Chuyên đề Lượng giác

Mục lục
1 Góc lượng giác và các biến đổi lượng giác 3
1 Góc lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Giá trị lượng giác của 1 góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Các công thức biến đổi lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Chứng minh các đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Phương trình lượng giác 6
1 Hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Các hàm số lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1 Hàm số sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Hàm số tanx và cotx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Phương trình sinx = m và cosx = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Phương trình tanx = m và cotx = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1 Phương trình đa thức của 1 hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Phương trình thuần nhất sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Phương trình bậc nhất với sinx và cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 Phương trình đối xứng với 2 hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1 Sử dụng công thức biến đổi tồng thành tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Sử dụng công thức hạ bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.4 Sử dụng hằng đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.5 Sử dụng cung liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.6 Đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Giải biện luận phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.1 Đưa về phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.2 Đưa về phương trình bậc nhất với sinx, cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.3 Úng dụng của phương trình bậc nhất với sinx, cosx . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
L
ê
L
a
n
C
h
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chán quá không có việc j làm nên mới viết tl này để giết thời gian ấy mà. Vì chán
nên viết lủng củng lắm còn nhiều chỗ chưa hợp lí nên ai đọc rồi thì cho ý kiến nha,
khi nào rảnh tui sẽ cập nhật lại
2
L
ê
L
a
n
C
h
i
Chương 1
Góc lượng giác và các biến đổi
lượng giác
1 Góc lượng giác
Định nghĩa 1. Cho 2 tia chung gốc Ox,Oy hợp thành 1 góc hình học x̂Oy =
α (0 ≤ α ≤ pi) và tia Om. Góc quay sinh ra khi cho tia Om quay từ vị trí trùng tia
Ox tới vị trí trùng tia Oy theo 1 chiều nhất định gọi là góc định hướng giữa 2 tia
Ox,Oy hay là góc lượng giác giữa 2 tia Ox,Oy. Và kí hiệu là (Ox,Oy)
Quy ước chiều quay ngược kim đồng hồ sẽ là chiều dương. Vậy, nếu Om quay
theo chiều ngược kim đông hồ thì số đo (Ox,Oy) sẽ mang giá trị dương và ngược
lại số đo (Ox,Oy) sẽ mang giá trị âm.
Khi tia Om quay đến vị trị của tia Oy thì nó có thể dừng lại hoặc quay thêm
một số nguyên lần vòng quay nữa. Điều này cho thấy số đo của các góc lượng giác
(Ox,Oy) hơn kém nhau k2pi. Tức là nếu cho góc lượng giác (Ox,Oy) bất kỳ thì
sđ (Ox,Oy) = α + k2pi, k ∈ Z
Tính chất 1 (Hệ thức chasles). Cho 2 góc lượng giác (Ox,Oy) và (Oy,Oz) bất
kì thì
sđ (Ox,Oz) = sđ (Ox,Oy) + sđ (Oy,Oz) + 2kpi, k ∈ Z
2 Giá trị lượng giác của 1 góc
Định nghĩa 2. Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (O, 1). Lấy điểm
M(a, b) bất kì nằm trên (O). Ta gọi a, b tương ứng là giá trị lượng giác sin và cosin
của góc lượng giác (Ox,Om). Kí hiệu là
sin(Ox,OM) = a, cos(Ox,OM) = b
3
L
ê
L
a
n
C
h
i
Trong trường hơp b 6= 0 hoặc a 6= 0 ta có tương ứng các tỷ số a
b
và
b
a
gọi là các giá
trị tan và cotan của góc (Ox,OM). Và được kí hiệu
tan(Ox,OM) =
a
b
, cot(Ox,OM) =
b
a
3 Các công thức biến đổi lượng giác
Tính chất 2 (Tính chất đơn giản suy ra từ định nghĩa).
1. sin2 α + cos2 α = 1, tanα cotα = 1,
2. Mối liên hệ giũa các cung góc đặc biệt (cung liên kết)
−α pi − α pi
2
− α pi
2
+ α
sin sinα cosα cosα cosα
cos − cosα − sinα sinα − sinα
tan − tanα − cotα cotα − cotα
cot − cotα − tanα tanα − tanα
Tính chất 3 (Các công thức cộng).
1. sin(α + β) = sinα cos β + sin β cosα
2. sin(α− β) = sinα cos β − sin β cosα
3. cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β
4. cos(α− β) = cosα cos β + sinα sin β
5. tan(α± β) = tanα± tan β
1∓ tanα tan β
Tính chất 4 (Các công thức nhân đôi).
1. sin 2α = 2 sinα cosα
Nếu cosα 6= 0 thì sin 2α = 2 tanα
1 + tan2 α
2. cos 2α = 2 cos2 α− 1 = 1− 2 sin2 α = cos2 α− sin2 α
Nếu cosα 6= 0 thì cos 2α = 1− tan
2 α
1 + tan2 α
3. tan 2α =
2 tanα
1− tan2 α ( cos 2α, cosα 6= 0 )
4. sin 3α = 4 sin3 α + 3 sinα
5. cos 3α = 4 cos3 α− 3 cosα
Tính chất 5 (Công thức biến đổi tổng thành tích).
4
L
ê
L
a
n
C
h
i
1. sinα + sin β = 2 sin
α + β
2
cos
α− β
2
2. sinα− sin β = 2 cos α + β
2
sin
α− β
2
3. cosα + cos β = 2 cos
α + β
2
cos
α− β
2
4. cosα− cos β = −2 sin α + β
2
sin
α− β
2
Tính chất 6 (Công thưc biến đổi tích thành tổng).
1. sinα cos β =
1
2
(
sin(α + β) + sin(α− β))
2. cosα cos β =
1
2
(
cos(α + β) + cos(α− β))
3. sinα sin β = −1
2
(
cos(α + β)− cos(α− β))
4 Chứng minh các đẳng thức lượng giác
Phương pháp.Để chứng minh 1 đẳng thức ta thường có 2 cách thông dụng là
biến đổi tương đương và biến đổi trực tiếp từ vế này thành vế kia. Đối với các đẳng
thức lượng giác cũng tương tự nhưng ta cần sử dụng các biến đổi cho phù hợp với
đẳng thức cần chứng minh.
Phần này mọi người tự lấy vd nha, dễ thui, chủ yếu là để hs ôn lại công thức
ấy mà. đừng cho khó quá
5
L
ê
L
a
n
C
h
i
Chương 2
Phương trình lượng giác
Tư tưởng chung để giải một phương trình là biến đổi nó về dạng tích hoặc sử
dụng các phương pháp đánh giá (bất đẳng thức, hàm số, vv....). Đối với phương
trình lượng giác cũng tương tự nhưng nó lại có phần phức tạp hơn. Bởi sự đa dạng
và phong phú trong các công thức biến đổi lượng giác và tính chất đặc biệt của
các hàm lượng giác cơ bản.
Để hiểu rõ hơn về dạng phương trình này, ta sẽ đi vào các phần sau
1 Hàm tuần hoàn
Định nghĩa 1. Cho f(x) là hàm số xác định trên D ⊂ R. Nếu có 1 số T > 0 thỏa
mãn f(x+ T ) = f(x) với mọi x ∈ D thì f(x) gọi là hàm tuần hoàn với chu kì T > 0
trên D.
Nếu có 1 số T0 > 0 nhỏ nhất là chu kì của hàm tuần hoàn f(x) thì T0 gọi là chu
kì cơ sở của hàm f(x)
Tính chất 1. Giả sử f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T trên D ⊆ R
1. Nếu x0 ∈ D thì x0 + nT ∈ D, x0 /∈ D thì x0 + nD với mọi n ∈ Z
2. Nếu f(x0) = a thì f(x0 + nT ) = a với mọi n ∈
Tính chất 2. Nếu f(x) là hàm tuần hoàn chu kì cơ sở T0 thì T = nT0, n ∈ N∗ là
chu kì của f(x)
Tính chất 3. Giả sử f(x) là hàm tuần hoàn trên D và T1, T2 là các chu kì của
f(x). Nếu
T1
T2
=
m
n
((m,n) = 1)) là số hữu tỉ thì các hàm số f(x) + g(x), f(x)− g(x)
và f(x)g(x) cũng là các hàm số tuần hoàn với chu kì T = mT1 = nT2
Chú ý 1. Mọi hàm tuần hoàn luôn có chu kì nhưng không hẳn có chu kì cơ sở. Ví
dụ như
• Hàm hằng f(x) = const là hàm tuần với chù kì T bất kì nhưng không có chu
kì cơ sở.
6
L
ê
L
a
n
C
h
i
• Và hàm Dirichlet f(x) =
1 nếu x ∈ Q0 nếu x ∈ R\Q là hàm tuần hoàn với chu kì hữu
tỷ T dương bất kì nhưng không có chu kì cơ sở.
Ví dụ 1. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau
a) f(x) = sin(ax+ b), g(x) = cos(ax+ b), h(x) = tan(ax+ b),
p(x) = cot(ax+ b) với a 6= 0
b) f(x) = cos x cos
3x
2
c) f(x) = cos x+ cos
√
2x
d) f(x) = sinx2
Giải
a) Xét f(x) = sin(ax+ b). Thấy rằng
sin(ax+ b) = sin(ax+ b+ 2pi sign a) = sin
[
a
(
x+
2pi
|a|
)
+ b
]
∀x ∈ R
⇔ f(x) = f(x+ 2pi|a|) ∀x ∈ R
Suy ta f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì T =
2pi
|a| .
Gia sử có số t ( 0 < t < 2pi) là số thỏa mãn sao cho f(x) = f(x+ t) với ∀x ∈ R. Chọn
x =
−2b+ pi
2a
thì f(
−2b+ pi
2a
) = 1 và f(
−2b+ pi
2a
+ t) = cos t < 1 (mâu thuẫn).
Vậy f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 =
2pi
|a|
Tương tự ta cũng có g(x) là hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 =
2pi
|a| , các hàm
h(x) và p(x) tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 =
pi
|a|
b) f(x) = cos x cos
3x
2
=
1
2
(
cos
x
2
+ cos
5x
2
)
Do cos
x
2
tuần hoàn với chu kì T1 = pi, cos
5x
2
tuần hoàn với chu kì T2 =
pi
5
và
T1
T2
= 5 ∈ Q nên f(x) tuần hoàn với chu kì T = pi.
Giả sử, có số t (0 < t < pi) thỏa mãn f(x) = f(x+ t) với ∀x ∈ R. Chọn x = 0 thì
f(0) = 1 và f(t) =
(
cos
t
2
+ cos
5t
2
)
< 1 (mâu thuẫn)
Vậy f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 = pi
c) Giả sử f(x) = cos x+ cos
√
2x là hàm số tuần hoàn với chu kì T > 0
Tại x = 0 có f(0) = f(T ) = cosT + cos
√
2T = 2
⇒ cosT = cos
√
2T = 1⇒ T = 2mpi =
√
2npi ⇒ m
n
=
√
2 /∈ Q (vô lí)
7
L
ê
L
a
n
C
h
i
Vậy f(x) không tuần hoàn
d) Tương tự câu c, có f(x) = sinx2 không tuần hoàn
Ví dụ 2. Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm f(x) có 2 trục đối xứng x = a, x = b
(a < b) thì f(x) là hàm số tuần hoàn
Giải
Vì f(x) nhận x = a, x = b làm trục đối xứng nên
f(x) = f(2a− x) = f(2b− (2a− x)) = f(x+ 2(b− a)) ∀x ∈ R
Suy ra f(x) tuần hoàn với chu kì T = 2(b− a)
2 Các hàm số lượng giác cơ bản
2.1 Hàm số sinx và cosx
Do các hàm số y = sinx và y = cosx là các hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở
T0 = 2pi. nên khi nghiên cứu ta chỉ cần xét chúng trên miền có độ lớn 1 chu kì là
đủ. Và tùy thuộc vào hàm đang xét ta chọn miền cho phù hợp.
1. Hàm y = sinx xác định trên R và là hàm số lẻ.
=⇒ đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ.
Xét trên [−pi
2
;
3pi
2
]. Ta thấy y = sinx đông biến trên đoạn [−pi
2
;
pi
2
] và nghịch
biến trên đoạn [
pi
2
;
3pi
2
]
=⇒ y = sinx đồng biến trên [−pi
2
+ 2kpi;
pi
2
+ 2kpi]
và nghịch biến trên [
pi
2
+ 2kpi;
3pi
2
+ 2kpi], với k ∈ Z
2. Hàm y = cosx xác định trên R và là hàm số chẵn
=⇒ đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy.
Xét trên [−pi; pi]. Ta thấy y = cos x đồng biến trên đoạn [0; pi] và nghịch biến
trên [−pi; 0]
=⇒ y = cosx đồng biến trên [2kpi; (2k+1)pi] và nghịch biến trên [(2k−1)pi; 2kpi],
với k ∈ Z
2.2 Hàm số tanx và cotx
Tương tự như trên ta có thể thành lập được tính chất của 2 hàm
1. Đều là các hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sỏ T0 = pi
2. Đều là các hàm số lẻ
3. Hàm y = tanx đồng biến trên
[
−pi
2
+ 2kpi;
pi
2
+ kpi
]
4. Hàm y = cotx nghịch biến trên [kpi; (k + 1)pi]
8
L
ê
L
a
n
C
h
i
3 Các phương trình lượng giác cơ bản
3.1 Phương trình sinx = m và cosx = m
Xét 2 phương trình cơ bản
sinx = m (1)
cosx = m (2)
Do −1 ≤ sinx ≤ 1, −1 ≤ cosx ≤ 1 nên
+ |m| > 1 phương trình (1) và (2) vô nghiệm
+ |m| ≤ 1 phương trình (1) và (2) có nghiệm.
Giả sử α, β tương ứng là nghiệm của (1) và (2). Từ tính chất của sin và cos thì
pi − α, −β cũng là các nghiệm của (1) và (2).
Vì sinx và cosx là các hàm tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 = 2pi. Do đó, nếu α, β
là các nghiệm của (1) và (2) thì α+ 2kpi và β + 2kpi tương ứng cũng là các nghiệm
của (1) và (2).
Tóm lại, khi (1) và (2) có nghiệm thì
(1) có nghiệm
x = α + 2kpi
pi − α + 2kpi
, trong đó α là nghiệm nào đó của (1)
(2) có nghiệm x = ±β + 2kpi, trong đó β là nghiệm nào đó của (2)
Chú ý 2. Các giá trị α+2kpi, pi−α+2kpi,±β+2kpi với k ∈ Z gọi là các họ nghiệm
của phương trình. Trong trường hợp m = 0 ∨ m = ±1 thì (1) và (2) chỉ có 1 họ
nghiệm.
Khi giải toán, tùy thuộc vào giá trị của m mà ta nên chọn các giá trị α, β nằm
trong các đoạn [0; 2pi], [−pi; pi] và [−pi
2
;
3pi
2
]
3.2 Phương trình tanx = m và cotx = m
Xét các phương trình
tanx = m (3)
cotx = m (4)
Vì các hàm số tanx và cotx nhận mọi giá trị thực nên (3) và (4) luôn có nghiệm
với ∀m ∈ R.
Xét trên các khoảng (−pi
2
;
pi
2
), (0;pi) có độ lớn bằng T0 = pi thì tanx đồng biến trên
(−pi
2
;
pi
2
) và cotx nghịch biến trên (0;pi) nên (3) và (4) chỉ có nghiệm duy nhất α
trên các khoảng tương ứng.
Dựa vào tính tuần hoàn của các hàm tanx và cotx thì (3) và (4) có duy nhất 1
họ nghiệm là x = α + kpi, k ∈ Z
9
L
ê
L
a
n
C
h
i
3.3 Một số ví dụ
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a) sin
(
2x− pi
6
)
=
√
3
2
b) cos
(
5x− pi
3
)
=
1
2
c) sin
(
7x− 5pi
6
)
+ cos
(
3x+
pi
3
)
= 0
d) tan
(
4x+
9pi
8
)
+ cot
(
2x− 3pi
4
)
= 0
Giải
a) sin
(
2x− pi
6
)
=
√
3
2
⇔
2x− pi6 = pi3 + 2kpi
2x− pi
6
=
2pi
3
+ 2kpi
⇔
x = pi4 + kpi
x =
5pi
12
+ kpi
b) cos
(
5x− pi
3
)
=
1
2
⇔
5x− pi3 = pi3 + 2kpi
5x− pi
3
= −pi
3
+ 2kpi
⇔
x = 2kpi3
x =
2pi
15
+
2kpi
5
c) sin
(
7x− 5pi
6
)
+ cos
(
3x+
pi
3
)
= 0
⇔ sin
(
7x− 5pi
6
)
= − cos
(
3x+
pi
3
)
= cos
(
3x+
pi
3
)
⇔ sin
(
7x− 5pi
6
)
= sin
(
7pi
6
− 3x
)
⇔
7x− 5pi6 = 7pi6 − 3x+ 2kpi
7x− 5pi
6
= pi − 7pi
6
+ 3x+ 2kpi
⇔
x = pi5 + kpi5
x =
pi
6
+ k
pi
2
d) tan
(
4x+
9pi
8
)
+ cot
(
2x− 3pi
4
)
= 0
⇔ tan
(
4x+
9pi
8
)
= − cot
(
2x− 3pi
4
)
= tan
(
2x+
5pi
4
)
⇔ 4x+ 9pi
8
= 2x+ 5
pi
4
+ kpi ⇔ x = pi
16
+
kpi
2
Ví dụ 4. Tìm nghiệm của các phương trình 4 cos2
(
x+
pi
3
)
= 3
Giải
4 cos2
(
2x+
pi
3
)
= 3⇔ cos2
(
2x+
pi
3
)
=
3
4
.
Tiếp theo ta sẽ có 2 cách giải
10
L
ê
L
a
n
C
h
i
Cách 1. Lấy căn 2 vế ta được
cos
(
x+
pi
3
)
=
√
3
2
cos
(
x+
pi
3
)
=
−√3
2
⇔

x =
−pi
6
+ 2kpi
x =
−pi
2
+ 2kpi
x =
pi
2
+ 2kpi
x =
−7pi
6
+ 2kpi
Cách 2. Dùng công thức hạ bậc được cos
(
2x+
2pi
3
)
=
1
2
⇔ 2x+ 2pi
3
= ±pi
3
+ 2kpi ⇔
 x = −pi6 + kpi
x =
−pi
2
+ kpi
Nhận xét.Cách giải 1 có vẻ dài hơn nó cho ta 4 họ nghiệm nhưng nếu ta khéo léo
kết hợp chúng lại (sử dụng đường tròn lượng giác) thì ta sẽ được kết quả giống cách
2. Vậy từ nay, nếu gặp những phương trình dạng “ sin2(ax+b), cos2(ax+b) = m > 0”
thì nên hạ bậc để việc tìm nghiệm dễ dàng hơn
4 Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp
4.1 Phương trình đa thức của 1 hàm số lượng giác
Định nghĩa 2. Xét phương trình f(t) = 0 trong đó f(t) là đa thức . Nếu ta thay t
thành một hàm số lượng giác nào đó: sinαx, cosαx, tanαx, sinαx + cosαx, ... thì ta
sẽ được 1 phương trình đa thức của hàm số lượng giác tương ứng.
Ví dụ như sin2 x+sinx+1 = 0, (sinx+cos x)3− (sinx+cosx)+1 = 0, ... là các phương
trình đa thức bậc 2, bậc 3 của các hàm tương ứng sinx và sinx+ cosx
Phương pháp.Cách giải chung cho phương trình dạng này là ta đi tìm nghiệm
của hàm f(t). Sau đó thế hàm lượng giác tương ứng với t để giải tiếp
4.2 Phương trình thuần nhất sinx và cosx
Định nghĩa 3. Hàm F (u, v) gọi là hàm thuần nhất bậc k ∈ N∗ với 2 biến u, v nếu
với mọi t ∈ R ta đều có F (tu, tv) = tkF (u, v).
Định nghĩa 4. Phương trinh F (sinx, cosx) = 0 gọi là phương trình thuần nhất với
sinx và cosx nếu F (u, v) (với u = sinx, v = cosx)là đa thức thuần nhất.
Nhận thấy, nếu F (u, v) là đa thức thuần nhất thì mọi hạng tử dạng upvq của đa
thức đều có cùng bậc (tức p+ q = k). Do đó, để hiểu thêm về phương trình thuần
nhất với sinx và cosx ta cần có chú ý sau về bậc.
Chú ý 3. Với m,n ∈ N và m ≥ n, ta có
• sinm x và cosm x có bậc m
11
L
ê
L
a
n
C
h
i
• sinm x cosn x có bậc m+ n
• sinm x± cosn x có bậc m
• 1 = sin2 x + cos2 x = (sin2 x + cos2 x)2 = (sin2 x + cos2 x)4 = . . . có bậc 2, 4, 6, . . .
Do đó, sinm x, cosm x có bậc m+ 2,m+ 4,m+ 6, . . .
Phương pháp.Để giải phương trình thuần nhất bậc k với sinx và cosx ta làm
như sau
• Xét cosx = 0
• Xét cosx 6= 0. Chia cả tử và mẫu cho cosk x. Khi đó phương trình đưa về dạng
f(tanx) = 0. Ở đây f(t) là đa thức bậc k
Ví dụ 5. Giải phương trình sau sin3 x− cos3 x− 3 sin2 x cosx+ 3 sinx cos2 x = 0
Giải
+ Với cosx = 0⇔ x = pi
2
+ kpi
+ Với cosx 6= 0, chia cả tử và mẫu cho cos3 x được
tan3 x− 3 tan2 x+ 3 tanx− 1 = 0⇔ tanx = 1⇔ x = pi
4
+ kpi, k ∈ Z
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm
4.3 Phương trình bậc nhất với sinx và cosx
Định nghĩa 5. Phương trình bâc nhất với sinx và cosx là hương trinh có dạng
a cosx+ b sinx = m (a2 + b2 > 0) (∗)
Phương pháp.Có nhiều cách giải phương trình (∗) nhưng có 2 cách phổ biến sau
Cách 1. Ta biến đổi (∗) về dạng sau
a√
a2 + b2
cosx+
b√
a2 + b2
sinx =
m√
a2 + b2
Nhận thấy luôn tim được số α và β sao cho
a√
a2 + b2
= cosα,
b√
a2 + b2
= sinα và
a√
a2 + b2
= sin β,
b√
a2 + b2
= cos β. Khi đó (∗) tương đương với 1 trong 2 phương
trình sau.
cosα cosx+ sinα sinx =
m√
a2 + b2
sin β cosx+ cos β sinx =
m√
a2 + b2
⇔

cos(x− α) = m√
a2 + b2
(1)
sin(x+ β) =
m√
a2 + b2
(2)
Vậy (∗) có nghiệm khi và chỉ khi (1) hay (2) phải có nghiệm. Điều này tương đương
với |m| ≤
√
a2 + b2. Ngược lại (∗) vô nghiệm.
Cách 2. Sử dụng công thức nhân đôi thì
12
L
ê
L
a
n
C
h
i
(∗)⇔ a sin x
2
cos
x
2
+ b(1− 2 sin2 x
2
) = c⇔ 2b sin2 x
2
− a sin x
2
cos
x
2
− b+ c = 0.
Đây là phương trình thuần nhất bậc 2 với sin
x
2
và cos
x
2
nên ta dễ dàng giải tiếp.
Chú ý 4. Việc xây dựng như cách 1 trên không có gì là quá khó (làm nhiều sẽ
quen). Nó được áp dụng nhiều vào việc giải biện luận phương trình và tìm giá trị
nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sẽ được nhắc tới ở các phần sau.
4.4 Phương trình đối xứng với 2 hàm lượng giác
Định nghĩa 6. Phương trình F
(
u(x), v(x)
)
= 0 với u = u(x), v = v(x) là 2 hàm
lượng giác, gọi là phương trình đối xứng với u(x) và v(x)) nếu F (u, v) là hàm đối
xứng với 2 biến u, v (tức F (u, v) = F (v, u))
Phương pháp.Khi thực hành thì F (u, v) thường là một đa thức và (u(x), v(x))
thường là 2 cặp (sinx, cosx) và (tanx, cotx). Có 1 định lý (quên tên) chỉ ra rằng
mọi đa thúc đối xứng 2 biến đều biều diễn thông qua các đa thúc đối xứng cơ bản
là u + v và uv. Suy ra F (tanx, cotx) biểu diễn qua tanx + cotx (vì tanx cotx = 1);
F (sinx, cosx) biểu diễn qua sinx + cosx và sinx cosx. Nhưng từ hệ thức (sinx +
cosx)2 = 1 − 2 sinx cosx dân đến việc có thể biến đổi F (sinx, cosx) thành đa thức
của sinx+ cosx hoặc của sinx cosx
Ví dụ 6. Giải phương trình sin4 x+ cos4 x− sinx cosx = 0
Giải
Cách 1. Nhận thấy đây là phương trình đối xứng với sinx và cosx nên ta thử biến
đổi nó theo sinx cosx =
1
2
sin 2x.
Phương trình ⇔ (sin2 x+ cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x− sinx cosx = 0
⇔ −1
2
sin2 2x− 1
2
sin 2x+ 1 = 0⇔ (sin 2x− 1)(sin 2x+ 2) = 0
⇔
sin 2x = 1
sin 2x = −2 (loại)
⇔ x = pi
4
+ kpi, k ∈ Z
Cách 2. Theo chú ý 2 thì ta có thể coi phương trình trên là phương trình thuần
nhất bậc 4 với sinx và cosx.
Vì cosx = 0 không thỏa mãn phương trình nên ta chia cả 2 vế cho cos4 x thì phương
trình ⇔ tan4 x+ 1− tanx(1 + tan2 x) = 0⇔ (tanx− 1)(tan2 x+ tanx+ 1) = 0
⇔ tanx− 1 = 0⇔ tanx = 1⇔ x = pi
4
+ kpi, k ∈ Z
5 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác
5.1 Sử dụng công thức biến đổi tồng thành tích
Ví dụ 7. Giải các phuong trình sau
a) cosx+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x = 0
13
L
ê
L
a
n
C
h
i
b) sinx+ sin 2x+ sin 3x = cosx+ cos 2x+ cos 3x = 0
c)
sinx+ sin 2x+ sin 3x
cosx+ cos 2x+ cos 3x
=
√
3
Giải
a) cosx+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4x = 0⇔ cosx+ cos 3x+ cos 2x+ cos 4x = 0
⇔ 2 cos 2x cosx+ 2 cos 3x cosx = 0⇔ cosx(cos 2x+ cos 3x) = 0
⇔ 2 cosx cos x
2
cos
5x
2
= 0
⇔

cosx = 0
cos
x
2
= 0
cos
5x
2