Chuyên đề Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

 VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
A. MỤC TIÊU: Học sinh nắm được
- Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: và Cách giải 
- Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
B. NỘI DUNG: 
I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
2.- Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình
1) 	2)	3)	4) 
	5) 	6) 	7) 
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
	1) 	2) 	
3) 	4) 
5) 	6) 
Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
Bài tập:
	1)	2) 	3) 
	4) 	5) 	6)
	7)	8) 
Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x	
Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
	- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
	- Nếu b0 thì hệ vô nghiệm
 ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: 
	Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
	i) Nếu m2 – 4 0 hay m2 thì x = 
	Khi đó y = - . Hệ có nghiệm duy nhất: (;-)
	ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
	Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
	iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (;-)
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
	- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 
1) 	2) 	3) 
4) 	5) 	6) 
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình theo tham số
Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên
Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
HD Giải:
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 
Vậy với m hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập: 
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
Bài 2:
Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
HD: 
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là 
x = 1 và x = -2
HD: 
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f(-) = 0
	 Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng 
f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD: 
Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)	
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 	
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2)	 b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình: . Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; 	x - y = 2m ;	mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1	; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ;
(2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước
Cho hệ phương trình: 
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
 2x + y + = 3
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Giải hệ phương trình theo m
- Thay x = ; y = vào hệ thức đã cho ta được:
	 2. + + = 3
	=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 
	 3m2 – 26m + 23 = 0 
	m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 ; m = 
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1:
Cho hệ phương trình (m là tham số)
Giải hệ phương trình khi m = 
Giải và biện luận hệ phương trình theo m
Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
Cho hệ phương trình : 
Giải và biện luận hệ phương trình theo m
Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = 5
Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình khi m = 1
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:
 Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình khi m = 3
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
 x - 3y = - 3
Bài 6: 
Cho hệ phương trình:
 	a) Giải hệ phương trình khi .
 	b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức .
Bài 7: 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình khi m = 5
Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7