Chuyên đề luyện thi Tích phân - Dùng cho học sinh lớp 12-Ôn thi Đại học và Cao đẳng

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
 TÍCH PHÂN
Dùng cho học sinh lớp 12-Ơn thi Đại học và Cao đẳng
HUẾ, 01/2013
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO
SĐT: 0978421673-01234332133. TP HUẾ
Don't try to fix the students, fix ourselves first. The good teacher makes the poor
student good and the good student superior. When our students fail, we, as teachers,
too, have failed.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
1
MỤC LỤC
Trang
A. NGUYÊN HÀM ..................................................................................................................... 3
B. TÍCH PHÂN .......................................................................................................................... 4
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: ................................................... 6
VẤNĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN ( )nt f x ........................................................................... 6
VẤNĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA ....................... 11
DẠNG 1: 2 2a x ............................................................................................................. 11
DẠNG 2: 2 2x a ............................................................................................................. 14
DẠNG 3: 2 2x a ............................................................................................................. 14
DẠNG 4: hoặca x a xa x a x
 
  ......................................................................................... 18
VẤNĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC........................................................................... 19
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản ............................................................ 19
Dạng 2: Tích phân dạng sin cos
dx
a x b x c  .................................................................. 23
Dạng 3: Tích phân dạng 2 2sin sin cos cos
dx
a x b x x c x  ............................................... 24
Dạng 4: Tích phân dạng 1 2(sin )cos ; (cos )sinI f x xdx I f x xdx   ............................ 25
1.Tích phân cĩ dạng sin .cosm nx xdx .......................................................................... 26
2.Tích phân dạng 1 1sin os; ; ,os sin
m m
n n
x c xI dx I dx m nc x x
     .................................. 27
Dạng 5: Tích phân chứa    tan ;cos ; cot ;sinx x dx x x dx  ............................................ 28
Dạng 6: Đổi biến bất kì ..................................................................................................... 29
VẤNĐỀ 4: TÍCH PHÂN CĨ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................... 39
VẤNĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ ............................................................................ 42
VẤNĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀMĐẶC BIỆT ....................................................... 50
VẤNĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ............................................................................. 58
VẤNĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ..................... 69
VẤNĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY .................................................. 77
MỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI ................................................................ 83
D. PHỤ LỤC............................................................................................................................. 95
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
2
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG LÀM THAYĐỔI CẬN TÍCH PHÂN .................. 95
SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN ..................................................... 100
ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2009-2012 ..................................................................................... 107
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 109
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
3
A. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
 Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:
'( ) ( )F x f x , x  K
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:
( ) ( )f x dx F x C  , C  R.
 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều cĩ nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
 '( ) ( )f x dx f x C 
  ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx    
 ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k  
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số
 0dx C
 dx x C 

1
, ( 1)1
xx dx C

 

   
 1 lndx x Cx  
 x xe dx e C 
 (0 1)ln
x
x aa dx C aa   
 cos sinxdx x C 
 sin cosxdx x C  
 21 tancos dx x Cx  
 21 cotsin dx x Cx   

1cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C aa    

1sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C aa     

1 , ( 0)ax b ax be dx e C aa
   
 1 1 lndx ax b Cax b a  
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
4
Nếu ( ) ( )f u du F u C  và ( )u u x cĩ đạo hàm liên tục thì:
   ( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C 
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu  
B. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( )
b
a
f x dx .
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a 
 Đối với biến số lấy tích phân, ta cĩ thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du F b F a      
 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và khơng âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là:
( )
b
a
S f x dx 
2. Tính chất của tích phân

0
0
( ) 0f x dx   ( ) ( )b a
a b
f x dx f x dx  
 ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx  (k: const)
  ( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx      ( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx   
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
5
 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì ( ) 0
b
a
f x dx 
 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx 
3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
  ( )
( )
( ) . '( ) ( )
u bb
a u a
f u x u x dx f u du 
trong đĩ: u = u(x) cĩ đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên
K, a, b  K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì:
b bb
aa a
udv uv vdu  
Chú ý:
 Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
 Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b
a
vdu dễ tính hơn b
a
udv .
Trong phần sau sẽ trình bày kỉ thuật lựa chọn u và dv .
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
6
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
VẤNĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN ( )nt f x
Phương pháp: Khi hàm dưới dấu tích phân cĩ chứa biểu thức cĩ dạng ( )n f x . Lúc đĩ trong
nhiều trường hợp ( chứ khơng phải mọi trường hợp), ta cĩ thể đổi biến bằng cách
- Bước 1: Đặt 1( ) ( ) '( )n nnt f x t f x nt dt f x dx    
- Bước 2: Ghi nhớ “Đổi biến thì phải đổi cân”
BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
Bài 1: Tính
1
3 2
0
1I x x dx 
Giải:
Đặt t = 21 x  t2 = 1 – x2  xdx = -tdt
Đổi cận:
x 0 1
t 1 0
Khi đĩ:
1
3 2
0
1I x x dx  =  1 2
0
1 . .t t tdt =  1 2 4
0
t t dt = 3 5 13 5 0t t
   
= 2 .15
Bài 2: Tính
1
33 4
0
1I x x dx 
Giải:
Đặt t = 3 4 3 4 3 231 1 4x t x x dx t dt      
Đổi cận:
x 0 1
t 1 0
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
7
Khi đĩ:
1 1
33 4 3 4
0 0
13 3 31 .4 16 160I x x dx t dt t     
Bài 3: Tính
1
1 lne xI dxx
 
Giải:
Đặt 21 ln 1 ln 2 dxt x t x tdt x      
Đổi cận:
x 1 e
t 1 2
Khi đĩ:  2 2 32
1 1 1
2 2 2 11 ln 2.2 2 2 .3 31
e x tI dx t tdt t dtx
      
Bài 4: Tính
2
31 1
dxI x x 
Giải:
Ta cĩ:
2 2 2
3 3 31 11 1
dx x dx
x x x x  
Đặt 3 2 3 2 2 21 1 2 3 3
tdtt x t x tdt x dx x dx        
Đổi cận:
x 1 2
t 2 3
Khi đĩ:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
8
 
   
2 2 3 32
23 3 31 1 2 2
2
2 1 1 1
3 3 1 111 1
3 31 1 1 1 1 2 1ln 1 ln 1 ln ln ln3 3 1 3 22 2 2 1
1 2 1 1 1ln ln3 32 2 1 2 1
dx x dx dtI dtt ttx x x x
tt t t
           
                 
 
 
   
Bài 5: Tính
4
27 9
dxI x x 
Giải:
 Đặt  2 2 2 2 29 9 0 ; 9dx tdt tdtt x t x t tdt xdx x x t          
Đổi cận:
x 7 4
t 4 5
Khi đĩ:
5
2
4
51 3 1 7ln ln6 3 6 49 4
dt t
tt
 
BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau
 
 
7 3
3 20
ln3
30
ln5
ln2
1411) : 201
2) : 1 2
1
203) : 310 1
x
x
x
x x
x dx ĐSx
e dx ĐS
e
e dx ĐSe e

 

 



LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
9
4 7 3
4 40
8
3
2
1
3 3 34) : ln8 4 21 1
1 1 15) : ln ln2 31
116) ( 2004) : 4 ln231 1
x dx ĐSx
dx ĐSx x
x dx A ĐSx



 

  



 3 2 33
1
3 2
ln . 2 ln 37) ( 2004). : 3 3 2 28
: 2 ln
e x x dx Khối B ĐSx
HD Đặt t x
  
 

23 1 2
20
8) . . :1
x xe dx ĐS e ex
 

2 3
2
25
(KhốiA-2003) 1 59) . . 4 : ln4 34
dx Đặt t x ĐSx x  
3 2
1
ln 7610) .(Dự bị khối D-2005) ln 1. : 15ln 1
e x dx Đặt t x ĐSx x  
2
1 2
1
ln 2 2 211) ln . : : 3 31 ln
e x x dx HD I I I ĐS ex x
       
2
1
1 6212) . 1. : 30 ln210 3
x x dx t x DSx
    .
1 1
2 3
0 0
13) sin 1
xx x dx dxx  
Hướng dẫn :
1 1
2 3
0 0
sin 1
xI x x dx dxx   
Ta tính I1 =
1
2 3
0
sinx x dx đặt t = x3 ta tính được I1 = -1/3(cos1 - sin1)
Ta tính I2 =
1
0 1
x dxx đặt t = x ta tính được I2 =
1
2
0
12 (1 ) 2(1 ) 24 21 dtt
     
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
10
ĐS :-1/3(cos1 - 1)+2 2

5
2
ln( 1 1)14) 1 1
x dxx x
 
  
Hướng dẫn :Đặt 1 1t x   . Đáp số: 2 2ln 3 ln 2
6
2
15) 2 1 4 1
dx
x x  
Hướng dẫn :Đặt 24 1 4 1 2 4t x t x tdt dx       .
   
6 5 5 5 5
2 2 2
2 3 3 3 3
1
2 112 1 4 1 1 112
dx tdt tdt dt dtI ttx x t tt
         
     3 1ln 2 12 
BÀI TẬP BỔ SUNG
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
11
VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA
DẤU HIỆU CÁCH ĐẶT
2 2a x
sin với / 2 / 2
cos với 0
x a t t
x a t t
 

       
2 2x a
 với t ; \ {0}sin 2 2
 với t 0; \cos 2
ax t
ax t
 

                  
2 2x a
tan với / 2 / 2
cos với 0<
x a t t
x a t t
 

      
 hoặca x a xa x a x
 
 
cos2Đặt x a t
  x a b x    2sin , 0; 2x a b a t t        
DẠNG 1: 2 2a x
BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
Bài 1: Tính 2 2 2
0
a
I x a x dx 
Giải:
Đặt x = asint, ;2 2t
      .  dx = acostdt
Đổi cận:
x 0 a
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
12
t 0 2

Khi đĩ: 2 2 2
0
a
I x a x dx  =  2 2 2 2 2
0
sin 1 sin .a t a t acostdt


=
24 2 2
0
sina tcos tdt

 = 4 2 2
0
sin 24
a tdt

 =  4 2
0
1 48
a cos t dt

 = 4 1 sin4 28 4 0
a t t
    =
4
16
a
Bài 2: Tính
1 2
2
2
2
1 xI dxx
 
Giải:
Đặt x = cost, ;2 2t
      .  dx = - sint dt
Đổi cận:
x 22 4

t 1 0
Khi đĩ:
1 2
2
2
2
1 xI dxx
  = 0 22
4
1 os .c t sintdtcos t
 = 4 2
0
sin .sint tdtcos t

 = 24 2
0
sin tdtcos t

 =
4
2
0
1 1 dtcos t

    =  tan 40t t

 = 1 4
 . (vì 0; 4t
     nên sint 0 sin sint t   )
Bài 3: Tính
1
2 2
0
1I x x dx 
Giải:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
13
Đặt x = sint, ;2 2t
      .  dx = costdt
Đổi cận:
x 0 1
t 0 2

Khi đĩ:
1
2 2
0
1I x x dx  = 2 2 2
0
sin 1 sin .t t costdt

 = 2 2 2
0
1 sin4 tcos tdt

 = 2 2
0
1 sin 24 tdt

 =
 =  2
0
1 1 48 cos t dt

 = 1 1 sin4 28 4 0t t
    = 16

Tính các tích phân sau:
 
3
2
1
3
2
323 2
2
2
22
20
8
2
0
1) 4 ; : 2sin : 3
1 3 32) ; : 3cos : 279
13) ; : sin : 8 41
4) 16 ; : 4sin
x dx HD Đặt x t ĐS
dx HD Đặt x t ĐS
x
x dx HD Đặt x t ĐSx
x dx HD Đặt x t



 


 

 




1
2 2
0
5) 1 : sinx dx HD Đặt x t 
 
5
2
21
16) ; : 1 3sin
9 1
dx HD Đặt x t
x
 
 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
14
 
1
2
1
2
1 1 22
1 1
2 2
7) . : 16
1: 1 2 1 . : 2 1 sin2
x x dx ĐS
HD x x dx x dx Đặt x t

     

 
DẠNG 2: 2 2x a
Tính các tích phân sau:
3
6
22
2
3
22
2
22
20
5
2
21
1 31) ; : :sin 369
1 12) ; : :sin 61
13) ; : cos1
1 14) ; : cos1
dx HD Đặt x ĐStx x
dx HD Đặt x ĐStx x
x dx HD Đặt x tx
dx HD Đặt x tx x














DẠNG 3: 2 2x a
BÀI TẬP MẪU:
Bài 1: Tính
0
2
1
1
2 4I dxx x
  
Giải:
 Ta cĩ:    
0 0
2 221 1
1 1
2 4 1 3
dx dxx x x 
    
Đặt 1 3 tanx t  với  2; . 3 1 tan2 2t dx t dt        
Đổi cận:
x -1 0
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
15
t 0 6

Khi đĩ:
0 6
2
1 0
1 3 3 3 .63 3 182 4 0
I dx dt tx x
  

     
Bài 2: Tính
1 3
8
0 1
xI dxx 
Giải:
 Ta cĩ:  
1 13 3
8 240 01 1
x xdx dxx x
  
Đặt 4 tanx t với  3 21; . 1 tan2 2 4t x dx t dt        
Đổi cận:
x 0 0
t 0 4

Khi đĩ:  
1 13 3 24 4
8 2 240 0 0 0
1 1 tan 1 1 .44 4 4 161 1 tan1 0
x x tI dx dx dt dt tx tx
            
Bài 3: Tính
2
2
0 1 sin
cosxI dxx

 
Giải:
Đặt sin tanx t với  2; 1 tan2 2t cosxdx t dt        
Đổi cận:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
16
x 0 2

t 0 4

Khi đĩ:
22 4 4
2 2
0 0 0
1 tan
41 sin 1 tan
cosx tI dx dt dtx t
  
      
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
 
4
2
0
3
2
0
1
2
0
3
323
3
3
2 2
2
3
2
11) ; : 2 tan : 84
12) ; : 3tan9
3) 1 ; : tan
1 3 14) ; : tan : 21
9 2 3 15) ; : 2 3tan : 2
dx HD Đặt x t ĐSx
dx HD Đặt x tx
x x dx HD Đặt x t
dx HD Đặt x t ĐS
x
x dx HD Đặt x t ĐSx




 


 





 
 
1 3
2
320
3
2 21
1
220
6) ; : tan 1
1
17) ; : 3 tan3
1 28) : 81
x dx HD Đặt x t hoặc u x
x
dx HD Đặt x tx x
dx ĐS
x

  








  3 22
1
1 3 2 2 39) . tan . : ln 2 3 2 1 3
x dx Đặt x t ĐSx
    
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
17
1
4 2
0
1
2
0
310) . : 81
1:Biến đổi tích phân đã cho về dạng:2 1
x dx ĐSx x
duHD u u

 
 


LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
18
DẠNG 4: hoặca x a xa x a x
 
 
Tính tích phân sau:
5
0 2
1 0
1 51) : cos2 2) : 5cos21 5
x xHD x t HD x tx x
    
DẠNG 5:   x a b x 
Tính tích phân sau:   
3
2 2
5
4
1 31 2 . 1 sin . : 8 12 8x x Đặt x t ĐS
        
BÀI TẬP BỔ SUNG
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
19
VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản
Ví dụ 1: Tính
4
4
0
1I dxcos x

 
Giải:
Đặt t = tanx ; 21dt dxcos x 
Đổi cận:
x 0 4

t 0 1
Khi đĩ:    1 34 4 2 24 2
0 0 0
11 1 41 tan 1 .3 30
tI dx x dx t dt tcos x cos x
 
            
Ví dụ 2: Tính
12
0
tan4I xdx

 
Giải:
Ta cĩ:
12 12
0 0
sin4tan4 4
xxdx dxcos x
 
 
Đặt t = cos4x ; 4s 4 sin4 4
dtdt in xdx xdx     
Đổi cận:
x 0 12

t 1 12
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
20
Khi đĩ:
1
112 12 2
10 0 1
2
1sin4 1 1 1 1tan4 ln ln2.14 4 4 4 42
x dt dtI xdx dx tcos x t t
 
         
Ví dụ 3: Tính
2 5
0
I cos xdx

 
Giải:
Ta cĩ:  2 2 2 25 4 2
0 0 0
1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx
  
    
Đặt t = sinx ; dt cosxdx 
Đổi cận:
x 0 2

t 0 1
Khi đĩ:
      3 52 2 2 22 25 2 2 2 4
0 0 0 0
12 81 sin 1 1 2 .3 5 150
t tI cos xdx x coxdx t dt t t dt t
   
                 
Ví dụ 4: Tính
4 3
0
tanI xdx

 
Giải:
Đặt t = tanx ;    2 2 21 tan 1 1dtdt x dx t dt dx t       
Đổi cận:
x 0 4

t 0 1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
21
Khi đĩ:
 
   
21 1 1 1 13 24 3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
111 2 1tan 2 2 21 1 1 10
11 1 1 1 1ln 1 ln2 1 ln2 .2 2 2 2 20
d tt t t tI xdx dt t dt tdt dtt t t t
t
               
      
     
Ví dụ 5: Tính
2 3
6
I cos xdx


 
Giải:
     2 2 2 23 2 2 2
6 6 6 6
3
. 1 sin 1 sin sin
sin 1 1 1 52sin 13 3 2 24 24
6
I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x
xx
   
   


     
         
   
Ví dụ 7: Tính
4
4 4
0
sin4
sin
xI dxx cos x

 
Giải:
4 4 4 4
4 4 4 4 2 2 20 0 0 0
4 2 2
20
sin4 2sin2 2 2sin2 2 2sin2 2
1sin sin 1 2sin 1 sin 22
1 1 1 11 sin 2 ln 1 sin 2 ln ln241 2 2 21 sin 2 02
x xcos x xcos x xcos xI dx dx dx dxx cos x x cos x xcos x x
d x x
x
   
 
       
          
   

Ví dụ 8: Tính
32
4
1 sin
cos xI dxx


 
Giải:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
22
   
 
23 22 2 2 2
4 4 4 4
2 2 2
4 4 4
1 sin 1 sin1 sin 1 sin 1 sin
1 1 3 2 22sin s 2 sin sin22 4 4
4
xcos x cos xI dx cosxdx cosxdx x cosxdxx x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
   
   
  
  


       
          
   
  
Ví dụ 9: Tính
2 3
0
sinI xdx

 
Giải:
    32 2 23 2 2
0 0 0
1 2sin sin sin 1 123 3 30
cos xI xdx x xdx cos x d cosx cosx
                  
Ví dụ 10: Tính
2
0 1
dxI cosx

 
Giải:
2 2 2
2 20 0 0
2 tan 121 22 02 2
xddx dx xI x xcosx cos cos
            
Ví dụ 11: Tính
2
4
1 sin2
dxI x


 
Giải:
 
2 2 2 2
2 2 2
4 4 4 4
1
1 sin2 2sin 2 44
1 12tan2 4 2
4
dx dx dx dxI x x cosx cos xcos x
x
   
    



                
     
   
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Gv: Ths.TrầnĐình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ
23
Ví dụ 12: Tính
2
3
sin
dxI x


 
Giải:
Ta cĩ:
2 2 2
2 2
3 3 3
sin sin
sin sin 1 s
dx xdx xdx
x x co x
  
  
    
