Chuyên đề: Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian

Đặt vấn đề:
	Trong chương trình Hình học 12, bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là bài toán hay và không quá khó. Để làm tốt bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt được dạng toán này là hết sức cần thiết.
	Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các em còn lúng túng nhiều trong quá trình giải các bài toán về viết phương trình đường thẳng. Nhằm giúp các em giảm bớt khó khăn khi gặp dạng toán này tôi đã mạnh dạn đưa ra chuyên đề : “ Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian”. Trong chuyên đề, tôi đã đưa ra phân loại bài tập viết phương trình đường thẳng từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình thành tư duy tự học, tự giải quyết vấn đề. Ngoài ra, giúp cho các em làm tốt các bài thi tốt nghiệp cũng như thi vào các trường Cao đẳng và Đại học.
	Chuyên đề gồm 4 phần: 
 Phần I: Vectơ chỉ phương của đường thẳng
 Phần II: Phương pháp chung để giải toán
 Phần III: Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải
 Phần IV: Bài tập trắc nghiệm tự luyện 
Nội dung: 
d
PHẦN I: VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
 Cho đường thẳng d. Nếu Vectơ và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d thì được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
 PHẦN II. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN
 Trong những bài toán viết phương trình đường thẳng thì phương pháp chung nhất là đi xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và toạ độ một điểm thuộc đường thẳng sau đó dựa vào công thức của định nghĩa ( trang 83 SGK Hình học 12) để viết phương trình đường thẳng.
Một số trường hợp cơ bản để xác định toạ độ VTCP của một đường thẳng :
TH1: Nếu đường thẳng (d) cho dưới dạng ptts thì 1 VTCP của d là (a;b;c)
TH2: Nếu đường thẳng d cho dưới dạng phương trình chính tắc (a.b.c0 ) thì 1 VTCP của d là (a;b;c)
TH3: Nếu đường thẳng d đi qua 2 điểm phân biệt A, B thì d có 1 VTCP là 
PHẦN III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chú ý trong Các dạng bài tập sau: 
 Kí hiệu lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng ;d’.
 Kí hiệu lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P) & (Q)
Dạng 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có ) của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương = (a; b; c).
 Phương pháp: * Phương trình tham số của đường thẳng d là : ( t là tham số)
d
M
.
* PT chính tắc của đường thẳng d là : ( điều kiện a.b.c 0 )
Bài tập áp dụng: 
 Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d (nếu có) biết đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1; -4) và có chỉ phương là =(-3; 2; -1)? 
Dạng 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua hai điểm A, B cho trước.
d
A
.
B
.
Phương pháp: - VTCP của d là - Chọn điểm đi qua là A hoặc B
Đưa bài toán về dạng 1 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB?
Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng () .
P
d
M.
Phương pháp: -VTPT của mặt phẳng () là VTCP của đường thẳng d 
	 đưa bài toán về dạng 1
Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , 
viết phương trình tham số của d biết d đi qua M(-2; 4; 3) 
và vuông góc với (): 2x - 3y – 6z + 19 = 0?
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’.
d
M
.
Phương pháp: - VTCP của d’ chính là VTCP của d
 đưa bài toán về dạng 1. 
Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ 
 oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d 
 biết đường thẳng d đi qua điểm A(2; -5; 3) và song song với d’ ( t là tham số)? 
Dạng 5 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)
P
Q
d
M
.
Phương pháp: - VTCP của d là = [P, q] 
Đưa bài toán về dạng 1.
Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và 
 (Q): x – 3y + z -2 = 0?
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ( không vuông góc với (P))
P
d
M
.
Phương pháp: VTCP của d là = [P, ]=>Đưa bài toán về dạng 1.
Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ 
toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường
 thẳng d biết đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1; 3),
 song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc 
với d’:(t là tham số) ? 
Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 (d1 và d2 là hai đường thẳng chéo nhau)
d
M
.
Phương pháp:	 - VTCP của d là = [, ] => Đưa bài toán về dạng 1.
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(2; -3; 4), vuông góc với d1:( t là tham số ) và d2: ? 
Dạng 8: Viết phương trình tham số d là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng cắt nhau 
 Phương pháp: Đường thẳng d gồm các điểm vừa thuộc (P) vừa thuộc (Q) nên tọa độ M là nghiệm của hệ: . Bây giờ ta có thể viết phương phương trình tham số của d bằng một trong các cách sau:
Cách 1: Tìm tọa độ một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó rồi viết phương trình tham số của d.
Cách 2: Tìm tọa độ 2 điểm A và B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó.
P
Q
d
Cách 3: Trong hệ (I) đặt 
 rồi tìm x & y theo t ta được phương trình
 tham số của d.
Bài tập áp dụng: 
Bài 1 Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng (P) & (Q) lần lượt có phương trình là ?
M
.
d
B
C
Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 
Phương pháp1: -Tìm tọa độ B(theo ) và C( theo )
-Từ điều kiện M, B, C thẳng hàng ta xác định 
 được toạ độ của B và C
-Đưa bài toán về dạng 2
Phương pháp2:
 -Viết phương trình mp(P) chứa M và d1
-Viết phương trình mp(Q) chứa M và d2
-Đường thẳng d nếu có là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng (P) và (Q)
-Kiểm tra lại suy ra d là đường thẳng cần tìm.
Bài tập áp dụng: Bài 1Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết PTTS của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1; 1; 0) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) : và (d2) : ?
d
d’
B
A
Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2
Phương pháp1:
-Giả sử B và A lần lượt là giao điểm của d với d1 và d2
=> Toạ độ B và A lần lượt theo tham số 
-Do d//d’ nên và cùng phương 
=> giá trị của tham số => toạ độ 2 điểmB và A
-Đường thẳng d là đường thẳng đi qua A và nhận là VTCP
Phương pháp2: - Viết phương trình mp(P) chứa 
- Viết phương trình mp(Q) chứa 
- Đường thẳng d nếu có là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng (P) & (Q)
-Nếu suy ra d là đường thẳng cần tìm.
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d biết d song song với d’ : x - 4 = đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 với d1 : và d2 : ?
Dạng 11 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 
A
.
d
B
Phương pháp1: 
-Giả sử d cắt d2 tại B toạ độ B ( theo ) => toạ độ 
-Vì d d1 => giá trị => toạ độ điểm B
-Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và nhận là VTCP
Phương pháp2:
-Viết phương trình mp(P) chứa A và vuông góc với d1. Khi đó d chứa trong mặt phẳng (P)
-Tìm giao điểm B của d2 và mp(P) 
-Khi đó d đi qua A và B.
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đt d đi qua A(0;1;1), vuông góc với đt d1 và cắt đt d2 cho bởi: (d1): và (d2) : ?
Dạng 12 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d1 
A
.
B
d
Phương pháp:
-Gọi => toạ độ B theo tham số t
-Do AB d1 
 => giá trị của tham số t => toạ độ B
-Vậy d là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2;-2), vuông góc với d’ và cắt d’ trong đó d’ có phương trình ( t là tham số)?
P
B
A
Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2
Phương pháp: 
- Nhận xét giao điểm của d1 và d2 với d chính là
 giao điểm của d1 và d2 với mp(P).
- Xác định A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2
 với (P)
-Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng 
 đi qua 2 điểm A và B
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) : y + 2z = 0 đồng thời cắt cả 2 đường thẳng d1: và d2 :? 
P
M.
d
A
Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M , nằm trong mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng 
 Phương pháp:
-Giao điểm A của đường thẳng cũng
 chính là giao điểm của 
-Đường thẳng d đi qua 2 điểm 
 Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d đi qua M(0;2;0) ; nằm trong mp(P) : x+ 2y + z - 4 = 0 và cắt đường thẳng d1: ? 
Dạng 15 : Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song d1 và d2 đồng thời d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2. 
P
d
M
N
I
Phương pháp:
- VTCP của d là VTCP của d1 hoặc d2
- Xác định toạ độ điểm Md1, N d2
 toạ độ trung điểm I của MN thuộc d.
-Vậy đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua I và nhận là VTCP
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
d1: ( t là tham số ) và d2: .
Viết phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2 đồng thời cách đều hai đường thẳng đó?
A
d
B
Dạng 16: Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
Phương pháp: 
Cách 1. 
- Lấy Ad1 và Bd2 tọa độ A, B theo 
=>Toạ độ của theo 
- Để AB là đường vuông góc chung của thì => 
- Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
Cách 2. 
- VTCP của đường thẳng d => 
-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1 
-Xác định A là giao điểm của d2 và mp(P)
-Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận là VTCP .
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1: và d2 :. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2?
Dạng 17: Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). 
Phương pháp: + Nếu thì hình chiếu của d lên mặt phẳng (P) là 1 điểm 
P
d
H.
+ Nếu d’thì 
d
P
d’
A
.
B
P
+ Nếu d //(P) thì 
 *Xác định A
 *Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P)
M.
P
d
A.
d’
B
 *d’ là đường thẳng đi qua B và //d
 + Nếu d không vuông góc với mp(P) thì:
 *Xác định A( A không trùng với M)
 *Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P)
 *d’ là đường thẳng đi qua 2 điểm M và B
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ
 Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của d’ : trên mặt phẳng (P): 2x- 3y + z +1 = 0?
Dạng 18: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt ( ) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d đạt giá trị nhỏ nhất.
M.
P
A.
d
. K
H .
Phương pháp: 
+ Viết phương trình mp(P) chứa A và .Khi đó .
+Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của M lên (P) & d
+ đạt GTNN bằng MH khi 
+ d là đường thẳng qua A và H.
Bài tập áp dụng:
 Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,
Cho điểm & . Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt , sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d đạt giá trị nhỏ nhất?
PHẦN IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong không gian oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là: 
A. 
B. 
C. 
D.
Bài 2. Trong không gian oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là: 
Bài 3. Trong không gian Oxyz ,Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2;-1) và nhận vec tơ làm vec tơ chỉ phương là: 
A. 	 	 
Bài 4. Trong không gian Oxyz ,Phương trình đường thẳng đi qua A(4;2;-6) và song song với đường thẳng :
A. B. C D
Bài 5. Trong không gian Oxyz ,Cho đường thẳng (d) : .Phương trình chính tắc của đường thẳng d là : 
A.	B.
C.	D.
Bài 6. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm và là: 
A. 
B. 
C. 
D.
Bài 7. Phương trình chính tắc đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 8. Phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng là:
Bài 9. Phương trình đường thẳng đi qua điểm và song song với là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 10. Phương trình đường thẳng giao tuyến chung của 2 mặt phẳng là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 11. Phương trình đường thẳng đi qua điểm ; cắt và vuông góc với đường thẳng là:
Bài 12. Cho mặt phẳng và đường thẳng . Phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với là: 
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 13.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y-2z-1=0 và đường thẳng đi qua A(-1,0,1) có vtcp (1,2,0).Phương trình đường thẳng đi qua M(1,2,1), song song với (P) và vuông góc với đường thẳng d là: 
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài 14.Trong không gian Oxyz ,Cho và đường thẳng .Đường thẳng d cắt tại điểm M. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng có phương trình là :
	B. C. D. 
Bài 15.Trong không gian Oxyz ,Cho và . Phương trình đường thẳng nằm trong (P) có vectơ chỉ phương và cách điểm A một khoảng bằng là: 
 hoặc 	B.
 C.	D.	hoặc 
 Bài 16. Phương trình đường thẳng đi qua điểm vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng là: 
A. 
B. 
C. 
D. 
 Bài 17. Cho 2 đường thẳng và . Phương trình đường vuông góc chung của là: 
A. 
B. 
C. 
D. 
 Bài 18.Trong không gian Oxyz ,Cho đường thẳng .Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là: 
A. B. C.	D.
Bài 19Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng (P) : và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P), đường thẳng có khoảng cách từ B đến đường thẳng đó nhỏ nhất là: 
A.B. C. D.
 C. Kết luận: Trên đây là một số dạng bài tập đã được áp dụng cho học sinh khối 12 trong thời gian qua ( kể cả học sinh thi học sinh giỏi toán 12). Kết quả tôi nhận thấy rằng học sinh giải khá tốt phương trình đường thẳng trong không gian.
 Do thời gian có hạn nên chuyên đề này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong được sự quan tâm góp ý của các đồng nghiệp trong tổ. Xin chân thành cảm ơn.