
 

 Tìm được: 
5 37
2
x

 
Ví dụ 2. iải phương trình: 2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x      (*) 
Giải 
Dễ thấy:     4 2 4 2 2 2 21 2 1 1 1x x x x x x x x x           
Ta viết       2 2 2 231 1 1 1
3
           x x x x x x x x 
Đồng nhất vế trái với ) ta được: 
      2 2 2 23 1 6 1 3 1 1           x x x x x x x x 
Đ t: 2 2
3 3
1 ; 1
4 4
u x x u v x x v
   
          
   
Phương trình trở thành: -3u+6v=- 3. uv 3u v  . 
Suy ra 2 2 21 3 3 3 2 4 2 0 1          x x x x x x x 
 11 
Ví dụ 3. iải phương trình: 2 2 4 23 1 1x x x x     
Giải 
ĐKXĐ 
1
1
x
x


 
Ta đ t:  
2
2
, 0;
1
u x
u v u v
v x
 
 
 
 khi đĩ phương trình trở thành: 2 23u v u v   
hay: 2(u + v) - (u - v)=   u v u v  
Ví dụ 4. iải phương trình: 2 25 14 9 20 5 1x x x x x       
Giải 
Điều kiện 5x  . Chuyển vế bình phương ta được: 
  2 22 5 2 5 20 1x x x x x      
Nhận xét: Khơng tồn tại số ,  để:    2 22 5 2 20 1x x x x x        vậy ta 
khơng thể đ t:
2 20
1
u x x
v x
   

 
. 
Ta cĩ:          2 220 1 4 5 1 4 4 5x x x x x x x x x           
Ta viết lại phương trình:    2 22 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)x x x x x x        . Đến đây 
bài tốn được giải quyết . 
2.3. Bài tập áp dụng 
Bài 1. iải phương trình sau: 2 32 5 1 7 1x x x    (*) 
Bài 2. iải phương trình:  
33 23 2 2 6 0x x x x     
Bài 3. iải phương trình:  3 210 1 3 2x x   
Bài 4. iải phương trình sau: 2 22 2 1 3 4 1x x x x x      
3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 
 3.1 . Phƣơng pháp 
Từ những phương trình tích 
  1 1 1 2 0x x x      ,   2 3 2 3 2 0x x x x      
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vơ tỉ khơng tầm thường chút 
nào, đ khĩ của phương trình dạng này phụ thu c vào phương trình tích mà ta xuất 
phát. 
3.2 Các ví dụ 
Ví dụ iải phương trình:  2 2 23 2 1 2 2x x x x      
Giải 
Đ t 2 2t x  ; 2t  , ta cĩ:  2
3
2 3 3 0
1
t
t x t x
t x

        
3.3 Bài tập áp dụng 
 iải phương trình: 
a) 2 2 23 2 1 2 2x x x x x      
b) 2 2( 1) 2 3 1x x x x     
 12 
c) 2 21 2 . 2x x x x   
d) 2 23 48 (3 10) 15x x x x     
e) 2 22( 1). 2 1 2 1x x x x x      
f) 2 24 ( 2). 2 15 39x x x x x      
g) 2 2(1 4 ) 4 1 8 2 1x x x x     
h) 3 3(4 1) 1 2 2 1x x x x     
i) 3 33 2 ( 2) 2 1x x x x x      
j)   2 21 2 3 1x x x x     
k)  2 23 1 3 1x x x x     
4. Đặt nhiều ẩn phụ đƣa về tích 
 4.1 Phƣơng pháp 
Xuất phát từ m t số hệ “đại số” đẹp chúng ta cĩ thể tạo ra được những phương 
trình vơ tỉ mà khi giải nĩ chúng ta lại đ t nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các 
ẩn phụ để đưa về hệ 
Xuất phát từ đẳng thức      
3 3 3 3 3a b c a b c a b b c c a         , ta cĩ 
     
33 3 3 0a b c a b c a b a c b c          
Từ nhận xét này ta cĩ thể tạo ra những phương trình vơ tỉ cĩ chứa căn bậc ba. 
2 23 33 7 1 8 8 1 2       x x x x x 
3 3 3 33 1 5 2 9 4 3 0x x x x        
4.2 Các ví dụ 
Ví dụ 1. iải phương trình: 2 . 3 3 . 5 5 . 2x x x x x x x         
Giải 
ĐKXĐ: 2x  
Đ t 
2 ; 0
3 ; 1
5 ; 3
   

  

  
u x u
v x v
w x w
, ta cĩ: 
  
  
  
2
2
2
22
3 3
5 5
u v u wu uv vw wu
v uv vw wu u v v w
w uv vw wu v w u w
       

        
 
       
, giải hệ 
ta được: 
30 239
60 120
u x   
Ví dụ 2. iải phương trình sau: 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x          
Giải 
Ta đ t: 
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2
a x
b x x
c x x
d x x
  

   

  

  
, khi đĩ ta cĩ: 
2 2 2 2
2
a b c d
x
a b c d
  
  
  
Ví dụ 3. iải phương trình: 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x       . 
 13 
Đ t  
2
2
4 5 1
, 0
2 1
x x a
a b
x x b
   

  
. ta cĩ: 
  2 2 1 0
1
a b
a b a b a b a b
a b

           
. 
2 2
2 2
2 2
11
4 5 1 4 4 4 33
44 5 1 2 1 1
4 5 1 1 2 1
9
xxx x x x
x x x x xx x x x
           
              
Ví dụ 4. iải phương trình: 3 2 33 2 ( 2) 6 0x x x x     
Giải 
- Đ t 2y x  ta được phương trình: 
3 2 3 3 33 2 6 0 2 3 ( 2) 0x x y x x y x x         
 3 2 33 2 0 êm 2; 2-2 3
2
x y
x xy y nghi x
x y

        
- Chú ý cĩ thể sửa lại đề bài thành: 3 ( 2)(3 2 2) 0x x x x     
- Bài tập tương tự: 3 2 33 2 ( 1) 3 0x x x x     
- Bài tập tương tự: 3 2(3 4 4) 1 0x x x x     
4.3 Bài tập áp dụng: 
 iải các phương trình sau: 
1)      
3 3 244 44 1 1 1 1x x x x x x x x         
2) 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x       
3) 
4 1 5
2x x x
x x x
     
5. Đặt ẩn phụ đƣa về hệ: 
5.1.Đặt ẩn phụ đƣa về hệ thơng thƣờng 
5.1.1 Phƣơng pháp 
Đ t    ,u x v x   và tìm mối quan hệ giữa  x và  x từ đĩ tìm được hệ 
theo u,v 
 5.1.2 Các ví dụ 
 Ví dụ 1. iải phương trình:  3 33 325 25 30x x x x    
Giải 
Đ t 3 3 3 335 35y x x y     
Khi đĩ phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 
3 3
( ) 30
35
xy x y
x y
 

 
giải hệ này ta tìm được ( ; ) (2;3) (3;2)x y   . Tức là nghiệm của phươn