Chuyên đề Khối đa diện - Bùi Văn Thanh

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
1 
CĐ - KHỐI ĐA DIỆN 
Vấn đề 1: Tính thể tích 
a. Lý thuyết 
 - Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V B.h 
 - Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là : 
1
V B.h
3
 
b. Một số ví dụ 
Phân tích: Để tính được thể tích trong mỗi bài toán cần xác định được chiều cao và diện 
tích đáy của khối chóp. 
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a. Biết SA  
(ABC) và SB hợp với đáy một góc 600. 
a) CMR các mặt bên là tam giác vuông. 
b) Tính thể tích hình chóp S.ABC. 
Bài giải: 
C
B
A
S
Phân tích: 
 - Đường cao của khối chóp : SA 
 - Đáy: Tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 
a) Ta có : SA  (ABC) SA  AB, SA  AC hay SAB, SAC vuông tại A. 
Ta có: BC SA;BC AB BC (SAB)    BCSB hay SBC vuông tại B. 
b) Ta có : ABCS = 
1
2
AB.BC = 
2a
4
AB là hình chiếu của SB trên (ABC) Góc giữa SB và (ABC) là SBA = 60 0 
Xét ABC: AB 2 + BC 2 = AC 2 = a 2 AB = BC = 
a
2
Xét SAB : SA = AB.tan60 0 = 
a 6
2
Ta có : SA  (ABC) V SABC = 
1
3
.SA. ABCS = 
3a 6
24
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
2 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA  (ABC) và 
(SBC) hợp với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích hình chóp S.ABC. 
Bài giải: 
C
M
B
A
S
Phân tích: 
 - Đường cao của khối chóp : SA 
 - Đáy: Tam giác ABC đều cạnh a. 
Gọi M là trung điểm của BC. Vì ABC đều AM  BC (1) 
Ta có: SA  (ABC) SA  BC (2) 
Từ (1), (2)  BC  (SAM) SM  BC (3) 
Từ (1), (3) Góc giữa (SBC) và (ABC) là SMA = 60 0 
Xét ABC : AM = 2 2
a 3
AB BM
2
  , ABCS = 
21 a 3
AM.BC
2 4
 
Xét 0
3a
SAM : SA AMtan60
2
   
Ta có: SA  (ABC)  
3
SABC ABC
1 a 3
V .SA.S
3 8
  
Ví dụ 3 (TN - 2009). Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh a, cạnh 
bên SA (ABC), biết BAC=120 0 . Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. 
Bài giải: 
A
S
C
B
Phân tích: 
 - Đường cao của khối chóp : SA 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
3 
 - Đáy: Tam giác ABC 
Ta có : SAB SAC AB AC    
Xét ABC : 2 2 2BC AB AC 2AB.AC.cosA  
a 3
AB AC
3
   
Xét SAB : 2 2
a 6
SA SB AB
3
   ; 
2
ABC
1 a 3
S AB.AC.sin A
2 12
   
Ta có: SA  (ABC) 
3
SABC ABC
1 a 2
V SA.S
3 36
  
Ví dụ 4 (TN - 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA 
 (ABCD) và (SBD) tạo với đáy một góc 60 0 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Bài giải: 
D
CB
S
A
O
Phân tích: 
 - Đường cao của khối chóp : SA 
 - Đáy: ABCD là hình vuông cạnh a. 
Gọi O = AC BD 
Ta có: BD SA;BD AC BD (SAC)    
Mà SO (SAC) BD SO   
BD (SBD) (ABCD)
SO BD,AO BD
    
 Góc giữa (SBD) và (ABCD) là  0SOA 60 
Xét SAO : 
a 6
SA OA.tanSOA
2
  
2 2
ABCDS AB a  
Ta có: SA  (ABCD) 3SABCD ABCD
1
V SA.S a 6
3
   
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC=60 0 . Biết SA 
 (ABCD) và khoảng cách từ A đến SC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Bài giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
4 
O
S
D
CB
A
H
Phân tích: 
 - Đường cao của khối chóp : SA 
 - Đáy: ABCD là hình thoi cạnh a, BAC = 60 0 . 
Gọi O AC BD  
Ta có: ABD đều, cạnh a 
a 3
AO ,BD a
2
   
Xét SAC : AC 2AO a 3  . 
Dựng AH SC AH a   
Ta có : 
2 2 2
1 1 1 a 6
SA
SA AC AH 2
    
2
ABCD
1 a 3
S .AC.BD
2 2
  
Ta có: SA  (ABCD) 
3
S.ABCD ABCD
1 a 2
V .SA.S
3 4
   . 
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, 
AD = 2a. Biết SA  (ABCD) và (SCD) tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp 
S.ABCD theo a. 
Bài giải: 
I
S
B
A
C
D
Phân tích: 
 - Đường cao của khối chóp : SA 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
5 
 - Đáy: ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a. 
Gọi I là trung điểm AD AI ID a   
Tứ giác ABCI là hình vuông 
1
IC a AD
2
   
ACD vuông tại C hay AC CD 
Mà SA CD CD (SAC)   CD SC  
CD (SCD) (ABCD)
SC CD,AC CD
    
 Góc giữa (SCD) và (ABCD) là  0SCA 60 
Xét ABC: 2 2AC AB BC a 2   
Xét 0SAC:SA ACtan60 a 6   
2
ABCD
1 3a
S AB(AD BC)
2 2
   
Ta có: SA  (ABCD) 
3
S.ABCD ABCD
1 a 6
V SA.S
3 2
   
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với BC = CD = DA = a, AB 
= 2a. Biết SA  (ABCD) và SC tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
theo a. 
Bài giải: 
HI
D C
BA
S
Phân tích: 
 - Đường cao của khối chóp : SA 
 - Đáy: ABCD là hình thang cân với BC = CD = DA = a, AB = 2a. 
Gọi I là trung điểm AB 
Ta có : IA = DC, IA // DC AICD là hình thoi 
 IC = IB = IA = a hay BCA vuông tại C 
Xét ACB: 2 2AC AB BC a 3   
Ta có AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  Góc giữa SC và (ABCD) là  0SCA 60 
Xét SAC:SA AC.tanSCA 3a   
Dựng CH  AB. Xét 
2 2 2
1 1 1 a 3
ACB: CH
CH AC CB 2
     
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
6 
2
ABCD
1 3a 3
S (DC AB).CH
2 4
   
Ta có: SA  (ABCD) 
3
S.ABCD ABCD
1 3a 3
V SA.S
3 4
   
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết mặt bên (SAB) là 
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) 
a) Chứng minh rằng chân đường cao của hình chóp trùng với trung điểm của AB 
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Bài giải: 
H
C
S
A D
B
a) Gọi H là trung điểm AB. Ta có SAB đều SH AB  
Mà AB (SAB) (ABCD);(SAB) (ABCD) SH (ABCD)     
b) SAB đều cạnh a 
a 3
SH
2
  
Ta có 
3
2 2
ABCD SABCD ABCD
1 a 3
S AB a ,V SH.S
3 6
    
Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại 
D, (ABC)  (BCD) và AD hợp với (BCD) môt góc 60 0 . Tính thể tích tứ diện ABCD biết 
AD = a. 
Bài giải: 
A
D
C
B
H
Gọi H là trung điểm BC; ABC đều AH BC AH (BCD)    
HD là hình chiếu của AD trên (BCD)Góc giữa AD với (BCD) là  0ADH 60 
Xét AHD: 0 0
a 3 a
AH ADsin60 ,HD ADcos60
2 2
    
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
7 
Xét BDC: BC 2HD a   
2 3
BCD ABCD BCD
1 a 1 a 3
S DH.BC ,V AH.S
2 4 3 24
    
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại, BC = a. Biết (SAC) 
 (ABC), các mặt bên hợp với đáy một góc 45 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
Bài giải: 
A
S
C
J
B
I
H
Xét 2 2ABC,AC AB BC a 2    . Dựng SH AC(H AC) SH (ABC)    
 0HI AB(I AB) SIH 45    ;  0HJ BC(J BC) SJH 45    
SHI SHJ HI HJ    
BIHJ là hình vuông BH là phân giác góc B 
Mà ABC vuông cân tại B
1 a 2
BH AC
2 2
   
Xét 
2
2 2 2 a aBJH,HJ BJ,BJ HJ BH HJ BJ
2 2
        
Xét 0
a
SHJ :SH HJ.tan 45
2
   
Ta có: 
2 3
2
ABC SABC ABC
1 a 1 a
S AB ,V SH.S
2 2 3 12
    
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB vuông cân 
tại S, SA = SB = a, (SAB)  (ABCD). Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) 
bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD 
Bài giải: 
D
S
I
H
B C
A
(SAB) (ABCD) theo giao tuyến AB 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
8 
Gọi H là trung điểm ABSH  AB (SAB cân)SH (ABCD) 
Ta có: 
a 2
SH ,AB a 2
2
  . Dựng HI  AC  AC (SHI) 
  0((SAC,(ABCD)) SIH 60  . Xét SHI : 
SH a
HI
6tanSIH
  . 
Ta có : HIA ~ 
HI IA HI.AB
CBA BC a 2
BC AB IA
      
2
2
ABCD SABCD ABCD
1 a
S AB.BC a 2,V SH.S
3 3
    
Ví dụ 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC=4a, 
(SAB)  (ABCD). Hai mặt bên (SBC), (SAD) cùng hợp với (ABCD) một góc 30 0 . Tính thể 
tích khối chóp S.ABCD . 
Bài giải: 
A
B C
D
H
S
Ta có: (SAB)  (ABCD) theo giao tuyến AB. 
Trong (SAB) dựng SH  AB SH  (ABCD) 
Ta có  0 0((SBC),(ABCD)) SBA 30 ,((SAD,(ABCD)) SAB 30    
SAB cân tại S HA = HB = a 
Xét 
SH a
SHB,tanSAH SH
HA 3
    
3
2
ABCD SABCD ABCD
1 8a 3
S AB.BC 8a ,V SA.S
3 9
    
Ví dụ 13. (TN - 2014) : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và 
SC = 2 5 a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Góc 
giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
Bài giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
9 
B
C
A
S
M
CM là hình chiếu của SC trên (ABC)   0(SC,(ABC)) SCM 60   
Xét SMC :  SM SC.sinSCM a 15,CM SC.cosSCM a 5    
Đặt AC = AB = x 
x
AM
2
  
Xét CAM : 2 2 2AC AM CM x 2a    
3
S.ABC
1 2a 15
V SM.AC.AB
6 3
   
Ví dụ 14 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAB) vuông góc 
với đáy, SA = SB, SC tạo với đáy một góc 45 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. 
Bài giải: 
I
D
CB
A
S
Gọi I là trung điểm AB. SAB cân tại S SI AB  
Mà (SAB)  (ABCD) theo giao tuyến AB SI (ABCD)  
IC là hình chiếu của SC trên (ABCD)   0(SC,(ABCD) SCI 45   
Xét IBC : 2 2
a 5
IC IB BC
2
   
SIC vuông cân tại I 
3
SABCD ABCD
a 5 1 a 5
SI IC V SI.S
2 3 6
      
Ví dụ 15(CĐ - 2012): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA = 
SB = SC, AB = a 2 . Góc giữa SA và đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 
Bài giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
10 
H C
A
B
S
Gọi H là trung điểm của BC SH BC  (1) 
SHA SHB SHC(c.c.c) SH AH     (2). Từ (1) và (2) SH (ABC)  
AH là hình chiếu của SA trên (ABC)   0(SA,(ABC)) SAH 60   
Xét 
1
ABC,AH BC a
2
   . Xét SHA,SH AH.tanSAH a 3   
3
SABC ABC
1 a 3
V SH.S
3 3
   
Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, với BC là 
đáy nhỏ, H là trung điểm AB, SA=2a, SC = a 5 . Biết SAB đều nằm trong mặt phẳng 
vuông góc với đáy và khoảng cách từ D đến (SHC) bằng 2 2 a. Tính thể tích khối chóp 
S.ABCD. 
Bài giải: 
H
S
DE
CB
A
Ta có: 2 2 2 2SH SA HA a 3,HC SC SH a 2      
2 2 0BC HC BH a,AE BC a,HEA 45 ,CE 2a 2 d(D,(SHC)) DC 2a 2         
DCE vuông cân tại C, 2 2DE DC CE 4a AD DE AE 3a       
3
SABCD ABCD
1 1 4a 3
V .SH.S .SH.AB(BC AD)
3 6 3
    
Ví dụ 17. (ĐH – A.2009): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A 
và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là 
trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng 
(ABCD), tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a. 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
11 
Bài giải: 
D
I
S
B
K
CD
A
Ta có: 
   0
SI (SIC) (SIB)
BC (SIK) SK BC ((SBC),(ABCD)) SKI 60
(SIC),(SIB) (ABCD)
         
Gọi H là trung điểm AB HA HB a ADCH    là hình chữ nhật 
Xét 2 2CHB: BC CH HB a 5    
BIC
1 3 5a
S IK.BC IK
2 5
   . Xét SIK : 
3 15a
SI IK.tanSKI
5
  
2
ABCD
1
S AD(DC AB) 3a
2
  
3
SABCD ABCD
1 3 15a
;V SI.S
3 5
  
Ví dụ 18: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và các cạnh bên bằng 2a. Tính thể 
tích khối chóp S.ABC. 
Bài giải: 
H
S
A
B
C
I
Gọi H là tâm của ABC SH (ABC)   . GỌI I là trung điểm BC AI BC  
Xét 
2
2 2
ABC
a 3 1 a 3
ABC: AI AB BI ,S .AI.BC
2 2 4
      . 
Ta có 
2 a 3
AH AI
3 3
  
Xét 
3
2 2
SABC ABC
a 11 1 a 11
AHS:SH SA AH ,V .SH.S
3 123
      
Ví dụ 19: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 
60
0 .Tính thể tích khối chóp S.ABC 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
12 
Bài giải: 
H
S
A
B
C
I
Ta có AI BC,SI BC  Góc giữa (SBC) và (ABC) là  0SIH 60 
Xét 0
1 a 3 a
SHI,HI AI ,SH tan60 .HI
3 6 2
     
3
SABC ABC
1 a 3
V SH.S
3 24
   
Ví dụ 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a và hợp với đáy một góc 
60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
Bài giải: 
S
D
A B
C
O
Gọi O AC BC SO (ABCD)    . 
OC là hình chiếu của SC trên (ABCD)Góc giữa SC và (ABCD) là  0SCO 60 
Xét SOC : 0 2 2
a a 3
OC SC.cos60 ;SO SC OC
2 2
     AC a  
Xét 2 2 2 2
a
ABC: AB BC AC a AB BC
2
       
3
2
SABCD ABCD
1 1 a 3
V .SO.S .SO.AB
3 3 12
   
Ví dụ 21: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên hợp với đáy một góc 45 0 và 
khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến các mặt bên bằng a. Tính thể tích khối 
chóp S.ABCD. 
Bài giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
13 
A
H
B
C
I
D
O
S
Gọi I là trung điểm BC OI BC,SI BC   Góc giữa (SBC) và (ABCD) là  0SIO 45 
Dựng OH SI OH (SBC) d(O,(SBC)) OH a      
Xét 0OHI:OI OH.sin45 a 2 DC 2OI 2a 2      
Xét 
0
SOI :SO OI.tan45 a 2   
3
SABCD ABCD
1 8a 2
V .SO.S
3 3
  
Ví dụ 22: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có ABC vuông cân tại A, BC a 2 . 
Biết A’B = 3a, tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’. 
Bài giải: 
C'
B'
A'
A
B
C
Xét 
2
ABC
a
ABC: AB AC a,S
2
    . 
 Xét A'AB: AA' 2a 2  
3
ABCA'B'C' ABCV AA'.S a 2   
Ví dụ 23: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có ABC vuông cân tại B, AC a 2 . 
Biết A’B hợp với đáy một góc 060 . Tính thể tích khối lăng trụ. 
Bài giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
14 
C'
B'
A'
A
B
C
Xét 
2
ABC
a
ABC: AB BC a,S
2
    
Từ giả thiết ta có:   0(A B,(ABC)) A BA 60   
Xét A AB: AA =a 3  
3
ABCABC.A B C
a 3
V AA .S
2
      
Ví dụ 24: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có ABC vuông tại A, AC = a, 
 0ACB 60 . Biết BC’ hợp với (AA’C’C) một góc 030 . Tính thể tích khối lăng trụ 
ABCA’B’C’. 
Bài giải: 
C
B
A
A'
B'
C'
Xét 
2
ABC
a 3
ABC: AB a 3,S
2
   
Từ giả thiết ta có:  0(BC',(AA'C'C)) CBC' 30  
Xét AA C : A C a,AA 2a 2       
3
ABCABC.A B C
V AA .S a 6      
Ví dụ 25: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có ABC đều cạnh a. Biết diện tích 
A BC bằng 2 2a . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. 
Bài giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
15 
B
C'
B'
A'
C
I
A
Gọi I là trung điểm BC. 
Xét
2
ABC
a 3 a 3
AIB: AI S
2 4
    
Xét
BA C
1
BA C:S .A I.BC A I 4a
2
      
Xét
a 61
A AI : AA
2
   
3
ABCABC.A B C
a 183
V AA .S
8
      
Ví dụ 26: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có khoảng cách từ A đến (A’BC) bằng a. 
AA’ hợp với (A’BC) một góc 030 . Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’. 
Bài giải: 
H
B
C'
B'
A'
C
I
A
Gọi I là trung điểm BC 
Dựng AH A I  0d(A,(A BC)) AH;(AA ,(A BC)) AA H 30       
Xét 
AH
AHA ,AA 2a
sin AA H
   

Xét 
2a
A AI,AI AA tan AA H
3
     
Xét 
2a 4a
AIB,BI AI.tan BAI BC 2BI
3 3
      
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
16 
3
ABCABC.A B C
1 8a
V AA .S .AA .BC.AI
2 3 3
       
Ví dụ 27:Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AA’ = a. Biết đường chéo A’C hợp với 
đáy (ABCD) một góc 030 và mặt (A’BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 060 . Tính thể tích 
hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’. 
Bài giải: 
D'
B
A'
B'
DA
C
C'
Từ giả thiết ta có:  0((A BC),(ABCD)) A BA 60   ;   0(AC ,(ABCD)) C AC 30   
Xét 
AA a
A AB,AB
3tan A BA

  

Xét 
CC
C CA,AC a 3
tanC AC

  

. 
Xét 2 2
2a 2
ADC,AD AC DC
3
    
3
ABCD.A B C D
2a 2
V AA .AB.AD=
3
      
Ví dụ 28: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông, AA’=a, 
(ABC’D’) hợp với đáy một góc 030 .Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. 
Bài giải: 
C'
C
A D
B'
A'
B
D'
Từ giả thiết ta có:  0((ABC D ),(ABCD)) D AD 30    
Xét 
DD
D DA,AD a 3
tan D AD

  

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
17 
2 3
ABCD.A B C D
V AA .AD 3a       
Ví dụ 29: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có AA’=2a, khoảng cách từ D đến mp’ 
(ACD’) bằng a. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD. A’B’C’D’. 
Bài giải: 
H
O
D'
B
A'
B'
DA
C
C'
Gọi O BD AC,  dựng DH OO d(D,(AD C))=DH=a   
Xét 
2 2
DD .DH 2a 4a
D DO,OD BD 2OD
3 3DD DH

     
 
. 
Xét 
BD 4a
BAD,AB AD
2 6
    ; 
3
ABCD.A B C D
16a
V AA .AB.AD
3
      
Ví dụ 30: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
BD C đều. Tính thể tích lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. 
Bài giải: 
C'
C
A D
B'
A'
B
D'
Xét 2 2BCD,BD BC DC a 2.    
BDC đều BC DC BD a 2     
Xét 2 2C CD,CC DC DC a      
3
ABCD.A B C D
V BC.DC.CC a       
Ví dụ 31: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên hợp với đáy một 
góc 060 . Hình chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể tích khối lăng trụ 
ABC.A’B’C’. 
Bài giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
18 
B'
C'A'
A
B
I
C
Gọi I là trung điểm BC. 
Ta có : ABC đều cạnh a  
2
0
ABC
a 3 a 3
AI ,S ,(AA',(ABC)) A'AI 60
2 4
     
Xét 
2
0
ABCABC.A B C
3a 3a 3
AIA',A'I AI.tan60 V A I.S
2 8
         
Ví dụ 32: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA’ =
2a 3
3
, A’ 
cách đều A,B,C. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’. 
Bài giải: 
G
C
I
B
A
A' C'
B'
Gọi I là trung điểm của BC, G là tâm ABC
a 3 2 a 3
AI ,AG .AI
2 3 3
    
Vì A’B = A’A = A’C, ABC đều A'ABC là hình chóp đều A'G (ABC)  
Xét 2 2AGA',A'G AA' AG a    
3
ABC.A 'B'C' ABC
a 3
V A'G.S
4
   
Ví dụ 33: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA’ = 
a 3 và hợp với đáy một góc 030 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. 
Bài giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
19 
H
C
D
 A
B' C'
A' D'
B
Dựng A’H   0(ABCD),H (ABCD),(AA',(ABCD)) A'AH 30    
Xét 
3
0
ABCD.A'B'C'D' ABCD
a 3 a 3
AHA',A'H AA'.sin30 V A'H.S
2 2
      
Ví dụ 34: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  0BAD 60 . 
Chân đường cao từ B’ xuống (ABCD) trùng với giao của hai đường chéo hình thoi ABCD, 
biết BB’ = a. Tính thể tích khối hộp đã cho. 
Bài giải: 
B
D'A'
C'B'
 A D
C
H
Gọi O BD AC B'O (ABCD)    . ABD đều cạnh a 
2
ABCD ABD
a a 3
BD a,BO ,S 2S
2 2
    
2 2
ABCD.A'B'C'D' ABCD
a 3 a 3 3a
V B'O.S .
2 2 4
    
Trong nhiều bài toán, khối chóp cần tính thể tích không phải lúc nào cũng là khối ban đầu 
mà đề bài cho mà có thể là một phần của khối đó. Vì thế việc xác định đường cao và đáy 
cũng trở nên khó xác định hơn. Với những bài toán đó, ngoài việc tính thể tích theo công 
thức ta có thể tính thể tích theo phương pháp cộng khối hoặc phương pháp tỉ số thể tích. 
 Sử dụng công thức tính thể tích: 
- Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V B.h 
- Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là : 
1
V B.h
3
 
Ví dụ 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, AB = 2a, AD = 4a, 
SA (ABCD); góc giữa SC và (ABCD) bằng 030 . Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và 
BC; N thuộc cạnh AD sao cho DN = a. Tính thể tích khối chóp S.AHMN theo a. 
Bài giải: 
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
20 
N
B C
D
S
A
M
H
Ta có: 2 2 2ABCD BMH CDNM
1 1
S AB.AD 8a ;S BH.BM a ;S CD(DN CM) 3a
2 2
       
2
AHMN ABCD BMH CDNMS S S S 4a     
Ta có AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) Góc giữa SC và (ABCD) là  0SCA 30 
Xét ABC: 2 2AC AB AC 2a 5   
Xét SAC: 0
2a 15
SA ACtan30
3
  
Ta có: SA  (AHMN) 
3
SAHMN AHMN
1 8a 15
V SA.S
3 9
  
Ví dụ 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình 
chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AD sao cho HD = 2HA. Biết góc giữa 
SA và (ABCD) bằng 060 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCH. 
Bài giải: 
A
S
D C
B
H
Ta có AH là hình chiếu của SA trên (ABCD) Góc giữa SA và (ABCD) là  0SAH 60 ; 
1 a 3
AH AD
3 3
  ;
2
ABCH
1 4a
S .AB(AH BC)
2 3
   
Xét SAC: SH AH.tanSAH a  
Ta có: SH  (ABCH) 
3
S.ABCH ABCH
1 2a
V .SH.S
3 3 3
  
GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114) 
21 
Ví dụ 37: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên 
AA’ = a, hình chiếu vuô