Chuyên đề một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

 Chuyên đề
MỘT SỐ HƯỚNG TIẾP CẬN 
BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
---------------------------------
PHẦN I 
KHÁI QUÁT CHUNG
Bài toán chứng minh thẳng hàng là một dạng toán khá quen thuộc, nhất là trong các đề thi học sinh giỏi. Nhưng khi gặp dạng toán này, nhiều học sinh tỏ ra rất lúng túng. Để loại bỏ sự lúng túng ấy, ở chuyên đề sau đây, tôi đã thống kê một số hướng cơ bản để giúp học sinh tiếp cận bài toán chứng minh thẳng hàng, kèm theo là một số ví dụ minh họa. Sự phân loại các phương pháp trong chuyên đề chỉ mang tính cá nhân.
	Một số hướng tiếp cận cơ bản khi gặp bài toán chứng minh thẳng hàng:
1. Hướng 1: Sử dụng góc bù
2. Hướng 2: Sử dụng tính chất của hình bình hành
3. Hướng 3: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song
4. Hướng 4: Sử dụng các tính chất của đường tròn
5. Hướng 5: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau
6. Hướng 6: Thêm điểm
7. Hướng 7: Sử dụng định lý Mê-nê-la-uýt
	Đối tượng để dạy bồi dưỡng chuyên đề này là các em học sinh khá, giỏi toán lớp 9, chủ yếu là các học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán 9. 
	Dự kiến chuyên đề sẽ được bồi dưỡng trong 3 buổi, với thời lượng 9 tiết.
PHẦN II 
PHƯƠNG PHÁP CỤ THỂ VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
I. Hướng thứ nhất: Sử dụng góc bù
+ Nếu có thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.
+ Tổng quát: Nếu quay xung quanh điểm A các tia AB1, AB2,..., ABn lần lượt theo thứ tự ấy mà thì 3 điểm B1; A; Bn thẳng hàng.
Ví dụ 1
Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, đường cao AH. Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE ( = = 900). Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng H, A, M thẳng hàng.
Giải
Dựng hình bình hành AEFD 
Þ M là trung điểm của AF (t/c hình bình hành) và EF = DA = BA
Mặt khác EA = CA (gt); = (Cùng bù với )
ÞrEFA = rABC (c-g-c)
Þ ( Hai góc tương ứng)
Mà = 900 
Þ = 900
Þ 
Hay Þ M, A, H thẳng hàng.
Ví dụ 2
Cho rABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), điểm M bất kỳ trên cung nhỏ BC. E, F thứ tự là các điểm đối xứng của M qua AB, AC, gọi H là trực tâm rABC.
Chứng minh rằng E, H, F thẳng hàng.
Giải
Gọi B’ là giao điểm của BH và AC; 
A’ là giao điểm của AH và BC
Tứ giác HA’CB’ nội tiếp
Þ 
 (t/c đối xứng trục)
Þ Tứ giác AHBE nội tiếp
Þ
Tương tự ta có: 
Þ 
= 
Þ Þ E, H, F thẳng hàng. 
* Đường thẳng đi qua 3 điểm E, H, F nói trên có tên là đường thẳng Steiner ứng với điểm M.
* Việc chứng minh các điểm E, H, F nói trên thẳng hàng cũng được đề cập trong đề thi Olympic Japan 1996:
Cho tam giác ABC, M là điểm trên đường tròn (ABC). Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AD. Chứng minh P, K, Q nằm trên một đường 
thẳng và luôn đi qua một điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi trên đường tròn (ABC). (Olympia Japan 1996).
II. Hướng thứ hai: Sử dụng tính chất của hình bình hành
Có thể sử dụng tính chất : hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Do đó, nếu chứng minh được tứ giác ABCD là hình bình hành và O là trung điểm của AC thì B,O,D thẳng hàng.
Ví dụ 3
Cho rABC có trực tâm H nội tiếp (O) đường kính CM, gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng H, I, M thẳng hàng.
Giải
MB ^ BC, AH ^ BC (suy từ giả thiết) 
Þ MB // AH.
Mà MA // BH (cùng vuông góc với AC)
Þ AMBH là hình bình hành.
Þ AB cắt MH tại trung điểm I của AB và MH (t/c hình bình hành)
Þ H, I, M thẳng hàng.
Ví dụ 4
Cho rABC và điểm M bất kỳ trong tam giác. Gọi A1, B1, C1 thứ tự là các điểm đối xứng của M qua các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Gọi O là giao điểm của BB1 và CC1. Chứng minh các điểm A, O, A1 thẳng hàng.
Giải
Gọi D, E, F thứ tự là trung điểm BC, CA, AB 
Þ EF là đường trung bình của rABC và rMB1C1 (suy từ giả thiết).
Þ và EF // BC // B1C1
Þ BC // B1C1 và BC = B1C1
Þ BCB1C1 là hình bình hành
Þ O là trung điểm của BB1 và CC1 
(t/c hình bình hành)
+ Tương tự ta có: 
ABA1B1 là hình bình hành.
Þ AA1 cắt BB1 tại O là trung điểm của BB1 và AA1
Þ A, O, A1 thẳng hàng.
III. Hướng thứ ba: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song
Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
	Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ 5
Chứng minh rằng: các trung điểm của hai cạnh bên và hai đường chéo của một hình thang luôn thẳng hàng.
Giải
Với hình thang ABCD (AB // CD) 
và M, N, P, Q thứ tự là trung điểm 
của AD, BC, BD, AC. 
Cần chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.
Từ (gt) Þ MN, MP, MQ thứ tự là đường trung bình của hình thang ABCD, rABD, rACD.
Þ MN // AB; MP // AB; MQ // CD hay MQ // AB.
Þ M, N, P, Q thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít)
Ví dụ 6
Cho rABC nhọn, các đường cao AH, BD và CE. Gọi M, N, P, Q thứ tự là hình chiếu của H trên AB, BD, CE và AC. Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.
Giải
+ Từ (gt) Þ MH //CE; NH // AC Þ (định lý Talét)
 Þ MN // ED	 (1) (định ký Talét đảo)
+ Chứng minh tương tự ta có: PQ // ED (2)
+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông HAC và HAB ta có:
AH2 = AQ . AC = AM . AB
Þ mà 
(vì rDAB ∽ rEAC (g.g)) 
Þ hay 
(định lý Talét đảo)
Kết hợp với (1), (2) ta có 
M, N, Q thẳng hàng và M, Q, P thẳng hàng (tiên đề Ơclít).
Do đó M, N, P, Q thẳng hàng.
IV. Hướng thứ tư: Sử dụng các tính chất của đường tròn
Khi B là tâm của đường tròn đường kính AC, hoặc các đường tròn tâm A và đường tròn tâm C tiếp xúc nhau tại B thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.
Ví dụ 7. Cho (O) đường kính AB. Điểm M chuyển động trên (O), M ≠ A; M ≠ B. Kẻ MH vuông góc với AB. Vẽ đường tròn (O1) đường kính MH cắt đường thẳng MA và MB tại C và D. Chứng minh rằng:
a) C, D, O1 thẳng hàng.
b) ABDC nội tiếp.
Giải
a) Ta có
 (góc nội tiếp chắn nửa (O))
Þ 
là đường kính của (O1)
Þ C, D, O1 thẳng hàng.
b) MCHD là hình chữ nhật nội tiếp (O1).
Þ (2 góc nội tiếp cùng chắn )
Mà 
Þ ABDC nội tiếp.
Ví dụ 8
Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Lấy I thuộc đoạn AB sao cho IA > IB. Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ AB, DI cắt (O) tại điểm thứ hai C. Tiếp tuyến với (O) tại C cắt AB tại K. Lấy điểm E sao cho cắt (O) tại F. Chứng minh rằng D, O, F thẳng hàng.
Giải
Ta có (sđsđ)
Mà (gt) 
Þ (sđsđ)sđ 
Þ sđ 
Þ rKIC cân tại K => KI = KC 
mà 
Þ vuông tại C. 
Þ là đường kính của (O) 
Þ D; O; F thẳng hàng.
V. Hướng thứ năm: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau
Nếu 2 tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng.
Ví dụ 9
Cho (O) đường kính AB. Trên (O) lấy điểm D bất kỳ (khác A, B). Lấy điểm C bất kỳ trong đoạn AB, kẻ CH ^ AD . Phân giác của cắt (O) tại E, cắt CH tại F. Đường thẳng DF cắt (O) tại N. Chứng minh N, C, E thẳng hàng.
Giải
(gt) Þ HC // DB (cùng vuông góc với AD)
Þ (2 góc đồng vị)
Mà (2 góc nội tiếp chắn ) Þ 
Þ Tứ giác AFCN nội tiếp. 
Þ (2 góc nội tiếp chắn ) 
Hay mà (gt)
Þ mà 
 (2 góc nội tiếp chắn )
Þ mà NC và NE cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ DN
Þ 2 tia NC & NE trùng nhau Þ N, C, E thẳng hàng.
Ví dụ 10
Cho rABC, đường tròn bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với tia AB tại N. Kẻ đường kính MN. Trên tia đối của tia AB lấy điểm K sao cho AK = BN. Chứng minh rằng K, C, M thẳng hàng.
Giải
Gọi I, J thứ tự là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, góc B của rABC.
(I) tiếp xúc với BC và AC thứ tự tại P và H
(J) tiếp xúc với BC và BA thứ tự tại Q và K’
Ta có: 
CA + CB – AB 
= CA + CP + PB – AB 
= CA + CH +NB – AB = AH + NB – AB 
= AN + NB – AB = 2NB (t/c tiếp tuyến)
Þ CA + CB – AB – 2NB. 
Tương tự ta có: CA + CB – AB = 2AK’
Þ AK = AK’ = BN Þ K’ K. 
Mặt khác rPIC đồng dạng rQJC (g.g)
Þ 
mà (2 góc so le trong của MN // JK) 
Þ rICM đồng dạng rJCK (c.g.c)
Þ Þ 2 tia CK và CM đối nhau 
Þ K, C, M thẳng hàng.
V. Hướng thứ sáu: Thêm điểm
Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A, B, C sau đó chứng minh hai trong ba bộ 3 điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng.
Ví dụ 11
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm 2 đường chéo. Điểm M trên đoạn OB, lấy E đối xứng với A qua M; H là hình chiếu của điểm E trên BC, vẽ hình chữ nhật EHCF. Chứng minh M, H, F thẳng hàng.
Giải
Gọi I là giao điểm của HF và CE 
Þ H; I; F thẳng hàng (*) (t/c hình chữ nhật) 
Cần chứng minh: M, I, F thẳng hàng.
 và 
(t/c hình chữ nhật)
Þ OM là đường trung bình của rACE
Þ OM // CE Þ (2 góc đồng vị)
Mà (vì rOCD cân tại O, rICF cân tại I, t/c hình chữ nhật)
Þ mà IM //AC (do IM là đường trung bình rACE)
Þ M, I, F thẳng hàng (tiên đề Ơclít)
Kết hợp với (*) ta có: M, H, F thẳng hàng.
Ví dụ 12
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đương tròn (O). Gọi E là giao điểm của AB và CD. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại M. Chứng minh rằng E, M, F thẳng hàng.
Giải
Gọi K là giao điểm của đường tròn (B, D, E) và đường tròn (F, D, C), (K không trùng D). Ta chứng minh K, E, M thẳng hàng và K, F, M thẳng hàng.
Tứ giác BKDE và DKFC nội tiếp (suy từ gt)
Þ (*)
Mặt khác: + (sđ- sđ)+(sđ+sđ)
Þ (sđsđ) = 
Þ kết hợp với (*) ta có: 
Þ Tứ giác BKCM nội tiếp Þ (2 góc nội tiếp chắn )
Mà (cùng bằng sđ) và (2 góc nội tiếp chắn )
Þ Þ 2 tia KE và KM trùng nhau Þ K, E, M thẳng hàng 	(1)
Tương tự ta có: Þ 2 tia KF và KM trùng nhau.
Þ K, F, M thẳng hàng. Kết hợp với (1) ta có E, M, F thẳng hàng.
VII. Hướng thứ bảy: Sử dụng định lý Mênêlauýt
Định lý Mênêlauýt: Cho rABC và 3 điểm A’,B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC; CA, AB sao cho chúng đều nằm trên phần kéo dài của cả 3 cạnh của tam giác hoặc chỉ một trong 3 điểm đó nằm trên phần kéo dài của cạnh tương ứng mà thôi. Điều kiện cần và đủ về A’,B’, C’ thẳng hàng là .
* Chứng minh điều kiện cần: 
Kẻ AD ^ A’B’ ; BE ^ A’B’ ; CF ^A’B’ 
Þ AD // BE //CF
Þ (Hệ quả của Talét)
Þ 
* Chứng minh điều kiện đủ:
Giả sử và A’BC; 
B’AC; C’AB, ta chứng minh A’, B’ C’ thẳng hàng.
Gọi giao điểm của A’B’ với AB là C’’ . 
Theo điều kiện cần ta có: 
Mà (gt) Þ 
Ví dụ 13
Cho 3 đường tròn có bán kính đôi một khác nhau và ở ngoài nhau. Chứng minh rằng giao điểm của các tiếp tuyến chung ngoài của từng cặp đường tròn cùng thuộc một đường thẳng.
Giải
+ Xét 3 đường tròn (O1; r1); (O2; r2); (O3; r3).
+ Giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O1; r1) và (O2; r2) là C
 Giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O1; r1) và (O3; r3) là B
 Giao điểm 2 tiếp tuyến chung ngoài của (O2; r2) và (O3; r3) là A
Nhận thấy O1, O2, C thẳng hàng (suy từ t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Þ. 
Tương tự ta có: Þ 
Þ A, B, C thẳng hàng (định lý Mênêlauýt)
Ví dụ 14
Cho rABC vuông tại A, đường cao AH. Trên các cạnh AB, AC thứ tự dựng các hình vuông ABEF, ACGI nằm ngoài tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của BG và AH. Chứng minh rằng C, O, E thẳng hàng.
Giải
Gọi D là giao điểm của CO và AB; 
K là giao điểm của BO và AC; 
M là giao điểm của EB và GC.
Đặt AC = b; AB = c. Ta có:
+ rABC ∽rHAC (g.g) 
Þ Þ AB. HC = AC. HA (1)
+ rABC ∽rHBA (g.g)
Þ Þ AC. HB = AB. HA (2)
Mặt khác theo định lí Cêva với rABC và BK, AH, CD
Ta có: ( vì do AB // CG)
=> (vì CG = AC)
Kết hợp với (1) và (2) ta có
 Þ hay (*)
Mà 
Kết hợp với (*) ta có: 
Þ C, O, E thẳng hàng (Định lí Mênêlauyt trong rBMG và 3 điểm C, O, E)
PHẦN III 
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:
Chứng minh trực tâm của một tam giác luôn nằm trên đường thẳng nối hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ một đỉnh đến đường tròn đường kính là cạnh nối hai đỉnh còn lại của tam giác đó. (Chinese 1996)
Giải
Xét DABC có các đường cao AF, BD, CE 
cắt nhau tại H , kẻ AM và AN là hai tiếp tuyến 
của đường tròn (O) đường kính BC
(M, N là các tiếp điểm) 
Þ M,A,N,F,O thuộc đường tròn đường kính AO
Þ(*)
ÞDADH ~ DAFC, DAND ~ DANC 
ÞAH.AF = AD.AC = AN2
Þ Þ DANH ~DAFN (c-g-c) 
Þ 
Kết hợp với (*) ta có: Þ HÎ MN 
+ Nếu D ABC vuông tại B hoặc C thì HºM hoặc HºN ta có điều phải chứng minh.
* Việc chứng minh 3 điểm M, H, N thẳng hàng nói trên cũng đã được đề cập đến trong nội dung câu 4.b đề thi HSG cấp tỉnh năm 2012 – 2013 của tỉnh Vĩnh Phúc.
Bài 2:
Từ một điểm D nằm ngoài đường tròn (O) đường kính BC, kẻ hai tiếp tuyến DE và DF với (O) (E, F là tiếp điểm). Trên đường thẳng EF lấy điểm A ở phía ngoài (O) kẻ tiếp tuyến AN với (O) ( N là tiếp điểm) . 
Chứng minh D, N, H thẳng hàng (H là trực tâm DABC)
Giải
Kẻ tiếp tuyến AM ( M Î (O))
Gọi giao điểm của AO và MN là I 
Þ AN2 = AE.AF
Mà AN2 = AI.AO ( Hệ thức trong tam giác vuông)
Þ AE.AF = AI.AO Þ 
Þ DAIE ~ DAFO ( cgc)
Þ Tứ giác EIOF nội tiếp 
Þ D,E,I,O,F thuộc đường tròn đường kính OD.
Þ Þ D,M,N,I, thẳng hàng.
Mặt khác M,H,N thẳng hàng (Kết quả bài tập 1) Þ D,N,H thẳng hàng.
Bài 3: (đường thẳng Sim sơn)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm tuỳ ý thuộc đường tròn (O). Gọi A1, B1 C1 thứ tự là hình chiếu của M trên BC, CA, AB.Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng.
Giải
Không mất tính tổng quát giả sử MÎ .
Ta có (Suy từ giả thiết)
ÞMA1C1B nội tiếp Þ 
(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung 
 (suy từ giả thiết) 
ÞMA1CB1 nội tiếp Þ 
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung B1C)
Mặt khác 
Þ Þ
Kết hợp với chứng minh trên
 Þ => 
Þ A1, B1, C1 thẳng hàng
* Đường thẳng chứa ba điểm A1, B1, C1 gọi là đường thẳng Simsơn của tam giác ABC ứng với điểm M.
* Nếu M trùng với đỉnh của tam giác ABC thì đường thẳng Simsơn chính là đường cao tương ứng.
Bài 4
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với H là trực tâm , M là điểm tuỳ ý thuộc (O).
Chứng minh đường thẳng Sim sơn ứng với điểm M luôn đi qua trung điểm của MH.
Giải
Đường thẳng Sim son của tam giác ABC ứng với điểm M là đường thẳng qua A1, B1, C1 
Lấy điểm B2, C2 đối xứng với M qua AC, AB. 
Ta có (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Mà ( Tính chất đối xứng trục)
Và (Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Þ Þ Tứ giác AC2BH nội tiếp
Þ ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC2)
Tương tự ta có: Þ
Þ C2; H; B2 thẳng hàng Þ B1C1 là đường trung bình của tam giác MB2C2
Þ B1C1 đi qua trung điểm của MH.
PHẦN IV
MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Hãy lựa chọn phương pháp hợp lí để chứng minh các điểm thẳng hàng 
trong các bài tập dưới đây 
1) Cho rABC nhọn nội tiếp (O), trực tâm H. Gọi I là trung điểm BC và A’ là điểm đối xứng của A qua O. CMR: H, I, A’ thẳng hàng.
2) Cho rABC nội tiếp đường tròn (O), đường tròn (O1) đi qua A và C cắt BA, BC thứ tự tại các điểm K, N; đường tròn (O2) đi qua B, K và N cắt (O) tại điểm thứ hai M (khác B). Gọi I, J thứ tự là trung điểm của BO1 , BM. 
CMR: I, J, O2 thẳng hàng.
3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Vẽ Ax, AD cắt BC tại E, Ay ^ AB, cắt CD tại F. CMR: E, F, O thẳng hàng.
4) Cho rABC trực tâm H. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn đường kính BC. CMR: M, H, N thẳng hàng.
5) Cho rABC nội tiếp (O), trực tâm H, M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa A. Gọi N, E thứ tự là điểm đối xứng của M qua AB và AC.
CMR: N, H, E thẳng hàng.
6) Cho r ABC nội tiếp (O). Lấy D thuộc cạnh AC (D ≠ A; D ≠ C). Đường thẳng BD cắt (O) tại F. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua F vuông góc với FC cắt tại P. Hãy CMR: P, D, O thẳng hàng.
PHẦN V 
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG 
TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH THPT CHUYÊN 
Bài 1 (ĐTS THPT chuyên năm 2005)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường phân giác trong cắt nhau tại I. Các đường thẳng AI, BI, CI cắt (O) thứ tự tại M;N;P 
	a) Chứng minh tam giác NIC cân tại N.
	b) Chứng minh I là trực tâm tam giác MNP.
	c) Gọi E là giao điểm của MN và AC; F là giao điểm của PM và AB. Chứng minh E,I,F thẳng hàng.
	d) Gọi K là trung điểm của BC. Giả sử BI ^ IK và BI = 2.IK thì = ?
Giải
a)sđ nên DNIC cân tại N
b) Do D NIC cân tại N nên NI=NC (1)
tương tự DMIC cân tại M 
nên MI=MC (2) từ (1) (2) 
ta có MN là trung trực của IC ÞMN^PC 
tương tự BN^PM, AM^PN 
mà AM,BN,CP cắt nhau tại I 
 Nên I là trực tâm của DMNP (đpcm)
c) Có 
(Do I và C đối xứng nhau qua MN)
 Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
 Và (I và B đối xứng nhau qua MP)
=> mà => E, I, F thẳng hàng
Bài 2 (ĐTS THPT chuyên năm 2005)
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ tia Cx ^ AB. Trên Cx lấy hai điểm D và E sao cho D nằm trong đoạn CE và . Đường tròn (O1) ngoại tiếp tam giác ACD cắt (O2) ngoại tiếp tam giác BEC tại điểm H (H ≠ C)
CMR:	a) Ba điểm A, H, E thẳng hàng.
	b) H thuộc đường tròn đường kính AB
	c) Đường thẳng đi qua hai điểm H và C luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng AB (C ≠ A; C ≠ B)
Giải
a) (gt) 
Mà (suy ra từ giả thiết)
ÞDCEB ∽ DCAD (c.g.c)
Gọi giao điểm của BD với AE là H1 
Ta phải chứng minh H1 º H
Gọi K là giao điểm của AD và BE.
Dễ thấy 
Þ AK ^ BE ÞD là trực tâm DABE
Þ BD ^ AE Þ
Þ H1 là giao của (O1) và (O2) ÞH1 º H. Vậy A, H, E thẳng hàng.
b) (suy ra từ chứng minh trên) Þ H thuộc đường tròn đường kính AB
c) DCBE vuông tại C Þ 
Þ. Gọi F là giao điểm của HC và đường tròn đường kính AB Þ sđ mà B cố định Þ HC đi qua điểm F (cố định) khi C di chuyển.
Bài 3: ( ĐTS THPT chuyên năm 2008)
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và C là điểm chính giữa của cung AB. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng đi qua hai điểm A và K cắt (O) tại M (M≠A). Kẻ CH ^ AM (H Î AM). Đường thẳng OH cắt đường BC tại N. Đường thẳng MN cắt (O) tại D (D ≠ M). CMR:	
a) BHCM là hình bình hành
b) rOHC = rOHM
c) B, H, D thẳng hàng 
Giải
a) 
Ta có
Mặt khác 
Từ (1 ), (2) ta có tứ giác BHCM là hình bình hành ( đpcm)
b) Ta có vuông tại H có nên vuông cân tại H=> CH=HM
xét 2 tam giác có:
c) Ta sẽ chứng minh BH//CM và BD//CM.
Vì tứ giác BHCM là hình bình hành nên BH//CM (3)
Ta lại có OH là trung trực của CM,mà N thuộc OH nên NC=NM
Nên cân tại N ,nênsđ = sđ 
 từ (3),(4) ta có D,H,B thẳng hàng (đpcm)
Bài 4 ( ĐTS THPT chuyên năm 2009) 
Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A, B và trung điểm cung AB). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA tại E, đường tròn (O2) đường kính BH cắt CB tại F.
	1) Chứng minh tứ giác AEFB là tứ giác nội tiếp.
	2) Gọi (O3) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D là điểm đối xứng của C qua O. Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng.
	3) Gọi S là giao của các đường thẳng EF và AB, K là giao điểm thứ hai của SC với đường tròn (O). Chứng minh KE vuông góc với KF.
Giải
1) Dễ chứng minh tứ giác CEHF là hình chữ nhật 
Ta có ( cùng bằng ) 
nên tứ giác AEFB nội tiếp
2) Kẻ trung trực EF cắt HD tại O3’
chứng minh O3’ là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tứ giác AEFB.
Chứng minh được CD EF
Trong tam giác CHD có IO3’ là đường trung bình nên O3’O AB mà OA=OB nên O3’O là trung trực của AB nên O3’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, tức là O3’trùng với O3
 Hay H,O3 ,D thẳng hàng.
3) nên tứ giác BFKS nội tiếp suy ra 
mà nên nên tứ giác CEFK nội tiếp 
Suy ra hay FK vuông góc với EK.
Bài 5 ( HSG Vĩnh Phúc năm 2010-2011) 
Cho tam giác nhọn với trực tâm Đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng ở đường thẳng vuông góc với tại cắt đường thẳng tại Gọi theo thứ tự là trung điểm của 
 1. Chứng minh rằng thẳng hàng.
 2. Đường thẳng cắt trung tuyến của tam giác tại 
 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với 
Giải
1) Gọi là chân các đường cao kẻ từ của tam giác 
Khi đó do tứ giác nội tiếp, nên (1)
Do cách xác định điểm D nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra các tam giác đồng dạng. Từ đó, do theo thứ tự là trung tuyến của hai tam giác đó, nên 
Từ đó, do nên (3) 
Tương tự cũng có (4)
Từ (3) và (4) suy ra thẳng hàng. Hơn nữa .
2) Do nên tứ giác nội tiếp, suy ra
 (do ) và do đó 
Tương tự cũng có 
Từ đó suy ra hay nằm trên đường tròn (Hình vẽ).
Khi đó . Suy ra đường tròn tiếp xúc với 
PHẦN VI
KẾT LUẬN CHUNG
Qua quá trình nghiên cứu chuyên đề, trong quá trình trực tiếp giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 dự thi học sinh giỏi các cấp, bồi dưỡng học sinh dự thi vào các trường chuyên lớp chọn, tôi thấy:
Phần chuyên đề: “Một số hướng tiếp cận bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng” đã phát huy tính sáng tạo của học sinh. Các em đã biết vận dụng kiến thức cơ bản vào việc giải các đề thi đạt kết quả đồng thời tham gia tích cực vào việc giải các bài trên hai tạp chí Toán học & tuổi trẻ, Toán tuổi thơ 2.
Nhờ có quá trình thường xuyên tích luỹ kinh nghiệm tự học tự rèn học hỏi đồng nghiệp tôi t