Chuyên đề Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán - Chuyên đề 3: Hình học tọa độ không gian - Nguyễn Hữu Biển

 1 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC 
CHUYÊN ĐỀ 3: HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 
Nội dung 1: LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 
1. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TỌA ĐỘ VEC - TƠ 
Cho ( ) ( )v x; y;z , v ' x '; y '; z '= =
 
 
(1). Hai vec tơ cùng phương: v
 cùng phương với v '
 x y z
x ' y ' z '
⇔ = = (trong đó v ' 0≠
 
 ) 
(2). Hai vec-tơ bằng nhau: 
x x '
v v ' y y '
z z '
=

= ⇔ =

=

 

(Hai vec-tơ bằng nhau là 2 vec-tơ có cùng phương, cùng chiều và cùng độ dài) 
(3). Tổng 2 vec-tơ: ( )v v ' x x '; y y '; z z '± = ± ± ±
 
 
(4). Nhân vec-tơ với một số: ( )k.v kx;ky;kz=
 
(5). Độ dài vec-tơ: 2 2 2v x y z= + +
 
(6). Nhân 2 vec-tơ: v.v ' xx ' yy ' zz '= + +
 
 
(7). Hai vec-tơ vuông góc: v v ' v.v ' 0⊥ ⇔ =
 
 
 
 
(8). Góc giữa 2 vec-tơ: ( ) v.v 'cos v; v '
v . v '
=

 


 


 
 
(9). Tích có hướng của 2 vec-tơ: 
( )y z z x x yv; v ' ; ; yz ' zy '; zx ' xz '; xy ' yx '
y ' z ' z ' x ' x ' y '
 
  = = − − −  
 

 

* Chú ý: 
(+) v; v ' v; v; v ' v '   ⊥ ⊥   

 
 
 
 
 

(+) ( )v;v ' v . v ' .sin v; v '  = 
 
 
 
 
 
 
(+) v
 cùng phương với v ' v;v ' 0 ⇔ = 

 
 
 

 (+) 3 vec tơ a;b;c
 
 
 đồng phẳng ⇔ tích hỗn tạp a;b .c 0  = 

 
 

2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM 
Cho ( ) ( ) ( ) ( )A A A B B B C C C D D DA x ; y ;z ;B x ; y ;z ;C x ; y ;z ;D x ; y ;x 
(1). ( )B A B A B AAB x x ; y y ;z z= − − −
 
(2). ( ) ( ) ( )2 2 2B A B A B AAB x x y y z z AB= − + − + − =


(3). I là trung điểm AB A B A B A Bx x y y z zI ; ;
2 2 2
+ + + 
⇒  
 
(4). Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB;AC 0 ⇔ = 

 
 

(5). Ba điểm A, B, C không thẳng hàng AB;AC 0 ⇔ ≠ 

 
 

][ ;v'v
v'
v
 2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC 
(6). ABC 1S AB;AC2∆  =  

 

(7).  ( ) AB.ACcos A c AB;AC
AB . AC
os= =

 


 


 
 
* Chú ý: Nếu A nhọn c A 0os⇔ 
(8). G là trọng tâm A B C A B C A B Cx x x y y y z z zABC G ; ;
3 3 3
+ + + + + + ∆ ⇒  
 
* Chú ý: Với điểm M tùy ý trong không gian ta luôn có MA MB MC 3.MG+ + =
 
 
 
 
(9). Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng AB;AC .AD 0 ⇔ = 

 
 

D
C
B
A
(10). Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng AB;AC .AD 0 ⇔ ≠ 

 
 

(11). Thể tích tứ diện ABCD ABCD 1V . AB;AC .AD6  =  

 
 

D
C
B
A
(12). Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD 
A B C D A B C D A B C Dx x x x y y y y z z z zG ; ;
4 4 4
+ + + + + + + + + 
⇒  
 
* Chú ý: 
- Với điểm M tùy ý trong không gian ta luôn có MA MB MC MD 4.MG+ + + =
 
 
 
 
 
- Thể tích của lăng trụ ABCD.A'B'C'D'V AB;AC .AD =  

 
 

D' C'
B'
A'
D
C
B
A
3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
(1). Vec-tơ chỉ phương của mặt phẳng là vec-tơ khác 0
 nằm trong mặt phẳng đó hoặc 
nằm trên đường thẳng song song với mặt phẳng đó. 
C
B
A
 3 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC 
(2). Vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là vec-tơ khác 0
 nằm trên đường thẳng vuông góc 
với mặt phẳng đó (ký hiệu là n
 ) 
* Chú ý: Nếu ta lấy một cặp vec-tơ chỉ phương của mặt phẳng (cặp vec-tơ này không 
được cùng phương - tức là không cùng nằm trên 1 đường thẳng hoặc 2 đường thẳng song 
song) sau đó nhân có hướng 2 vec-tơ đó với nhau thì ta sẽ được 1 vec-tơ pháp tuyến của 
mặt phẳng ấy. 
(3). Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng: 
2 2 2By Cz D 0, A B C 0Ax + + + = + + > 
* Chú ý: 
- Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là 2 2 2By Cz D 0, A B C 0Ax + + + = + + > thì 
mặt phẳng (P) có vec-tơ pháp tuyến là ( )n A;B;C=
 
- Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z 0= , vec-tơ pháp tuyến là ( )n 0;0;1=
 
- Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là y 0= , vec-tơ pháp tuyến là ( )n 0;1;0=
 
- Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là x 0= , vec-tơ pháp tuyến là ( )n 1;0;0=
 
(4). Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng 
Xét 2 mặt phẳng 1 1 1 1 2 2 2 2B y C z D 0, (Q) : B y C z D 0(P):A x A x+ + + = + + + = 
- Mặt phẳng 1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D(P) / /(Q)
A B C D
⇔ = = ≠ 
- Mặt phẳng 1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D(P) (Q)
A B C D
≡ ⇔ = = = 
- Mặt phẳng (P) cắt (Q) 1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
⇔ ≠ ≠ ≠ 
- Mặt phẳng P Q 1 2 1 2 1 2(P) (Q) n .n 0 A A B B C C 0⊥ ⇔ = ⇔ + + =

 

(5). Công thức viết phương trình mặt phẳng 
- Mặt phẳng (P) đi qua điểm ( )0 0 0M x ; y ;z và có vec-tơ pháp tuyến là ( )n A;B;C=
 có 
phương trình là ( ) ( ) ( )0 0 0A x x B y y C z z 0− + − + − = 
- Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm lần lượt nằm trên 3 trục tọa độ: 
( ) ( ) ( )A a;0;0 , B 0;b;0 ;C 0;0;c có phương trình là x y z 1,a.b.c 0
a b c
+ + = ≠ (trong trường hợp 
này mặt phẳng (P) cắt cả 3 trục tọa độ nên gọi là mặt phẳng theo đoạn chắn) 
(6). Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng 
Xét mặt phẳng ( )0 0 0By Cz D 0, M x ; y ;z(P):Ax + + + = , khi đó khoảng cách từ điểm M đến 
mặt phẳng (P) là ( ) 0 0 0
2 2 2
By Cz D
d M;(P)
A B C
Ax + + +
=
+ +
* Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) / /(Q) thì : 
( ) ( ) ( )d (P); (Q) d M;(Q) d N;(P) , M (P), N (Q)= = ∀ ∈ ∀ ∈ 
 4 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC 
(7). Góc giữa hai mặt phẳng 
Xét 2 mặt phẳng 1 1 1 1 2 2 2 2B y C z D 0, (Q) : B y C z D 0(P):A x A x+ + + = + + + = , khi đó góc giữa 
2 mặt phẳng (P) và (Q) là α được xác định bởi công thức sau: 
P Q
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
P Q 1 1 1 2 2 2
n .n A A B B C C
c
n . n A B C . A B C
os
+ +
α = =
+ + + +

 


 
 , α là góc nhọn. 
4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
(1). Vec-tơ chỉ phương của đường thẳng là vec-tơ nằm trên đường thẳng hoặc nằm trên 
đường thẳng khác song song với đường thẳng đó, ký hiệu là U
 
(2). Công thức viết phương trình đường thẳng 
Đường thẳng (d) đi qua điểm ( )0 0 0M x ; y ;z và có vec-tơ chỉ phương là ( )U a;b=
 có 
phương trình là: 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +

= +

= +
 ( t R∈ ) (PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ) hoặc dạng sau: 
0 0 0x x y y z z
,a.b.c 0
a b c
− − −
= = ≠ (PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC) 
* Chú ý: 
- Trục Ox có vec-tơ chỉ phương là ( )U 1;0;0=
 
- Trục Oy có vec-tơ chỉ phương là ( )U 0;1;0=
 
- Trục Oz có vec-tơ chỉ phương là ( )U 0;0;1=
 
- Nếu gọi M là điểm bất kỳ trên đường thẳng (d) ( )0 0 0M x at; y bt;z ct⇒ + + + 
(3). Công thức về góc 
- Góc giữa 2 đường thẳng ( )1d và ( )2d là ( ) 1 21 2
1 2
U .U
cos d ;d
U . U
=

 


 
 
- Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là ( ) Pd
Pd
U .n
sin d;(P)
U . n
=

 


 
 
(4). Vị trí tương đối của 2 đường thẳng 
Xét đường thẳng 1d đi qua điểm 1M có vec-tơ chỉ phương là 1U


, đường thẳng 2d đi qua 
điểm 2M có vec-tơ chỉ phương là 2U


- Nếu 
1 2
1 2 1 2
U ;U 0
U ;U .M M 0
  ≠ 

  = 

 
 


 
 
 thì 1d cắt 2d 
- Nếu 
1 2
1 2 1 2
U ;U 0
U ;U .M M 0
  ≠ 

  ≠ 

 
 


 
 
 thì 1d và 2d chéo nhau 
- Nếu 
1 2
1 1 2
U ;U 0
U ;M M 0
  = 

  ≠ 

 
 


 
 thì 1 2d / /d 
 5 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC 
- Nếu 
1 2
1 1 2
U ;U 0
U ;M M 0
  = 

  = 

 
 


 
 thì 1d trùng với 2d 
* Chú ý: 
- Nếu 1 2 1 2U ;U .M M 0  = 

 
 

 thì 1d và 2d đồng phẳng. 
- Khi 1d cắt 2d , giải hệ phương trình gồm 2 đường thẳng này ta tìm được tọa độ 
giao điểm của chúng. 
(5). Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 
Xét đường thẳng d đi qua điểm M, có vec-tơ chỉ phương là U


, mặt phẳng (P) có 
vec-tơ pháp tuyến là n


. Khi đó để xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng 
(P) ta thực hiện bởi một trong hai cách sau: 
* Cách 1: Xét hệ phương trình d(P) (I)



- Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất thì d cắt (P) 
- Nếu hệ (I) vô nghiệm thì d // (P) 
- Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì d nằm trong mặt phẳng (P) 
* Cách 2: 
- Nếu n.U 0≠

 

 thì d cắt (P) 
- Nếu n.U 0
M (P)
 =

∉

 

 thì d // (P) 
- Nếu n.U 0
M (P)
 =

∈

 

 thì d nằm trong (P) 
Đặc biệt: Nếu d (P) U k.n⊥ ⇒ = ⇒

 

 vec-tơ chỉ phương của đường thẳng d cũng là vec-tơ 
pháp tuyến của mặt phẳng (P) và ngược lại. 
(6). Khoảng cách 
(6.1). Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm M và 
có vec-tơ chỉ phương là U


. Khi đó khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d được tính 
theo công thức: ( ) AM;Ud A;d
U
 
 
=

 


 
* Chú ý: 
+ Có thể tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d bằng cách gọi H là hình chiếu 
vuông góc của A trên d ( )d A;d AH⇒ = . (cách làm này sẽ được cụ thể hóa bằng trong 
phần bài tập). 
+ Nếu 1 2d / /d thì ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2d d ;d d M;d d N;d , M d , N d= = ∀ ∈ ∀ ∈ 
(6.2). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 
 6 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC 
Xét đường thẳng 1d đi qua điểm 1M có vec-tơ chỉ phương là 1U


, đường thẳng 2d đi qua 
điểm 2M có vec-tơ chỉ phương là 2U


. Khi đó khoảng cách giữa 2 đường thẳng 1d và 2d 
được tính theo công thức ( ) 1 2 1 21 2
1 2
U ; U .M M
d d ;d
U ;U
 
 
=
 
 

 
 


 
 
* Chú ý: Có thể tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông 
góc chung, cách làm này sẽ được cụ thể hóa trong phần bài tập. 
(6.3). Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d // (P). 
( ) ( )d d;(P) d M;(P) , M d= ∀ ∈ 
5. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 
(1). Định nghĩa: 
- Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi. 
- Điểm I cố định gọi là tâm mặt cầu. 
- Khoảng cách khôi đổi là R, gọi là bán kính của mặt cầu. 
M
(S)
I
R
(2). Phương trình mặt cầu 
Mặt cầu (S) có tâm ( )I a;b;c và bán kính R, khi đó (S) có phương trình là: 
( ) ( ) ( )2 2 2 2x a y b z c R− + − + − = 
* Chú ý: Nếu phương trình 2 2 2(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0+ + − − − + = thì ( )I a;b;c và bán 
kính mặt cầu được tính theo công thức ( )2 2 2 2 2 2R a b c d, a b c d 0= + + − + + − > 
(3). Vị trí tương đối của 1 điểm với mặt cầu 
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và 1 điểm A, khi đó: 
- Nếu IA > R thì A nằm ngoài mặt cầu (S) 
- Nếu IA = R thì A nằm trên mặt cầu (S) 
- Nếu IA < R thì A nằm trong mặt cầu (S) 
(4). Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu 
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng d, khi đó: 
- Nếu ( )d I,d R> thì đường thẳng d không cắt mặt cầu (S) 
- Nếu ( )d I,d R= thì đường thẳng d là tiếp tuyến của mặt cầu (S) 
- Nếu ( )d I,d R< thì đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt. 
(5). Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu 
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P), khi đó: 
 7 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 
TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC 
- Nếu ( )d I, (P) R> thì mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S) 
- Nếu ( )d I, (P) R= thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) 
- Nếu ( )d I, (P) R< thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là 1 đường 
tròn có bán kính là ( ) 22r R d I;(P) = −   
r
OM
(S)
P
I
R
(6). Công thức diện tích và thể tích mặt cầu 
- Diện tích mặt cầu 2S 4 R= pi 
- Thể tích mặt cầu 34V R
3
= pi 
Tài liệu biên soạn có thể đôi chỗ sai sót - rất mong được góp ý chân thành ! 
Thầy giáo: NGUYỄN HỮU BIỂN