Chuyên đề Hàm số ôn luyện thi THPT Quốc gia 2016

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I.Kiến thức cơ bản:
1. Định lý:
đồng biến trên D.
nghịch biến trên D.
2. Định lý mở rộng:
 và tại một số hữu hạn điểmđồng biến trên D.
 và tại một số hữu hạn điểmnghịch biến trên D.
3. Chú ý:
 và f(x) liên tục trên đồng biến trên .
 và f(x) liên tục trên nghịch biến trên .
4. Điều kiện không đổi dấu trên R:
Cho .
II. Các dạng toán:
1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn cho trước:
Phương pháp: 
* Tính y/ .
* Cho y/ = 0.
Có các cách sau
Cách 1. ( Nếu ta tìm được nghiệm của y/ )
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Cách 2. ( Nếu ta rút ra được y/ = 0 về dạng g(x) = h(m))
+ Xét sự biến thiên của g(x).
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Cách 3. ( Không làm được như hai cách trên )
+ Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát.
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
III. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số: 
BÀI 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (Tiếp theo)
Ví dụ 1. Cho hàm số 
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên 
 Giải:
a. Tập xác định: D = R.
Hàm số đồng biến trên R 
b. Tập xác định: D = R.
* Trường hợp 1: .
Ta có bảng biến thiên:
 x 1 
 y/ + 0 + 
 y 
Suy ra hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên .
Do đó m = 0 thỏa mãn.
* Trường hợp 2 : .
Ta có bảng biến thiên:
 x 1 2m+1 
 y/ + 0 - 0 +
 y(1) 
 y y(2m+1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên 
 ( thỏa đk m>0)
* Trường hợp 3 : .
Ta có bảng biến thiên:
 x 2m+1 1 
 y/ + 0 - 0 +
 y(2m+1) 
 y y(1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên 
Vậy hàm số đồng biến trên khi m = 0 hoặc 
c. Tập xác định: D = R.
* Trường hợp 1: .
Ta có bảng biến thiên:
 x 1 
 y/ + 0 + 
 y 
Suy ra hàm số đồng biến trên R nên không nghịch biến trên 
Do đó m = 0 không thỏa mãn.
* Trường hợp 2 : .
Ta có bảng biến thiên:
 x 1 2m+1 
 y/ + 0 - 0 +
 y(1) 
 y y(2m+1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên 
* Trường hợp 3 : .
Ta có bảng biến thiên:
 x 2m+1 1 
 y/ + 0 - 0 +
 y(2m+1) 
 y y(1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên ( Thỏa mãn điều kiện m <0 )
Vậy hàm số nghịch biến trên 
Ví dụ 2. Cho hàm số 
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 
c. Xác định m để hàm số đồng biến trên 
d. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
 Giải:
a. Tập xác định: D = R.
 Hàm số đồng biến trên R 
b. * Tập xác định: D = R.
 * Hàm số đồng biến trên 
 * Xét hàm số trên 
 Ta có 
	 (loại)
 Ta có bảng biến thiên:
 x 0 
 f/(x) +
 f(x)
 0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 
Vậy hàm số đồng biến trên .
c. * Tập xác định: D = R.
 * Hàm số đồng biến trên 
 * Xét hàm số trên 
 Ta có 
	 ( nhận )
 Ta có bảng biến thiên:
 x -2 1
 f/(x) - 0 + 
 f(x) -4 5 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 
d. * Tập xác định: D = R.
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 
phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho 
Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 3. Cho hàm số 
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên 
d. Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
Giải:
a. Tập xác định: D = R.
 Hàm số đồng biến trên R 
b. Tập xác định: D = R.
* Hàm số đồng biến trên 
Xét hàm số 
Ta có 
 Ta có bảng biến thiên:
 x 1 2 
 f/(x) - 0 +
 15 
 f(x)
 12
 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 
 Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.
c. Tập xác định: D = R.
* Hàm số nghịch biến trên 
Xét hàm số 
Ta có 
Bảng biến thiên:
 x 1 2
 f/(x) - 
 15 
 f(x) 
 12
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 
 Vậy thỏa mãn điều kiện bài toán.
d. * Tập xác định: D = R.
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 
phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho 
Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 4. Cho hàm số .
a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên .
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên 
 Giải:
a. TXĐ: 
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Vậy: thỏa điều kiện bài toán.
b. TXĐ: 
 Hàm số đồng biến trên 
Vậy: thỏa điều kiện bài toán.
c. TXĐ: 
 Hàm số nghịch biến trên 
Vậy: thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 5. (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013)
 Cho hàm số , với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +)
Giải:
Ta có y’ = -3x2 + 6x+3m
Yêu cầu bài toán Û y’ 
Xét hàm số với x > 0
Ta có 
 Ta có bảng biến thiên:
 x 0 1 
 g/(x) - 0 +
 0 
 g(x)
 -1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 
Vậy hàm số nghịch biến trên .
BÀI TẬP TỰ LÀM
1. Cho hàm số có đồ thị . Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng . ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009)
2. Cho hàm số có đồ thị (Cm).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng .
BÀI 3: ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
Lưu ý: Phần này dành cho HS khá giỏi.
(Mời các em xem tiếp)