Chuyên đề Hình học ôn thi vào lớp 10

Đăng ký học trực tuyến cùng thầy để đạt kết quả cao nhất trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT 
Website: Phungngoai.ga Youtube.com/phungngoai 
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ÔN THI VÀO LỚP 10 
Bài 1: Trích đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội 
Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O với AB AC. Đường phân giác của góc BAC cắt  O tại 
điểm D khác A. Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O. Giả sử đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác A. 
1. Chứng minh tam giác BDM và tam giác BCF đồng dạng. 
2. Chứng minh rằng EF vuông góc với AC. 
Hướng dẫn giải 
1. Tứ giác ABMF nội tiếp 
    hai gãc nt cïng nh×n c¹nh ABAMB AFB  
 
 
 
0
0
180
180
AMB BMD
BMD BFC
AFB BFC
  
 
  
   1 1 gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung ABD C 
Xét BDM và BCF có: 
 
 
 
1 1
g - g
BMD BFC
BDM BCF
D C
 
 
 
 
2.   1 2 D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña A A BC  
ED BC t¹i trung ®iÓm H cña BC.  
   2 1 gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung A E CD 
1
2
2
AD
BD DM BD
BDM BCF
BC CF CH CF
     
BD AD BD CH
CH CF AD CF
    
 Xét ABD và FHC có: 
 
     
1 1 2 1 1 1
1 1
CEFH
BD CH
AD CF ABD FHC A F A F E F
D C

 
        
 
 nội tiếp. 
     090 gãc néi tiÕp cïng nh×n c¹nh CE EF AC ®pcmEFC EHC     
1
1
1
1
2
1
H
F
E
M
D
O
A
B
C
Đăng ký học trực tuyến cùng thầy để đạt kết quả cao nhất trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT 
Website: Phungngoai.ga Youtube.com/phungngoai 
Bài 2: Trích đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội 2015 
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A và C khác O). 
Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K. Gọi M là một điểm bất kì nằm trên 
cung KB (M khác K và M khác B). Đường thẳng CK cắt AM, BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng 
BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N. 
1. Chứng minh rằng tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp. 
2. Chứng minh rằng: CA.CB = CH.CD. 
3. Chứng minh rằng ba điểm A, N, D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung 
điểm của DH. 
4. Khi M di động trên cung KB. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 
Hướng dẫn giải 
1. Theo giả thiết ta có:   0AB CD ACD 90 1   
AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB    0 0AMB 90 AMD 90 2    
Từ  1 và  2 ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AD. 
2.    
CA CH
ACH DCB g - g CA.CB CH.CD ®pcm
CD CB
      
3. ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  0ANB 90 AN BH    
P
F
I
N
H
D
K
O BA C
M
Đăng ký học trực tuyến cùng thầy để đạt kết quả cao nhất trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT 
Website: Phungngoai.ga Youtube.com/phungngoai 
Xét ABH có: 
CH AB
BM AH D lµ trùc t©m cña ABH D AN Ba ®iÓm A, N, D th¼ng hµng
D CH BM
 

     
  
Gọi I là giao điểm của DH và tiếp tuyến của nửa đường tròn  O tại N. 
 IND ONB (cùng phụ với góc INH ). Tam giác BON cân tại O  ONB OBN  
 OBN IDN (cùng phục với góc BAN )  IND IDN NID c©n t¹i I IN ID     
 
 
 
 
0
0
IND INH 90
IND IDN INH IHN NIH c©n t¹i I IN IH ID IH ®pcm
IDN IHN 90
 

        

  
4. Gọi F MN AB  . Tứ giác MHND nội tiếp đường tròn tâm I đường kính DH. 
Gọi P OI MN  OI MN  tại P.  
OC OI
OCI OPF g - g OC.OF OI.OP
OP OF
      
Xét ONI vuông tại N: 2 2 2ON OP.OI OC.OF ON R F lµ ®iÓm cè ®Þnh.     
Bài 3: Trích đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội 1995 
Cho nửa đường tròn  O đường kính AB và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao cho  0AC 90 và 
 0COD 90 . Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính giữa cung AM. Các dây 
AM và BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F. 
1. Tứ giác OEMF là hình gì? Vì sao? 
2. Chứng minh D là điểm chính giữa cung MB. 
3. Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt tai OC, OD lần lượt tại I và K. Chứng minh 
rằng tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp được. 
4. Giả sử tia AM cắt BD tại S. Hãy xác định vị trí điểm C và D sao cho 5 điểm M, O, K, B, S cùng 
thuộc một đường tròn. 
Hướng dẫn giải 
1.      0AC CM AOC MOC MC AM t¹i E OEM 90       
  0 0AMB lµ gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn AMB 90 hay EMF 90   
Tứ giác OEMF có:    0OEM EMF EOF 90   OEMF là hình chữ nhật. 
2. Xét BOF và MOF có: 
     
OM = OB
BOF MOF ch - cgv BOD MOD MD MB ®pcm
OF chung

       

3. Xét OBK và OMK có: 
Đăng ký học trực tuyến cùng thầy để đạt kết quả cao nhất trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT 
Website: Phungngoai.ga Youtube.com/phungngoai 
   
OB = OM
BOK MOK OBK OMK c - g - c
OK chung


   


  0OBK OMK 90 OBKM néi tiÕp    
Xét OAI và OMI có: 
   
OA = OM
AOI MOI OAI OMI c - g - c
OI chung


   


  0OAI OMI 90 OAIM néi tiÕp    
4.  0BMS OMK 90 BS OK     
DB = DK = DS = DO 
BOD lµ tam gi¸c ®Òu 
  0 0 0BOD 60 BD 60 hoÆc AC 30     
Bài 4: Trích đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội 2006 
Cho đường tròn  O có đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA 
tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AK và MN. 
1. Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. 
2. Tính tích AH.AK theo R. 
3. Xác định vị trí điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó. 
Hướng dẫn giải 
1. AKB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 
 0 0AKB 90 hay BKH 90   
Tứ giác BCHK có:   0BCH BKH 90  
BCHK là tứ giác nội tiếp. 
2. Xét ACH và AKB có: 

 
 
0
A chung
ACH AKB g - g
ACH AKB 90

 
  
 
2AH AC AH.AK AC.AB R
AB AK
     
3. Lấy điểm D trên KN sao cho KM = KB. 
AOM là tam giác đều  0AOM 60  
D
H
N
M
C
A
O B
K
S
I
K
F
E
M
C
D
OA B
Đăng ký học trực tuyến cùng thầy để đạt kết quả cao nhất trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT 
Website: Phungngoai.ga Youtube.com/phungngoai 
  0 0ABM 30 MBN 2ABM 60     MBN là tam giác đều MN = MB 
 0MKD 60 MDK  là tam giác đều  0MDN 120  ;  0BKM 120 
 
 
   
0
MBK MND
BMK NMD ®Þnh lÝ tæng 3 gãc trong tam gi¸c
MKB MDN 120
 
 
  
Xét MBK và MND có: 
 
 
 
MBK MND
MB = BN MBK MND g - c - g BK = ND
BMK NMD


   

 
KM KN KB 2KN    
  maxmaxKM KN KB KN AB      Ba điểm N, O, K thẳng hàng 
 K là điểm chính giữa của cung MB . Khi đó:  
max
KM KN KB 2KN 2AB 2R     
Bài 5: Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Bình Thuận 2012 
Cho nửa đường tròn  O đường kính AB, C là một điểm nằm trên  O  C kh¸c A vµ B , D là điểm 
chính giữa của cung AC. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại M, hai dây AC và BD cắt nhau tại H 
1. CMR: CMDH nội tiếp 2. MA.MD = MB.MC 3. MB không đổi khi C di chuyển trên O 
4. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMDH, E là giao điểm của OD và tiếp tuyến tại A của O. 
Chứng minh rằng ba điểm E, I, C thẳng hàng. 
Hướng dẫn giải 
1.    0 0ADB 90 BD AM MDH 90 1     
   0 0ACB 90 AC BM MCH 90 2    
Từ  1 và  2 CMDH nội tiếp. 
2.  
MA MC
MAC MBD g - g
MB MD
    
 MA.MD = MB.MC ®pcm 
3.  ABD MBD cgv - gn BM AB const      
4.     0AOE COE c - g - c OCE OAE 90      
 CE OC *  
    ICM IMC CDH CAB ACO    
      0OCI ACO ACI ICM ACI ACM 90      
 IC OC **  
Từ  * và  ** đpcm 
E
I
H
M
D
A
BO
C
Đăng ký học trực tuyến cùng thầy để đạt kết quả cao nhất trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT 
Website: Phungngoai.ga Youtube.com/phungngoai 
Bài 6: Trích đề thì vào lớp 10 tỉnh Bến Tre 2012 
Cho tam giác nhọn ABC  AB AC nội tiếp đường tròn  O ; R . Vẽ đường kính AD và đường cao 
AH  H BC . Từ B và C vẽ BI và CK cùng vuông góc với AD và cắt AD lần lượt tại I và K. 
1. Chứng minh rằng tứ giác ABHI và AHKC nội tiếp. 
2. Chứng minh: IH // CD. 
3. Chứng minh: IHK BAC  . 
4. Cho  0BAC 60 . Tính diện tích của hình giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC của đường tròn tâm O 
theo R. 
Hướng dẫn giải 
1.   0AHB AIB 90 ABHI   nội tiếp đường tròn 
  0AHC AKC 90 AHKC   nội tiếp đường tròn 
2.     IHC BAD HCD IH // CD ®pcm   
3. Xét IHK và BAC có: 
 
  
 
IKH ACB
IHK BAC g - g
HIK ADC ABC
 
 
  
 
4.   0 0BAC 60 BOC s®BC 120    
   
2 0 2
qu¹t OBC 0
.120
S ®vdt
3360
R R 
   
Kẻ  OM BC M BC BC = 2MB = 2MC   . 
OBC cân có   0 0BOC 120 OBC OCB 30    
Xét BOM vuông tại M: 
  0
R
OM OB.sinOBM R.sin30 ®v®d
2
   
  
2
0
OBC
1 1 R 3R
BC 2BM 2.OB.cosOBM 2.R.cos30 3R S OM.BC . . 3R ®vdt
2 2 2 4
        
Diện tích hình giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC là: 
 
 
 
2
2 2
OBCquat OBC
4 3 33
S S S ®vdt
3 4 12
RR R 


     
M
K
I
H
D
O
A
B
C