Chuyên đề Hình học 11: Quan hệ vuông góc

QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A – ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG
I.Góc giữa hai đường thẳng.
Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:
1. Tính bằng ĐN góc (a, b) = góc (a’,b’) với a//a’, b//b’, a’ và b’ cắt nhau tại I
2. Xác định góc là góc giữa hai vtcp của a và b
Khi đó góc (a, b) = nếu 900
 	góc (a, b) = 1800 – 900 nếu > 900
Chú ý. + 
 + Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì . 
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = . Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SA = AB và SABC. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC.
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a (hình hộp thoi), , .
Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.
Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.
Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K là trung điểm của BC, AC, AD, BD. Hãy tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các truờng hợp:
Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo IH = IJ.
Tứ giác IJHK là hình chữ nhật.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của BC và AD.
Tính góc giữa AB và DM, biết ABCD là tứ diện đều cạnh bằng a.
Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = .
Tính góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = .
Tính góc giữa AB và CD, biết AB = 2a, CD = và MN = .
Bài 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b và AA’ = c.
Tính góc giữa hai đường thẳng AD’ và B’C.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và A’C.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S. Gọi M là trung điểm BC. Tính góc giữa AC và SM.
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là hình vuông. Gọi N là trung điểm SB. Tính góc giữa AN và CN, AN và SD.
Bài 9. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và , . Chứng minh:
ABCD.
Nếu I, J là trung điểm của AB và CD thì IJAB, IJCD.
Bài 10. Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và DBC là các tam giác đều cạnh a. Cho AD=. 
Chứng minh ADBC.
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
II. Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Phương pháp: 1. Góc giữa chúng bằng 900 
2. 	 3. 	4. 
5. Định lí 3 đường vuông góc
6. Nếu 2 đường thẳng nằm trong cùng mp thì có thể dùng các kết quả của hh phẳng.
BÀI TẬP
Cho hình lập phương . Gọi M, N lần lượt là trung điểm . Chứng minh: MN là đường vuông góc chung của .
Cho tứ diện ABCD đều cạnh a. O là tâm đtr ngoại tiếp tam giác BCD.
Cm AO vuông góc với CD.
M là trung điểm CD tính góc giữa AC và BM.
Cho tứ diện ABCD đều, M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đt BC, AC, AD thỏa mãn 
 Cm MN vuông góc với IJ, JK
AB vuông góc vớiCD
Cho tứ diện ABCD có . Chứng minh: .
Cho hình lập phương . 
Cm AC vuông góc với B’D’
Cm AB’ vuông góc với CD’
Cm AD’ vuông góc với CB’
Cho hình tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau: .
Chứng minh rằng: đoạn nối hai trung điểm của cặp cạnh đối diện là đường vuông góc chung của hai cạnh đó.
Tính độ dài đường vuông góc chung đó theo a, b, c.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CB, . Tính khoảng cách ngắn nhất giữa SF và CE.
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
Nếu và thì . (Đại Học Xây Dựng – 2000)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và . Chứng minh: .
Cho tứ diện ABCD có và . Gọi BH là đường cao tam giác ABC. Chứng minh tam giác BHD vuông.
Cho hình chóp S.ABCD có và ABCD là hình chữ nhật. chứng minh: bốn mặt bên SAB, SBC, SCD, SAD đều là những tam giác vuông.
Tứ diện ABCD có và . Gọi H là hình chiếu của A xuống (BCD). Chứng minh rằng: H là trực tâm tam giác BCD và .
Trong hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật ABCD. Gọi SH là đường cao hình chóp và SK, SL thứ tự là đường cao các tam giác SAB và SCD. Chứng minh rằng: H, K, L thằng hàng.
Cho hai tam giác cân ABC, BCD chung đáy BC nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. 
Cm AD vuông góc với CB.
M thuộc AB: cm MN vuông góc với BC
Cho tứ diện ABCD có CD = 4/5 AB; I,J,K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD; JK=5/6AB. Tính góc giữa CD và IJ, CD và AB.
Cho LT tam giác ABC.A’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a. CC’vuông góc với đáy, CC’=a
Gọi I là trung điểm BC. c/m AI vuông góc với BC’
Gọi M là trung điểm BB’ c/m BC’vuông góc với AM
 K thuộc đoạn A’B’: B’K=1/4a, J là trung điểm B’C’ c/m AM vuông góc với MK, KJ
Cho 2 hcn ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. ACvuông góc với BF; CH, FK lần lượt là 2 đường cao của tam giác BCE và ADF. Chúng minh 
Tam giác ACH, BKF là các tam giác vuông.
BF vuông góc với AH, AC vuông góc với BK.
B – ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp():
Cách 1: ĐN
Cách 2: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong ().
Cách 3: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với ().
Cách 4: Hai mp vuông góc, đt nào nằm trong mp này mà vuông góc với gt thì vuông góc với mp kia.
Cách 5: hai mp cắt nhau cùng vuông góc với mp thứ 3 thì gt của chúng vuông góc với mp thứ 3.
Kết quả: + Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mp thì song song. 
 + Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. 
Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hình chiếu của A trên SB, SD.
a) Chứng minh MN//BD và SC vuông góc với mp(AMN).
b) Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) SC vuông góc với mp(BHK). 
b) HK vuông góc với mp(SBC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, biết SB = SD. 
a) Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SH = SK, 
OH = OK và HK//BD.
c) Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK.
Bài 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H (ABC). Chứng minh rằng:
a)AA’BC và AA’B’C’.
b) Gọi MM’ là giao tuyến của hai mp(AHA’) và (BCC’B’) trong đó M BC và M’ B’C’. Chứng minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó.
Bài 5. Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mp khác nhau tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh BCAD.
Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh AH (BCD).
Bài 6. Cho ABCD là hình vuông, H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đt vuông góc với (ABCD) tại H lấy điểm S (khác H).C/m
AC vuông góc với (SHK).
CK vuông góc với DH và SD.
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác cân tại A với AB = a, BC = , DA vuông góc (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AHMD.
Chứng minh AH (BCD).
Cho AD = .Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
Gọi G1, G2 là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh G1G2 (ABC).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD.
Chứng minh SO (ABCD) và ACSD.
Gọi I, J là trung điểm của BA, BC. Chứng minh IJ (SBD).
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm của AB và CD.
Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh SI (SCD), SJ (SAB).
Gọi SH là đường cao của tam giác SIJ. Chứng minh SH AC và tính độ dài SH.
Gọi M là điểm thuộc BD sao cho BM SA. Tính AM theo a.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAB là tam giác đều và SC = a. Gọi H, K là trung điểm của AB, AD.
Chứng minh SH (ABCD). 
Chứng minh AC SK và CK SD.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy và SA = a, đáy ABCD là hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a. Ngoài ra SC BD. 
Chứng minh tam giác SBC vuông.
Tính theo a độ dài đoạn AD.
Gọi M là một điểm trên đoạn SA, đặt AM = x, với . Tính độ dài đường cao DE của tam giác BDM theo a và x. Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có SA đáy và SA = 2a, tam giác ABC vuông tại C với AB = 2a, BAC = . Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, H là hình chiếu của S trên BM. 
Chứng minh AH BM.
Đặt AM = x, với . Tính khoảng cách từ S tới BM theo a và x. Tìm x để khoảng cách này là lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 13. Cho tam giác ABC có BC = 2a và đường cao AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = a. Gọi E, F là trung điểm SB, SC. 
Chứng minh BC (SAD).
Tính diện tích của tam giác AEF.
Bài 14. Cho tứ diện ABCD có DA (DBC) và tam giác ABC vuông tại A. Kẻ DI BC.
Chứng minh BC (AID).
Kẻ DH AI. Chứng minh DH (ABC).
Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = SB = .
Kẻ SH (ABC). Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tính độ dài SH theo a.
Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC (SAI).
Gọi là góc giữa SA và SH. Tính .
Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD). Gọi I , M là trung điểm của SC và AB. Cho SA = a.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh IO (ABCD).
Tính khoảng cách từ I đến CM.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, SA (ABCD). 
Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC (AHK).
Kẻ AJ (SBD). Chứng minh J là trực tâm của tam giác SBD.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có SA đáy, tam giác ABC vuông cân tại B. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN = 2NB. Chứng minh 
BC (SAB). b) NG (SAC).
Bài 19. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh:
BC (SAI). b) SI (ABC).
Bài 20. Cho tứ diện ABCD có DA (ABC). Gọi AI là đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC. Hạ HK DI. Chứng minh:
HK BC.
K là trực tâm của tam giác DBC.
Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S di động. Gọi D, F là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh: AF SB.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, , , .
Chứng minh tam giác ABC vuông.
Xác định hình chiếu H của S trên mp(ABC). Tính SH theo a.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có ABD là tam giác đều, BCD là tam giác cân tại C có . SA đáy.
Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh 
	SC (AHK).
Gọi C’ là giao điểm của SC với mp(AHK). Tính diện tích tứ giác AHC’K khi AB = SA = a.
Bài 24. Cho tam giác ABC đều cạnh a, d là đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh HK (SBC).
Bài 25. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA đáy. Hạ AH SB, AK SC.
Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
Chứng minh SHK là tam giác vuông.
Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh AC AD.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh tâm O, AB = SA = a, SA đáy. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD tại H, I, K.
Chứng minh HK//BD.
Chứng minh AH SB, AK SD.
Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vuông góc. Tính diện tích AHIK theo a.
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = , mặt bên SBC vuông tại B, SCD vuông tại D có SD = .
Chứng minh SA (ABCD) và tính SA.
Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt CB, CD tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC, K và L là giao điểm của SB, SD với mp(HIJ). Chứng minh AK (SBC) và AL (SCD).
Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 28. Cho tam giác MAB vuông tại M nằm trong mp(P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy hai điểm C, D nằm hai phía đối với (P). Gọi C’ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC’.
a. Chứng minh CC’ (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh K là trực tâm của tam giác BCD.
Tính Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để tìm góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) ta cần thức hiện qua hai bước sau:
Bước 1: Xác định hình chiếu a’ của đường thẳng a trên mặt phẳng (P)
A
a
P
O
H
a’
Bước 2: góc giữa đường thẳng a và a’ chính là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Cụ thể Tính góc giữa đt a và mp(P):
+ Tìm 
+ Chọn A thuộc đt a, xác định H là hình chiếu của A trên (P)
+ Góc AOH = góc giữa a và (P)
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD ; ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều , mp(SAB) vuông góc mp(ABCD)
Gọi I là trung điểm AB. CMR : SI vuông góc (ABCD)
CMR tam giác SBC và SAD vuông
Tính góc giữa các cạnh bên và đáy
	Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO ^ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC. Biết .
	a) Tính MN và SO.
	b) Tính góc giữa MN và (SBD).
	HD:	a) MN = ; SO = 	b) sin.
	Bài 3.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA ^ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa:
	a) SC và (ABCD)	b) SC và (SAB) c) SB và (SAC)	d) AC và (SBC)
	HD:	a) 6000000008776540	b) arctan	c) arcsin	d) arcsin.
Thiết diện của hc cắt bởi mp (P) qua 1 điểm và vuông góc với đt (d).
+ Xác định mp(P): - Dựng 2 đt cắt nhau cùng vuông góc với d, trong đó có ít nhất 1 đt qua M.
Mp (P) xđ bởi 2 đt cắt nhau đó.
(Nếu tồn tại 2 đt cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với (d) thì (P) song song hay chứa a hoặc (P) song song hay chứa b)
+ Xđ các đoạn giao tuyến theo pp đã học, từ đó suy ra thiết diện.
BÀI TẬP
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA^(ABCD), SA=. Trên AC lấy điểm I sao cho AI=x . Một mặt phẳng (P) đi qua I và vuông góc với AC.
1/ Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
2/ Tính diện tích của thiết diện đó.
3/. Xác định x để thiết diện có diện tích lớn nhất.
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có SA^(ABCD), SA=2a. Tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A và D: AB=BC=a, AD=2a. M là một điểm trên AB: AM=x, 0<x<a. (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB.
1/ CMR tam giác CSD vuông.
2/ Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
3/ Tính diện tích thiết diện. (2a.(a-x))
Bài 3 Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đều cạnh a, SA^(ABC), SA=2a. (P) là một mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp và tính diện tích thiết diện.
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a. SA^(ABC), SA=. M là một điểm tuỳ ý trên AB: AM=x, (0<x<a). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AB.
a/ Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
b/ Tính diện tích thiết diện. 
Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA^(ABCD), SA=. AH là đường cao của tam giác SAB.
Tính tỉ số SH/SB, AH=? 
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SB. Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
Bài 6 Cho tam giác ABC đều, đường cao AH = 2a. O là trung điểm AH. Trên đt vuông góc với (ABC) tại O lấy S sao cho SO = 2a. Gọi I là điểm thuộc OH, mp (P) qua I và vuông góc với OH. Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
Bài 7 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC và SBC đều cạnh a, SA= , M thuộc đoạn AB, AM = x (0<x<a). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với BC.
D là trung diểm của BC. Chứng minh (P) // (SAD)
Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp.
Tính diện tích thiết diện.
Bài 8 Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đều cạnh a, SA^(ABC), SA = a. M thuộc đoạn AC, CM = x, (P) là một mặt phẳng đi qua M và vuông góc với AC. Xác định thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp và tính diện tích thiết diện.
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, cạnh bên bằng . 
Tính SO.
(Q) qua A và vuông góc với SC. Tìm thiết diện tạo bởi (Q) với hình chóp.
Tìm sin của góc tạo bởi AB và (Q).
Bài 10 Cho LT ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên vuông góc với đáy. AB = a, BC = b, AA’ = c . (P) qua A và vuông góc với CA’.
Tìm thiết diện tạo bởi (P) với hình LT.
Tính diện tích thiết diện.
B – MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I. Xác Định Góc Của Hai Mặt Phẳng.
* Phương pháp:
Để xác định là góc giữa hai mặt phẳng và ta có thể thực hiện theo 1 trong các cách sau:
Phương pháp 1: xác định bằng cách dựng theo định nghĩa.
Phương pháp 2: xác định gián tiếp bằng định lý diện tích và hình chiếu.
Phương pháp 3: xác định bằng định lý ba đường vuông góc.
.
Lưu ý: .
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a; và . Tính góc giữa các mặt phẳng sau:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Ax và Cy là các nửa đường thẳng cùng vuông góc với mặt phẳng hình vuông và cùng ở về một phía đối với mặt phẳng hình vuông. Gọi M và N lần lượt là hai điểm trên hai nửa đường thẳng ấy. Đặt .
Xác định góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (NBD).
Tìm hệ thức giữa x và y để .
Cho hình chóp V.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên (VBC) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), còn các mặt bên (VAC), (VAB) hợp với mặt phẳng đáy thành hai góc bằng nhau và có số đo bằng 600. Gọi D là trung điểm của BC trong mặt phẳng (ABC), kẻ DE vuông góc với AC.
Chứng minh rằng: AD vuông góc với VD.
Chứng minh rằng: .
Cho hình vuông ABCD cạnh a trong mặt phẳng (P). Hai điểm M; N lần lượt di động trên hai cạnh CB và CD. Đặt . Trên đường thẳng At vuông góc với (P), lấy điểm S. Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để:
Các mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau góc .
 (Đại Học Kiến Trúc Tp. HCM – 1994).
Cho hình chóp tứ gác đều. thiết diện qua một đỉnh của đáy và vuông góc với cạnh bên đối diện với đỉnh đó có diện tích bằng nửa diện tích đáy. Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. (Đại Học Giao Thông Vận Tải – 1998).
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, .
Tính diện tích tam giác SBD theo a.
Chứng minh rằng: các đường thẳng BD và SC vuông góc với nhau.
Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SBD). (Đại Học Sư Phạm Vinh – Khối G – 1999)
Hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Cho góc . Gọi góc , tìm để góc giữa (SAC) và (SBC) bằng . (Đại Học Y Khoa Hà Nội – 1999).
II. Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.
Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là .
Kết quả: + 
 + Nếu hai mp(P) và (Q) vuông góc với nhau, điểm A thuộc (P) thì mọi đường thẳng qua 
 A và vuông góc với (Q) đều nằm trong (P). 
Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương.
Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Chú ý. + Cần phân biệt hai khái niệm Hình chóp đều và hình chóp có đáy là đa giác đều. 
 + Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau.
 + Hình chóp đều có góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau. 
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB (BCD). Trong tam giác BCD vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong mp(ACD) vẽ DK AC. Gọi H là trực tâm của tam giác ACD.
Chứng minh (ACD) (ABE) và (ACD) (DFK).
Chứng minh OH (ACD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, có cạnh bằng a và đường chéo BD = a. SC = và vuông góc với (ABCD). Chứng minh (SAB) (SAD).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết ABCD là hình vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh:
a) (SAC) (SBD). b) (SAD) (SCD). c) (SAD) (ABM).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có BC = 2AB. Tam giác SAB đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh (SAD) (SAB). 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và 
	SA = SB = SC = a.
Chứng minh (SBD) (ABCD). b) Chứng minh tam giác SBD vuông.
Bài 6. Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mp vuông góc với nhau. 
AC = AC = BC = BD = a và CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh IJ AB và CD.
Tính AB và IJ theo a và x.
Xác định x để (ABC) (ABD).
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại B và AD (ABC). Chứng minh (ABD) (BCD). 
Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC.
Chứng minh (SBC) (SAC). b) Chứng minh (ABI) (SBC).
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với mp(ABC).
Chứng minh (ABB’) (ACC’).
Gọi AH, AK là đường cao của các tam giác ABC và AB’C’. Chứng minh hai mp(BCC’