Chuyên đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Tích phân

 >> Truy cập trang  để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 
. 
CHUYÊN ĐỀ TICH PHÂN . 
. 
NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
1. Định nghĩa nguyên hàm: Hàm số F(x) dược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu 
F’(x)=f(x). 
Lưu ý:  Các nguyên hàm của f(x) trên K sai khác nhau một hằng số C. 
  Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là ( )f x dx ; Vậy ( ) ( )f x dx F x C  
2. Bảng cơng thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng: 
1 11 ( )
1. ; . ; ; ( ) .
1 1
x ax b
dx x c a dx ax c x dx C ax b dx C
a
 
 
 
 
            
    
1 1 1 1 1 1
ln | | ; .ln | | ; 2 ; .2 ;dx x C dx ax b C dx x C dx ax b C
x ax b a ax ax b
             
 
    
2 2
1 1 1 1 1 1
; . ; ; . ;
( )
x x ax b ax bdx C dx C e dx e C e dx e C
x x ax b a ax b a
              
    
1 1
cos sin ; cos( ) .sin( ) ; sin cos ; sin( ) .cos( ) ;xdx x C ax b dx ax b C xdx x C ax b dx ax b C
a a
                     
2 2
2 2
1 1 1
tan ; . tan( ) ;
cos cos ( )
1 1 1
cot ; .cot( ) ;
sin sin ( )
dx x C dx ax b C
x ax b a
dx x C dx ax b C
x ax b a
      

        

 
 
3. Phương pháp tìm nguyên hàm: 
a) Phương pháp đổi biến: [ ( )]. '( ) [ ( )]f t x t x dx F t x C  
b) Phương pháp từng phần: .udv u v vdu   
4. Cơng thức tích phân: Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì 
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a   
5. Phương pháp đổi biến số: Xét [ ( )]. '( )
b
a
I f t x t x dx  
 Đặt t=t(x)dt=t’(x)dx;  Đổi cận: x=bt=t(b); x=at=t(a). 
 Thay vào: 
( )
( )
( )
t b
t a
I f t dt  và tính tích phân mới này (biến t). 
Vài dạng tích phân đổi biến thơng dụng: 
Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng 
'( )
( )
b
a
t x
dx
t x
 Đặt t=t(x) Mẫu 
 >> Truy cập trang  để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 
( )( ). '( )
b
t x
a
f e t x dx Đặt t=t(x) Mũ 
( ( )). '( )
b
a
f t x t x dx Đặt t=t(x) Ngoặc 
( ( )). '( )
b
n
a
f t x t x dx Đặt t= ( )n t x Căn 
1
(ln ).
b
a
f x dx
x
 Đặt t=lnx Lnx 
(sin ).cos
b
a
f x xdx Đặt t=sinx 
Cosxdx đi kèm biểu thức theo 
sinx 
(cos ).sin
b
a
f x xdx Đặt t=cosx Sinxdx đi kèm biểu thức theo cosx 
2
1
(tan ).
cos
b
a
f x dx
x
 Đặt t=tanx 2
1
cos
dx
x
 đi kèm biểu thức theo 
tanx 
2
1
(cot ).
sin
b
a
f x dx
x
 Đặt t=cotx 2
1
sin
dx
x
 đi kèm biểu thức theo 
cotx 
( ).
b
ax ax
a
f e e dx Đặt t=eax. eaxdx đi kèm biểu thức theo eax. 
Đơi khi thay cách đặt t=t(x) bởi t=mt(x)+n ta sẽ gặp thuận lợi hơn. 
6. Phương pháp tích phân từng phần: ( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu   
Vài dạng tích phân đổi biến thơng dụng: 
Với P(x) là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây: 
  ( ).sin( )
b
a
P x ax b dx ta đặt 
( )
sin( )
u P x
dv ax b dx


 
 ta cĩ 
'( ).
1
cos( )
du P x dx
v ax b
a



  
  ( ).cos( )
b
a
P x ax b dx ta đặt 
( )
cos( )
u P x
dv ax b dx


 
 ta cĩ 
'( ).
1
sin( )
du P x dx
v ax b
a



 
  ( )( ).
b
ax b
a
P x e dx ta đặt 
( )
ax b
u P x
dv e dx



 ta cĩ 
'( ).
1 ax b
du P x dx
v e
a





  ( ).ln( )
b
a
f x ax b dx ta đặt 
ln( )
( )
u ax b
dv f x dx
 


 ta cĩ 
.
( )
a
du dx
ax b
v F x



 
7. Diện tích hình phẳng: Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b], (H) là hình phẳng giới 
hạn bởi các đường (C1):y=f(x), (C2):y=g(x), x=a, x=b. Khi đĩ diện tích của hình phẳng (H) là: 
 >> Truy cập trang  để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 
| ( ) ( ) |
b
a
S f x g x dx  
8. Thể tích vật thể trịn xoay: Hình (H) giới hạn bởi: y=f(x), Ox, x=a,x=b. Thể tích vật thể do hình (H) 
quay quanh trục Ox là: 2[ ( )]
b
a
V f x dx  
Lưu ý: Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x), x=a, x=b(ab). Nếu f(x) và g(x) luơn 
cùng dấu trên [a;b] thì thể tích vật thể do (H) quay quanh Ox là: 2 2| ( ( )) ( ( )) |
b
a
V f x g x dx  
I) Tìm nguyên hàm 
 1)
3 25 3 10
2
x x x
dx
x
  

 2)
2
2013
2013 2012
dx
x x 
 3)  
102 3x x dx 4) 
2
2
1
x
dx
x x 
 5) sin .cosx xdx 
II) Tích phân cơ bản 
Bài 1: Tính các tích phân 
 1) I1 = 
1
3
0
(3 1)x dx 2)  
1
4
0
5 3I x dx  3) I2 = 
2
2
0
xe dx  
 4) I3 = 
0
1
3
2 1
dx
x

 
Bài 2: Tính các tích phân 
 1) J1 =  
2
2
2
0
1x dx 2) J2 = 
1
0
2 3
2
x
dx
x


 3) J3 = 
8 6
6
1
2x x
dx
x

 
Bài 3: Tính các tích phân 
 1) K1 = 
4
0
s in3 .cosx xdx

 2) K2 = 
8
2
0
cos 2xdx

 3) K3 = 
1
2 1
0
1xe dx  
Các bài tập tự luyện: 
Tính các tích phân: 
 1) L =  
1
0
24 )23( dxxx 2) I = 
4
6
2
3
sin
sin1


dx
x
x
 3) J = dx
x
x
 

1
0
34
2
 4) K = 
dx
x
xx


2
1
2
23 52
 5) M = 
12
0
5sin.7sin

xdxx 6) N = 
4
1
2x dx 
 7) P = 
3
2
0
sin 3xdx

 8) Q = 
4
2
0
tan xdx

 9) R = 
/4
2 2
/6
sin .cos
dx
x x


 
 >> Truy cập trang  để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4 
 10) 
2
0
sin cos 2
2
x
E x dx

 
  
 
 11)  
2
2
0
sin cos 2F x x dx

  
III) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ( )
b
a
f x dx 
1) Loại 1: Tiến hành theo các bước 
 + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt 
 + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. 
 + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. 
Bài 1: Tính tích phân 
 1) I1 = 
1
2
0
1 .x xdx 2) I1 = 
2
2
0
4 x dx 3) I2 = 
3
2
0
1
9
dx
x
2) Loại 2: Tiến hành theo các bước 
+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx 
 + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là  và  thì  =u(a)  = u(b) . 
 + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính. 
Bài 1: Tính các tích phân 
1) J1 = 
2
2
1
xxe dx 2) J2 = 
1
1 ln
e
x
dx
x

 3) J3 = 
1
3 4 5
0
( 1)x x dx 
 4) J4 = 
2
2
0
4 .x xdx 5) J5 = 
/2
4
0
cos
(1 sin )
x
dx
x

 6) J6 = 
dxxx 
6
0
cos.sin41

Các bài tập tự luyện: 
Bài 1: Tính các tích phân: 
 1) I1 = dxxx 
2
0
23 3 .8 2) I2 = 
2
1
x 2X
0
e .(x 1).dx 3) I3 = 

e
x
dxx
1
)ln3(
 4) I4 =  
21
0
27 x
dx
 5) I5 =  
1
0 2
x
x
e
dxe
 6) I6 = 
1
2013
0
( 1)x x dx 
Bài 2: Tính các tích phân: 
 1) I1 = 
2
0
(2sin 3)cosx xdx

 2) I2 = 
2
2
1
3x x dx 3) I3 = 
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x

 
4) I4 = 
24
2
0
5 tan
cos
x
dx
x


 5) I5 = 
2
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x

 6) I6 = 
2
1
1
x
x
e
dx
e 
IV) Phương pháp tích phân từng phần: 
 >> Truy cập trang  để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5 
 Cơng thức: 
b b
b
a
a a
udv uv vdu   
 Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ). ( )
b
a
I P x Q x dx  
Dạng 
hàm 
P(x): Đa thức 
Q(x): sinkx hay 
coskx 
P(x): Đa thức 
Q(x):e
kx 
P(x): Đa thức 
Q(x):ln(ax+b) 
P(x): Đa thức 
Q(x):
2
1
sin x
hay 
2
1
cos x
Cách 
đặt 
* u = P(x) 
* dv là Phần cịn 
lại của biểu thức 
dưới dấu tích phân 
* u = P(x) 
* dv là Phần cịn 
lại của biểu thức 
dưới dấu tích 
phân 
* u = ln(ax + b) 
* dv = P(x)dx 
* u = P(x) 
* dv là Phần cịn lại 
của biểu thức dưới dấu 
tích phân 
Bài 1: Tính các tích phân 
1) I1 = 
/4
0
2 cos 2x xdx

 2) I2 = 
1
2
0
( 1) xx e dx 3) I3 = 
3
2
2 ln( 1)x x dx 
4) I4 = 
4
0
2cos

x
xdx
 5) I5 = 
2
2
1
ln xdx
x 6) I6 = 
1
1
( 3) xx e dx

 
Các bài tập tự luyện: 
Tính các tích phân: 
 1) I1 =  
e
xdxx
1
ln)21( 2) I2 = 
4
0
2cos

x
xdx
 3) I3 = 2
1
2ln
e
x
dx
x 
 4) I4=
2
0
.cos .sinx x xdx

 5) I5 = 
2
3
1
ln x
dx
x
 6) I6 = 
1
0
dxe x 
 7) I7 = 
2
1
ln
e
x xdx 8) I8 = 
2
0
sinxe xdx

 
V) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 
1) Diện tích hình phẳng: 
 Cơ sở lí thuyết: 
  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và 
 y = 0 (trục hồnh) được tính bởi: S = ( )
b
a
f x dx (1). 
  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; 
 x= b được tính bởi: S = ( ) ( )
b
a
f x g x dx (2). 
 >> Truy cập trang  để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6 
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. 
Giải: 
 Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = ( )
b
a
f x dx 
 thì S = 
2
2
0
1x dx 
 Phương trình: x2 -1= 0  x =  1 , nghiệm x = 1 [0;2] 
 Vậy S = 
1
2
0
( 1)x dx + 
2
2
1
( 1)x dx = 
1
3
0
( )
3
x
x + 
2
3
1
( )
3
x
x = 2 (đvdt) 
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y= x. 
Giải: 
  Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x  x
2
 + x – 2 = 0  x = 1 và x = -2 
 Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = ( ) ( )
b
a
f x g x dx thì 
 S = 
1
2
2
2x x dx

  
 Vậy S = 
1
2
2
2x x dx

  = 
1
2
2
( 2)x x dx

  = 
1
3 2
2
2
3 2
x x
x

  = 
9
2
 (đvdt) 
* Lưu ý: Chỉ cĩ thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngồi tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân khơng đổi 
dấu trên [a; b]. 
2) Thể tích vật thể trịn xoay: 
 Cơ sở lí thuyết: 
 Thể tích vật thể trịn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay 
 quanh trục Ox được tính bởi: V = 2 ( )
b
a
f x dx  (3) 
Ví dụ 3: 
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể trịn xoay được 
sinh ra bởi hình phẳng đĩ khi nĩ quay quanh trục Ox., 
Giải: 
  Phương trình 2x – x2 = 0  x = 0 và x = 2 
 Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng cơng thức: V = 2 ( )
b
a
f x dx  
Ta cĩ V = 
2 0
2 2 2 3 4
0 0
(2 ) (4 4 )x x dx x x x dx      = 
5
23 4
0
4
( )
3 5
x
x x   = 
16
15

 (đvtt) 
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể trịn xoay được sinh 
ra bởi hình phẳng đĩ khi nĩ quay quanh trục Ox. 
Giải: 
  Phương trình – x2 = x3  x = 0 và x = –1 
 Gọi V1 là thể tích vật thể trịn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường 
 y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đĩ quay quanh Ox: 
 >> Truy cập trang  để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7 
 Cĩ V1 =
0
2 2
1
( )x dx

 =
1
5
 
 Gọi V2 là thể tích vật thể trịn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường 
 y = x
3
, x = 0, x = -1 và trục Ox: 
 Cĩ V2 =
0
3 2
1
( )x dx

 = 
1
7
 
 Vậy thể tích V cần tính là: V = 1 2V V = 
2
35
 (đvtt) 
Chú ý: Khi tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nĩ quay quanh 
trục Ox, học sinh cĩ thể ngộ nhận và dùng cơng thức 2( ( ) ( ))
b
a
V f x g x dx  dẫn đến kết quả sai KQs : 
V = 
1
105
 đvtt. 
 Các bài tập tự luyện: 
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và trục hoành. 
KQ: S = 
3
32
 đvdt 
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 0, sin , 0,
2
y y x x x

     
KQ: S = 1 đvdt 
3)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x2 và y = – x – 2 . 
KQ: S = 
2
9
 đvdt 
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5x
4
 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3] 
 KQs: S = 200 đvdt 
5) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay 
 quanh trục Ox: 
a) (P): y 
2
 = 8x và x = 2 KQ: 16 đvtt 
b) y = x
2
 và y = 3x KQ: 
5
162
 đvtt 
c) y = sin
2
x
; y = 0; x = 0; x =
4

 KQ: 
2 2
8
 
 đvtt 
6) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 20, 1, 0, 1y y x x x     . Tính thể tích vật thể được tạo nên 
bởi hình (H) khi quay quanh trục ox. 
7) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 20, 2, 0, 1y y x x x     . Tính thể tích vật thể được tạo nên 
bởi hình (H) khi quay quanh trục ox. 
8) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 3 2( ) : 3 3 9C y x x x    , 0, 0y x  . Tính thể tích vật thể 
được tạo nên bởi hình (H) khi quay quanh trục ox. 
9) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường 20, 2y y x x   . Tính thể tích vật thể được tạo nên bởi hình 
(H) khi quay quanh trục ox. 
 >> Truy cập trang  để học Tốn – Lý – Hĩa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8 
VI) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước cĩ liên quan đến tích phân: 
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1 
 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) 
Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = 
1x2x
1x3x3x
2
23


 , biết F(1) = 
3
1
 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=
2x
12x10x2
2


 và trục hoành Ox. 
 (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) 
Bài 3: Cho hàm số y = 
3
1
x
3
 – x2 (C). Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các 
đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox. 
(TNTHPT năm 2003 – 2004 ) 
Bài 4: Tính tích phân: I =  
2/
0
2 .cos).sin(

dxxxx (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) 
Bài 5: a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số : 
 y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1. 
 b. Tính tích phân: I =  
2/
0
2cos4
2sin

dx
x
x
 (TNTHPT năm 2005– 2006) 
Bài 6: Tính tích phân J = 
e
dx
x
x
1
2ln
. (TNTHPT năm 2006– 2007) 
Bài 7: Tính tích phân I 
1
2 3 4
1
(1 )x x dx

  (TNTHPT năm 2007– 2008) 
Bài 8: Tính tích phân I = 
0
(1 cos )x x dx

 (TNTHPT năm 2008– 2009) 
Bài 9: Tính tích phân I 
1
2 2
0
( 1)x x dx  (TNTHPT năm 2009– 2010) 
Bài 10: Tính các tích phân sau: 
1
4 5
e
lnx
I dx
x

  (TN 2010-2011); 
Bài 11: Tính các tích phân sau 
ln 2
2
0
( 1) ;x xI e e dx  (TN 2011-2012);